2024甘肃省定西市临洮县九年级上第一次月考数学试卷含解析

2024学年甘肃省定西市临洮县九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A．ax2+bx+c=0 B．x2﹣2=（x+3）2 C．x2+3x﹣5=0 D．x﹣1=02．（3分）已知x=1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣2=0的一个根，则m的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．0或13．（3分）将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A．y=3（x﹣2）2﹣1 B．y=3（x﹣2）2+1 C．y=3（x+2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+14．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（）A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠15．（3分）当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（）A． B． C． D．6．（3分）已知二次函数y=2x2+8x+7的图象上有三点A（﹣2，y1），B，C（﹣3，y3）则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y17．（3分）关于二次函数y=ax2+bx+c图象有下列命题：（1）当c=0时，函数的图象经过原点；（2）当c＞0时，函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不等实根；（3）当b=0时，函数图象关于原点对称．其中正确的个数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个8．（3分）已知二次函数y=kx2﹣7x﹣7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为（）A．k＞﹣ B．k＞﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k≥﹣且k≠09．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（）A．ab＞0，c＞0 B．ab＞0，c＜0 C．ab＜0，c＞0 D．ab＜0，c＜010．（3分）用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（）A．x（5+x）=6 B．x（5﹣x）=6 C．x（10﹣x）=6 D．x（10﹣2x）=6二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）填空：x2﹣4x+3=（x﹣）2﹣1．12．（3分）抛物线y=2x2﹣6x+1的顶点坐标是．13．（3分）把函数y=2x2﹣4x﹣1写成y=a（x﹣h）2+k的形式，则h+k=．14．（3分）把方程x2+2x﹣5=0配方后的方程为．15．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣5x+k=0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为．16．（3分）二次函数y=2x2+3x﹣9的图象与x轴交点的横坐标是．17．（3分）已知x1，x2是方程x2﹣2x+1=0的两个根，则+=．18．（3分）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是．三．解答题（共66分）19．（10分）解方程：（1）x2+2x﹣3=0（2）3x（x﹣2）=2（2﹣x）20．（6分）已知方程x2﹣4x+m=0的一个根为﹣2，求方程的另一根及m的值．21．（6分）已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴的一个交点A（3，0）．求出这条抛物线与x轴的另一个交点B及与y轴的交点C的坐标．22．（6分）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m=0．（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．23．（6分）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+=0有两个相等的实数根，求k的值．24．（6分）已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式．25．（6分）已知抛物线的对称轴为x=1，且经过点（0，3）和（3，0），求抛物线的关系式．26．（10分）某商场礼品柜台元旦期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？27．（10分）某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB=4米，顶部C离地面高度为4.4米．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4米．请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？

2024年甘肃省定西市临洮县九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A．ax2+bx+c=0 B．x2﹣2=（x+3）2 C．x2+3x﹣5=0 D．x﹣1=0【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．【解答】解：A、a=0时是一元一次方程，故A不符合题意；B、是一元一次方程，故B不符合题意；C、是一元二次方程，故C符合题意；D、是一元一次方程，故D不符合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．2．（3分）已知x=1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣2=0的一个根，则m的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．0或1【分析】把x=1代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解该方程来求m的值．【解答】解：∵x=1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣2=0的一个根，∴12+m﹣2=0，即m﹣1=0，解得m=1．故乡：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．此题实际上是解关于系数m的一元一次方程．3．（3分）将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A．y=3（x﹣2）2﹣1 B．y=3（x﹣2）2+1 C．y=3（x+2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+1【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可．【解答】解：抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣1），所得抛物线为y=3（x+2）2﹣1．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，求出平移后的抛物线的顶点坐标是解题的关键．4．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（）A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1【分析】根据判别式的意义得到△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后解不等式即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，∴△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，解得k＞；且k﹣1≠0，即k≠1．故选：C．【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5．（3分）当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】根据题意，ab＞0，即a、b同号，分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，当a＞0时，b＞0，y=ax2与开口向上，过原点，y=ax+b过一、二、三象限；此时，没有选项符合，当a＜0时，b＜0，y=ax2与开口向下，过原点，y=ax+b过二、三、四象限；此时，D选项符合，故选D．【点评】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．6．（3分）已知二次函数y=2x2+8x+7的图象上有三点A（﹣2，y1），B，C（﹣3，y3）则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1【分析】函数y=2x2+8x+7化成顶点式，得到对称轴x=﹣2，则A、B、C的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断y1、y2、y3的大小．【解答】解：∵y=2x2+8x+7=2（x+2）2﹣1，∴对称轴x=﹣2，在图象上的三点A（﹣2，y1），B，C（﹣3，y3），|﹣5+2|＞|﹣3+2|＞|﹣2+2|，则y1、y2、y3的大小关系为y2＞y3＞y1．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．7．（3分）关于二次函数y=ax2+bx+c图象有下列命题：（1）当c=0时，函数的图象经过原点；（2）当c＞0时，函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不等实根；（3）当b=0时，函数图象关于原点对称．其中正确的个数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】当b=0时，函数解析式缺少一次项，对称轴x=0，是y轴；当c=0时，缺少常数项，图象经过（0，0）点；当c＞0时，图形交y轴正半轴，开口向下，即a＜0，此时ac＜0，方程ax2+bx+c=0的△＞0．【解答】解：根据二次函数的性质可知：（1）当c=0时，函数的图象经过原点，正确；（2）当c＞0时，函数的图象开口向下时，图象与x轴有2个交点，所以方程ax2+bx+c=0必有两个不等实根，正确；（3）当b=0时，函数图象关于原点对称，错误．有两个正确．故选C．【点评】主要考查了二次函数y=ax2+bx+c中系数a，b，c与图象的关系．8．（3分）已知二次函数y=kx2﹣7x﹣7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为（）A．k＞﹣ B．k＞﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k≥﹣且k≠0【分析】根据二次函数的定义得到k≠0，根据．△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到（﹣7）2﹣4k•（﹣7）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得，解得k＞﹣且k≠0．故选B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．9．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（）A．ab＞0，c＞0 B．ab＞0，c＜0 C．ab＜0，c＞0 D．ab＜0，c＜0【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴在y轴右侧，进而对所得结论进行判断．【解答】解：由图象可知：抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点在正半轴，∴a＜0，b＞0，c＞0，∴ab＜0，故选C．【点评】本题考查了抛物线图象与系数的关系，其中a由抛物线的开口方向决定，a与b同号对称轴在y轴左边；a与b异号对称轴在y轴右边，c的符合由抛物线与y轴的交点在正半轴或负半轴有关．10．（3分）用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（）A．x（5+x）=6 B．x（5﹣x）=6 C．x（10﹣x）=6 D．x（10﹣2x）=6【分析】一边长为x米，则另外一边长为：5﹣x，根据它的面积为6平方米，即可列出方程式．【解答】解：一边长为x米，则另外一边长为：5﹣x，由题意得：x（5﹣x）=6，故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽相出一元二次方程，难度适中，解答本题的关键读懂题意列出方程式．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）填空：x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1．【分析】原式利用完全平方公式化简即可得到结果．【解答】解：x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1．故答案为：2．【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．12．（3分）抛物线y=2x2﹣6x+1的顶点坐标是（，﹣）．【分析】先把抛物线化为顶点式的形式，再求出其顶点坐标即可．【解答】解：∵抛线物y=2x2﹣6x+1可化为y=2（x﹣）2﹣，∴其顶点坐标为（，﹣）．故答案为：（，﹣）．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．13．（3分）把函数y=2x2﹣4x﹣1写成y=a（x﹣h）2+k的形式，则h+k=﹣2．【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，计算即可．【解答】解：y=2x2﹣4x﹣1=2（x2﹣2x）﹣1=2（x﹣1）2﹣3∴h+k=1﹣3=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查的是二次函数的最值问题，灵活运用配方法把一般式化为顶点式、掌握二次函数的性质是解题的关键．14．（3分）把方程x2+2x﹣5=0配方后的方程为（x+1）2=6．【分析】移项后配方，再变形，即可得出答案．【解答】解：x2+2x﹣5=0，x2+2x=5，x2+2x+1=5+1，（x+1）2=6，故答案为：（x+1）2=6．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．15．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣5x+k=0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为6．【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣5）2﹣4k＞0，解不等式得k＜，然后在此范围内找出最大整数即可．【解答】解：根据题意得△=（﹣5）2﹣4k＞0，解得k＜，所以k可取的最大整数为6．故答案为6．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．16．（3分）二次函数y=2x2+3x﹣9的图象与x轴交点的横坐标是﹣3或．【分析】由二次函数的图象与x轴交点的纵坐标为0，得出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：∵二次函数y=2x2+3x﹣9的图象与x轴交点的纵坐标为0，∴2x2+3x﹣9=0，解得：x=﹣3，或x=，∴二次函数y=2x2+3x﹣9的图象与x轴交点的横坐标是﹣3或；故答案为：﹣3或．【点评】本题考查了二次函数的图象与x轴的交点坐标的求法、一元二次方程的解法；由二次函数的图象与x轴交点的纵坐标为0得出方程是解决问题的关键．17．（3分）已知x1，x2是方程x2﹣2x+1=0的两个根，则+=2．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1•x2=1，再变形+得到，然后利用代入法计算即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+1=0的两根是x1、x2，∴x1+x2=2，x1•x2=1，∴+==2．故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．18．（3分）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是50+50×（1+x）+50（1+x）2=182．【分析】等量关系为：四月份生产的零件个数+五月份生产的零件个数+六月份生产的零件个数=182．【解答】解：易得五月份生产的零件个数是在四月份的基础上增加的，所以为50（1+x），同理可得6月份生产的零件个数是在五月份的基础上增加的，为50（1+x）（1+x），那么50+50×（1+x）+50（1+x）2=182．【点评】找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意6月份生产的零件个数是在五月份的基础上增加的．三．解答题（共66分）19．（10分）解方程：（1）x2+2x﹣3=0（2）3x（x﹣2）=2（2﹣x）【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【解答】解：（1）分解因式得：（x﹣1）（x+3）=0，可得x﹣1=0或x+3=0，解得：x=1或x=﹣3；（2）方程整理得：3x（x﹣2）+2（x﹣2）=0，分解因式得：（x﹣2）（3x+2）=0，解得：x=2或x=﹣．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．20．（6分）已知方程x2﹣4x+m=0的一个根为﹣2，求方程的另一根及m的值．【分析】把x=﹣2代入方程x2﹣4x+m=0得出4+8+m=0，求出m，得出方程x2﹣4x﹣12=0，设方程的另一个根为a，则a+（﹣2）=4，求出a即可．【解答】解：把x=﹣2代入方程x2﹣4x+m=0得：4+8+m=0，解得：m=﹣12，即方程为x2﹣4x﹣12=0，设方程的另一个根为a，则a+（﹣2）=4，即得：a=6，即方程的另一根为6，m=﹣12．【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二方程的解，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根为x1和x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．21．（6分）已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴的一个交点A（3，0）．求出这条抛物线与x轴的另一个交点B及与y轴的交点C的坐标．【分析】把A点的坐标代入抛物线的解析式，就可以求出m的值，得到抛物线的解析式．在解析式中令y=0，解方程就可以求出与x轴的交点．【解答】解：因为A（3，0）在抛物线y=﹣x2+mx+3上，则﹣9+3m+3=0，解得m=2．所以抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．因为B点为抛物线与x轴的交点，求得B（﹣1，0），因为C点为抛物线与y轴的交点，求得C（0，3）．【点评】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，抛物线与x轴的交点坐标，属于中档题．22．（6分）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m=0．（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．【分析】（1）根据一元一次方程的定义可得m2﹣1=0，m+1≠0，解即可；（2）根据一元二次方程的定义可知：m2﹣1≠0，再解不等式即可．【解答】解：（1）根据一元一次方程的定义可知：m2﹣1=0，m+1≠0，解得：m=1，答：m=1时，此方程是一元一次方程；②根据一元二次方程的定义可知：m2﹣1≠0，解得：m≠±1．一元二次方程的二次项系数m2﹣1、一次项系数﹣（m+1），常数项m．【点评】此题主要考查了一元二次方程的概念和一元一次方程的概念，关键是掌握两种方程的定义．23．（6分）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+=0有两个相等的实数根，求k的值．【分析】根据根的判别式令△=0，建立关于k的方程，解方程即可．【解答】解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴[﹣（k﹣1）]2﹣4（k﹣1）×=0，整理得，k2﹣3k+2=0，即（k﹣1）（k﹣2）=0，解得：k=1（不符合一元二次方程定义，舍去）或k=2．∴k=2．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．24．（6分）已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式．【分析】由题意可以设函数的顶点式：y=a（x﹣8）2+9，然后再把点（0，1）代入函数的解析式，求出a值，也可以设出函数的一般式，根据待定系数法求出二次函数的解析式．【解答】解：∵顶点坐标为（8，9），∴设所求二次函数关系式为y=a（x﹣8）2+9．把（0，1）代入上式，得a（0﹣8）2+9=1，∴a=﹣．∴y=﹣（x﹣8）2+9，即y=﹣x2+2x+1．【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，设解析式时要根据具体情况选择适当形式．25．（6分）已知抛物线的对称轴为x=1，且经过点（0，3）和（3，0），求抛物线的关系式．【分析】根据抛物线的对称轴为x=1，且经过点（0，3）和（3，0），可以求得a、b、c的值，从而可以得到该函数的解析式．【解答】解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，∵抛物线的对称轴为x=1，且经过点（0，3）和（3，0），∴，解得，，∴抛物线的关系式y=﹣x2+2x+3．【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确用待定系数法求二次函数解析式的方法．26．（10分）某商场礼品柜台元旦期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？【分析】等量关系为：（原来每张贺年卡盈利﹣降价的价格）×（原来售出的张数+增加的张数）=120，把相关数值代入求得正数解即可．【解答】解：设每张贺年卡应降价x元，现在的利润是（0.3﹣x）元，则商城多售出100x÷0.1=1000x张．（0.3﹣x）（500+1000x）=120，解得x1=﹣0.3（降价不能为负数，不合题意，舍去），x2=0.1．答：每张贺年卡应降价0.1元．【点评】考查一元二次方程的应用；得到每降价x元多卖出的贺年卡张数是解决本题的难点；根据利润得到相应的等量关系是解决本题的关键．27．（10分）某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB=4米，顶部C离地面高度为4.4米．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4米．请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？【分析】本题只要计算大门顶部宽2.4米的部分离地面是否超过2.8米即可．如果设C点是原点，那么A的坐标就是（﹣2，﹣4.4），B的坐标是（2，﹣4.4），可设这个函数为y=kx2，那么将A的坐标代入后即可得出y=﹣1.1x2，那么大门顶部宽2.4m的部分的两点的横坐标就应该是﹣1.2和1.2，因此将x=1.2代入函数式中可得y≈﹣1.6，因此大门顶部宽2.4m部分离地面的高度是4.4﹣1.6=2.8m，因此这辆汽车正好可以通过大门．【解答】解：根据题意知，A（﹣2，﹣4.4），B（2，﹣4.4），设这个函数为y=kx2．将A的坐标代入，得y=﹣1.1x2，∴E、F两点的横坐标就应该是﹣1.2和1.2，∴将x=1.2代入函数式，得y≈﹣1.6，∴GH=CH﹣CG=4.4﹣1.6=2.8m，因此这辆汽车正好可以通过大门．【点评】本题主要结合实际问题考查了二次函数的应用，得出二次函数式进而求出大门顶部宽2.4m部分离地面的高度是解题的关键．2024年甘肃省兰州市七里河区九年级上期末模拟数学试卷一、选择题（共10题；共30分）1.一元二次方程x2+2x=0的根是（）A.

x=0或x=﹣2

B.

x=0或x=2

C.

x=0

D.

x=﹣22.直径分别为8和6的两圆相切，则这两圆的圆心距等于（)A.

14

B.

2

C.

14或2

D.

7或13.关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A.

k≥﹣1

B.

k≥﹣1且k≠0

C.

k≤﹣1

D.

k≤1且k≠04.下列电视台的台标，是中心对称图形的是（

）A.

B.

C.

D.

5.若两圆的半径分别为5和2，圆心距是4,则这两圆的位置关系是（）A.

外离

B.

外切

C.

相交

D.

内含6.如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（

）

A.

3

B.

4

C.

D.

7.当x<0时，函数的图象在(

)A.

第四象限

B.

第三象限

C.

第二象限

D.

第一象限8.从长度分别为1、3、5、7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为(

)A.

B.

C.

D.

9.方程（x+1）（x﹣3）=5的解是（）A.

x1=1，x2=﹣3

B.

x1=4，x2=﹣2

C.

x1=﹣1，x2=3

D.

x1=﹣4，x2=210.某广场绿化工程中有一块长2千米，宽1千米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间既周边留有宽度相等的人行通道（如图），并在这些人行通道铺上瓷砖，要求铺瓷砖的面积是矩形空地面积的，设人行通道的宽度为x千米，则下列方程正确的是（）

A.

（2﹣3x）（1﹣2x）=1

B.

（2﹣3x）（1﹣2x）=1

C.

（2﹣3x）（1﹣2x）=1

D.

（2﹣3x）（1﹣2x）=2二、填空题（共8题；共24分）11.在一个不透明的口袋中，有3个完全相同的小球，他们的标号分别是2，3，4，从袋中随机地摸取一个小球然后放回，再随机的摸取一个小球，则两次摸取的小球标号之和为5的概率是________．12.已知点（m﹣1，y1），（m﹣3，y2）是反比例函数y=（m＜0）图象上的两点，则y1________y2（填“＞”或“=”或“＜”）13.如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为________

．

14.如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶．试图让网球落入桶内，已知AB=4米，AC=3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．当竖直摆放圆柱形桶至少________

个时，网球可以落入桶内．

15.已知圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高为________．16.代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．17.代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．18.边长为1的正三角形的内切圆半径为

________三、解答题（共6题；共36分）19.如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E．

（1）求证：D为BC的中点；

（2）过点O作OF⊥AC，于F，若AF=，BC=2，求⊙O的直径．

20.已知x2+（a+3）x+a+1=0是关于x的一元二次方程．

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求实数a的值．21.家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻R（kΩ）随温度t（℃）（在一定范围内）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ．

（1）求当10≤t≤30时，R和t之间的关系式；

（2）求温度在30℃时电阻R的值；并求出t≥30时，R和t之间的关系式；

（3）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过6kΩ？

22.如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN．

求证：（1）M为BD的中点；（2）．

23.如图,⊙O是△ABC的外接圆,D是弧ACB的中点,DE//BC交AC的延长线于点E,若AE=10,∠ACB=60°,求BC的长．

24.一对姐弟中只能有一人参加夏季夏令营，姐弟俩提议让父亲决定．父亲说：现有4张卡片上分别写有1，2，3，4四个整数，先让姐姐随机地抽取一张后放回，再由弟弟随机地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则姐姐参加，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则弟弟参加．试用列表法或树状图分析这种方法对姐弟俩是否公平．四、综合题（共10分）25.如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2，求BC的长．

2024年甘肃省兰州市七里河区九年级（上）期末模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1.【答案】A【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】【解答】解：∵x2+2x=0，

∴x（x+2）=0，

∴x=0或x+2=0，

∴x1=0或x2=﹣2，

故选A．

【分析】首先提取公因式x可得x（x+2）=0，然后解一元一次方程x=0或x+2=0，据此选择正确选项．2.【答案】D【考点】相切两圆的性质【解析】【分析】两圆相切，则两圆外切或内切．当两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和；当两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差．【解答】当两圆外切时，则圆心距等于8÷2+6÷2=7；

当两圆内切时，则圆心距等于8÷2-6÷2=1．

故选D．【点评】此题考查了两圆的位置关系与数量之间的联系．注意：两圆相切，则两圆内切或外切3.【答案】A【考点】根的判别式【解析】【解答】解：（1）当k=0时，﹣6x+9=0，解得x=；

（2）当k≠0时，此方程是一元二次方程，

∵关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，

∴△=22﹣4k×（﹣1）≥0，解得k≥﹣1，

由（1）、（2）得，k的取值范围是k≥﹣1．

故选：A．

【分析】由于k的取值范围不能确定，故应分k=0和k≠0两种情况进行解答．4.【答案】D【考点】中心对称及中心对称图形【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故A选项错误；

B、不是中心对称图形，故B选项错误；

C、不是中心对称图形，故C选项错误；

D、是中心对称图形，故D选项正确．

故选D．

【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．5.【答案】C【考点】圆与圆的位置关系【解析】【分析】本题主要考查两圆位置关系的判定，确定R-r、R+r、d三者之间的关系即可．【解答】由题意知，

圆心距5-2＜d＜5+2，

故两圆相交，

故选C．【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，①外离，则P＞R+r；②外切，则P=R+r；③相交，则R-r＜P＜R+r；④内切，则P=R-r；⑤内含，则P＜R-r．6.【答案】C【考点】垂径定理【解析】【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OM的长．【解答】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，

由垂径定理、勾股定理得：OM=ON==3，

∵弦AB、CD互相垂直，

∴∠DPB=90°，

∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，

∴∠OMP=∠ONP=90°

∴四边形MONP是矩形，

∵OM=ON，

∴四边形MONP是正方形，

∴OP=3

故选：C．【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线7.【答案】C【考点】反比例函数的图象【解析】【分析】根据反比例函数图象的性质可得．k＜0，x＜0时图象是位于第二象限。

因k=-5＜0，

所以函数的图象在二、四象限，

又∵x＜0时，∴函数的图象在第二象限。

故选C．8.【答案】C【考点】概率的意义【解析】【解答】解：有（1,3,5），（1,3,7），（1,5,7），（3,5,7），共4等可能的情况；

而能构成三角形的只有（3,5,7）一种情况，

则P（构成三角形）=.

故选C.

【分析】先写出所有等可能的情况，再根据三角形的判定条件，找出符合的情况数，并求出概率.9.【答案】B【考点】解一元二次方程-公式法，解一元二次方程-因式分解法【解析】【解答】解：（x+1）（x﹣3）=5，

x2﹣2x﹣3﹣5=0，

x2﹣2x﹣8=0，

化为（x﹣4）（x+2）=0，

∴x1=4，x2=﹣2．

故选：B．

【分析】首先把方程化为一般形式，利用公式法即可求解．10.【答案】A【考点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设人行通道的宽度为x千米，

则矩形绿地的长为：（2﹣3x），宽为（1﹣2x），

由题意可列方程：2×（2﹣3x）（1﹣2x）=×2×1，

即：（2﹣3x）（1﹣2x）=1，

故选：A．

【分析】根据题意分别表示出矩形绿地的长和宽，再由铺瓷砖的面积是矩形空地面积的，即矩形绿地的面积=矩形空地面积，可列方程．二、填空题11.【答案】【考点】列表法与树状图法【解析】【解答】解：列表如下：2342（2，2）（3，2）（4，2）3（2，3）（3，3）（4，3）4（2，4）（3，4）（4，4）所有等可能的结果有9种，其中之和为5的情况有2种，

则P之和为5=．

故答案为：

【分析】列表得出所有可能的情况数，找出之和为5的情况数，即可求出所求的概率．12.【答案】＞【考点】反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：∵在反比例函数y=（m＜0）中，k=m＜0，∴该反比例函数在第二象限内y随x的增大而增大，

∵m﹣3＜m﹣1＜0，

∴y1＞y2．

故答案为：＞．

【分析】由反比例函数系数小于0，可得出该反比例函数在第二象限单增，结合m﹣1、m﹣3之间的大小关系即可得出结论．13.【答案】【考点】切线的性质【解析】【解答】如图,

连接OP、OQ，

∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ.

根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，

∴当PO⊥AB时，线段PQ最短.此时，

∵在Rt△AOB中，OA=OB=，∴AB=OA=6.

∴OP=AB=3.

∴.

【分析】根据等腰直角三角形的性质和切线的性质即可得出答案。14.【答案】8【考点】二次函数的应用【解析】【解答】解：（1）以点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系（如图），

M（0，5），B（2，0），C（1，0），D（，0）

设抛物线的解析式为y=ax2+k，

抛物线过点M和点B，

则k=5，a=﹣．

∴抛物线解析式为：y=﹣x2+5；

∴当x=1时，y=；

当x=时，y=．

∴P（1，），Q（，）在抛物线上；

设竖直摆放圆柱形桶m个时网球可以落入桶内，

由题意，得，≤m≤，

解得：7≤m≤12；

∵m为整数，

∴m的最小整数值为：8，

∴竖直摆放圆柱形桶至少8个时，网球可以落入桶内．

故答案为：8．

【分析】以抛物线的对称轴为y轴，水平地面为x轴，建立平面直角坐标系，设解析式，结合已知确定抛物线上点的坐标，代入解析式确定抛物线的解析式，由圆桶的直径，求出圆桶两边缘纵坐标的值，确定m的范围，根据m为正整数，得出m的值，即可得到当网球可以落入桶内时，竖直摆放圆柱形桶个数．15.【答案】4【考点】圆锥的计算【解析】【解答】解：设圆锥的母线长为l，

根据题意得•2π•3•l=15π，解得l=5，

所以圆锥的高==4．

故答案为4．

【分析】设圆锥的母线长为l，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到•2π•3•l=15π，然后求出l后利用勾股定理计算圆锥的高．16.【答案】x≥1【考点】二次根式有意义的条件【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，

∴x﹣1≥0，

解得x≥1．

故答案为：x≥1．

【分析】二次根式的有意义的条件为被开方数为非负数.17.【答案】x≥3【考点】二次根式有意义的条件【解析】【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，∴x﹣3≥0，

解得：x≥3，

∴x的取值范围是：x≥3．

故答案为：x≥3．

【分析】直接利用二次根式的定义得出x﹣3≥0，进而求出答案．18.【答案】【考点】三角形的内切圆与内心【解析】【解答】解：如图，

​

∵内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成一个30°的直角三角形，

则∠OBD=30°，BD=,

∴tan∠OBD==，

∴内切圆半径OD==．

故答案为：．

【分析】根据等边三角形的三线合一，可以构造一个由其内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成的30°的直角三角形，利用锐角三角函数关系求出内切圆半径即可．三、解答题19.【答案】解：（1）连接AD

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC，

又∵AB=AC，

∴点D是BC的中点；

（2）∵OF⊥AC于F，AF=，

∴AE=2AF=

连接BE，

∵AB为直径D、E在圆上

∴∠ADB=∠ADC=∠BEA=∠BEC=90°

∴在△BEC、△ADC中，

∠BEC=∠ADC，∠C=∠C

∴△BEC∽△ADC

即CD：CE=AC：BC

∵D为BC中点

∴CD=BC

又∵AC=AB

∴BC2=CE•AB

设AB=x，可得

x（x﹣）=2，解得x1=﹣（舍去），x2=4．

∴⊙O的直径为4．【考点】圆周角定理【解析】【分析】（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角，以及三线合一定理即可证得；

（2）先根据垂径定理，求得AE=2AF=​；再运用圆周角定理的推论得∠ADB=∠ADC=∠BEA=∠BEC=90°，从而可证得∴△BEC∽△ADC，即CD：CE=AC：BC，根据此关系列方程求解即可得⊙O的直径．20.【答案】（1）证明：△=（a+3）2﹣4（a+1）

=a2+6a+9﹣4a﹣4

=a2+2a+5

=（a+1）2+4，

∵（a+1）2≥0，

∴（a+1）2+4＞0，即△＞0，

∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：根据题意得x1+x2=﹣（a+3），x1x2=a+1，

∵x12+x22=10，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=10，

∴（a+3）2﹣2（a+1）=10，

整理得a2+4a﹣3=0，解得a1=﹣2+，a2=﹣2﹣，

即a的值为﹣2+或﹣2﹣．【考点】根的判别式，根与系数的关系【解析】【分析】（1）先计算判别式，再进行配方得到△=（a+1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根；

（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣（a+3），x1x2=a+1，再利用完全平方公