北师大版初中九年级数学上册专项素养巩固训练卷(五)与相似有关的动态变换题(练题型)课件

与相似有关的动态变换题(练题型)专项素养巩固训练卷(五)类型一相似三角形中的平移、翻折、旋转1.(★☆☆)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,一直角三角板的直角顶点O

在AB边的中点上,这块三角板绕O点旋转,两条直角边始终与AC、BC边分别相

交于E、F,连接EF,则在转动过程中,△OEF与△ABC的关系是

()A.一定相似

B.当E是AC中点时相似C.不一定相似

D.无法判断A解析

A如图,连接OC,∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠A=∠B=45°,∵点O为AB的

中点,∴OA=OB=OC,CO⊥AB,∠ACO=∠B=45°,∵∠EOC+∠COF=∠COF+∠BOF=90°,∴∠EOC=∠BOF,在△COE和△BOF中,

∴△COE≌△BOF(ASA),∴OE=OF,∴△OEF是等腰直角三角形,∴∠OEF=∠OFE=∠A=∠B=45°,∴△OEF与△CAB相似.故选A.2.(★★☆)如图,将斜边AB长12cm,∠A=30°的直角三角板ABC绕点C按顺时针

方向旋转90°至△A′B′C的位置,再沿CB向左平移使点B′的对应点B″落在△ABC

的斜边AB上,则三角板向左平移的距离为

cm.(结果保留根号)(6-2 )

答案

(6-2

)解析如图,连接B'B″,∵在Rt△ABC中,AB=12,∠A=30°,∴BC=

AB=6,∴AC=6

,B'C=6,∴AB'=AC-B'C=6

-6,∵B'C∥B″C″,B'C=B″C″,∠B″C″C=90°,∴四边形B″C″CB'是矩形,∴B″B'∥C″C,∴△AB″B'∽△ABC,∴

=

,即

=

,解得B″B'=6-2

.∴三角板向左平移的距离为(6-2

)cm.3.[一题多解](2022江苏苏州中考,16,★★★)如图,在矩形ABCD中,

=

.动点M从点A出发,沿边AD向点D匀速运动,动点N从点B出发,沿边BC向点C匀速运动,连

接MN.动点M,N同时出发,点M运动的速度为v1,点N运动的速度为v2,且v1<v2.当点N

到达点C时,M,N两点同时停止运动.在运动过程中,将四边形MABN沿MN翻折,得

到四边形MA'B'N.若在某一时刻,点B的对应点B'恰好与CD的中点重合,则

的值为

.答案

解析解法一:如图,设AD交A'B'于点Q,BN=NB'=x.∵

=

,∴可设AB=2k,CB=3k,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=3k,CD=AB=2k,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,∵B'是CD的中点,∴CB'=B'D=k,在Rt△CNB'中,CN2+CB'2=NB'2,∴(3k-x)2+k2=x2,∴x=

k,∴NB'=

k,CN=3k-

k=

k,由翻折的性质可知∠A'B'N=∠B=90°,∴∠DB'Q+∠CB'N=90°,∵∠CB'N+∠CNB'=90°,∴∠DB'Q=∠CNB',又∵∠D=∠C=90°,∴△DB'Q∽△CNB',∴DQ∶DB'∶QB'=CB'∶CN∶NB'=3∶4∶5,∵DB'=k,∴DQ=

k,由翻折的性质可知∠A'=∠A=90°,∴∠D=∠A',又∵∠DQB'=∠A'QM,∴△DQB'∽△A'QM,∴DQ∶DB'∶QB'=A'Q∶A'M∶QM=3∶4∶5,设AM=MA'=y,则MQ=

y,∵DQ+QM+AM=3k,∴

k+

y+y=3k,∴y=k,∵动点M,N同时出发,∴

=

=

=

.解法二:如图,连接BB',过点M作MH⊥BC于点H.设AB=CD=6m,CB=9m,BN=NB'=n,则n2=(3m)2+(9m-n)2,∴n=5m,∴BN=5m,由翻折的性质可知BB'⊥MN,又∵MH⊥BC,∴∠B'BC+∠MNH=∠NMH+∠MNH=90°,∴∠B'BC=∠NMH,又∵∠C=∠MHN=90°,∴△BB'C∽△MNH,∴

=

,即

=

,∴NH=2m,∴AM=BH=3m,∴

=

=

=

.4.(2022山东济南天桥期末,26,★★★)(1)如图①,正方形ABCD与等腰直角△AEF有公共顶点A,∠EAF=90°,连接BE、

DF,将△AEF绕点A旋转,在旋转过程中,直线BE、DF相交所成的角为β,则

=

,β=

.(2)如图②,矩形ABCD与Rt△AEF有公共顶点A,∠EAF=90°,且AD=2AB,AF=2AE,

连接BE、DF,将Rt△AEF绕点A旋转,在旋转过程中,直线BE、DF相交所成的角

为β,请求出

的值及角β的度数.(3)如图③,若平行四边形ABCD与△AEF有公共顶点A,且∠BAD=∠EAF=α(0°<α

<180°),AD=kAB,AF=kAE(k≠0),连接BE、DF,将△AEF绕点A旋转,在旋转过程

中,直线BE、DF相交所成的角为β,则:①

=

.②请直接写出α和β之间的关系.解析

(1)如图1,延长DF交BE于点G,在正方形ABCD和等腰直角△AEF中,AD=AB,AF=AE,∠BAD=∠EAF=90°,∴∠FAD=∠EAB,∴△FAD≌△EAB(SAS),∴∠AFD=∠AEB,DF=BE,即

=1.∵∠AFD+∠AFG=180°,∴∠AEG+∠AFG=180°,∵∠EAF=90°,∴∠EGF=360°-180°-90°=90°,∴DG⊥BE,∴β=90°.(2)如图2,延长DF交EB于点H,∵AD=2AB,AF=2AE,∴

=

=2,∵∠BAD=∠EAF=90°,∴∠FAD=∠EAB,∴△FAD∽△EAB,∴

=

=2,∠AFD=∠AEB,∴

=

,∵∠AFD+∠AFH=180°,∴∠AEH+∠AFH=180°,∵∠EAF=90°,∴∠EHF=360°-180°-90°=90°,∴DH⊥BE,∴β=90°.(3)如图3,延长DF交EB的延长线于点H,①∵AD=kAB,AF=kAE(k≠0),∴

=

=k,∵∠BAD=∠EAF=α,∴∠FAD=∠EAB,∴△FAD∽△EAB,∴

=

=k,∴

=

.②α+β=180°.类型二相似中的动点问题5.(★★☆)如图,△ABC≌△DEF,AB=AC=5,BC=6,△ABC固定不动,点E在BC边

上从B向C移动(点E不与B、C重合),DE始终经过点A,EF与AC边交于点M,当△

AEM是等腰三角形时,BE=

.1或答案

1或

解析∵△ABC≌△DEF,AB=AC,∴DE=DF,∠AEF=∠B=∠C,又∵∠AME>∠C,

∴∠AME>∠AEF,∴AE≠AM.∴当△AEM是等腰三角形时,有以下两种情况:①当AE=EM时,易得△ABE≌△ECM,∴CE=AB=5,∴BE=BC-EC=6-5=1;②当AM=EM时,∠MAE=∠MEA,易知∠BAE=∠CEM,∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM,即∠CAB=∠CEA,又∵∠C=∠C,∴△CAE∽△CBA,∴

=

,∴CE=

=

,∴BE=6-

=

.综上,BE=1或

.6.(2024陕西宝鸡期末,19,★★☆)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm,

动点P从点A开始沿着边AB向点B以1cm/s的速度运动,动点Q从点B开始沿着边

BC向点C以2cm/s的速度运动,若P、Q两点同时开始运动,当点P运动到点B时停

止,点Q也随之停止,当运动几秒时,以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似?解析设运动a秒时,以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似,∵∠PBQ=∠ABC,∴当

=

时,△PBQ∽△CBA,∴

=

,解得a=

.当

=

时,△PBQ∽△ABC,∴

=

,∴a=3,所以运动

秒或3秒时,以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似.7.(★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在边BC上移动(点D不与点B、C重合),

满足∠EDF=∠B,且点E、F分别在边AB、AC上.(1)求证:△BDE∽△CFD.(2)当点D移动到BC的中点时,求证:点E关于直线DF的对称点在直线AC上.证明:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠BED=180°-∠B-∠BDE,∠CDF=180°-∠EDF-∠BDE,∠EDF=∠B,∴∠BED=∠CDF,∴△BDE∽△CFD.(2)如图,连接EF,∵△BDE∽△CFD,∴

=

,∵点D是BC的中点,∴BD=CD,∴

=

,∵∠C=∠EDF,∴△DEF∽△CDF,∴∠DFE=∠CFD,∴FD平分∠EFC,∴点E关于直线DF的对称点在直线AC上.8.(★★☆)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=5,AD=6,BC=12,动点P从

D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向C点运动,动点Q从C点出发沿CB以每秒2

个单位的速度向B点运动,两点同时出发,当P点到达C点时,Q点随之停止运动.(1)梯形ABCD的面积等于

.(2)当PQ∥AB时,P点离开D点的时间为

秒.(3)当以P、Q、C为顶点的三角形是直角三角形时,P点离开D点多长时间?解析

(1)36.(2)如图1,过点D作DF∥AB交BC于点F.∵DF∥AB,PQ∥AB,∴PQ∥DF,∵AD∥BC,∴四边形ABFD是平行四边形,∴AD=BF=6,∴CF=BC-BF=6,设当PQ∥AB时,P点离开D点的时间为t秒.∴DP=t,CQ=2t,∴PC=5-t,易知△DFC∽△PQC,∴

=

,即

=

,解得t=

.(3)过点D作DE⊥BC于点E,则CE=3.当以P、Q、C为顶点的三角形是直角三角形

时,分两种情况:①当PQ⊥BC时,如图2,设点P离开点D的时间为x1秒,则DP=x1,CP=5-x1,QC=2x1.∵

∠PQC=∠DEC=90°,∠C=∠C,∴△QCP∽△ECD,∴

=

,即

=

,解得x1=

.故当PQ⊥BC时,点P离开点D的时间为

秒.②当QP⊥CD时,如图3,设点P离开点D的时间为x秒,则DP=x,PC=5-x,QC=2x.∵∠QPC=∠DEC=90°,∠C=∠C,∴△QPC∽△DEC,∴

=

,即

=

,解得x=

.故当QP⊥CD时,点P离开点D的时间为

秒.综上所述,当以P、Q、C为顶点的三角形是直角三角形时,点P离开点D的时间为

秒或

秒.

9.(★★★)(1)问题发现:如图a,在Rt△ABC和Rt△CDE中,∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=45°,点D是

线段AB上一动点,连接BE.填空:①

的值为

.②∠DBE的度数为

.(2)类比探究:如图b,在Rt△ABC和Rt△CDE中,∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=60°,点D是

线段AB上一动点,连接BE.求出

的值及∠DBE的度数.如图c,在(2)的条件下,将点D改为直线AB上一动点,其余条件不变,取线段DE的中

点M,连接BM,CM.若AC=2,则当△CBM是直角三角形时,线段BE的长是多少?请

直接写出答案.(3)拓展延伸:解析

(1)①1.②90°.(2)∵∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=60°,∴∠ACD=∠BCE,∠CED=∠ABC=30°.∴AB=2AC,DE=2CD,∴根据勾股定理可得BC=

AC,EC=

CD,∴

=

=

.∴△ACD∽△BCE.∴

=

=

,∠CBE=∠CAD=60°.∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°.(3)3+

或3-

.类型三图形变化引起的探究10.(2024陕西咸阳市实验中学期中,26,★★★)【问题提出】(1)如图①,正方形ABCD的对角线相交于点O,则∠OAB的度数是

°.【问题探究】(2)如图②,在△ABC中,BA=BC,∠B=120°,点P为边AC上的点,点E、F分别在边AB、BC上,连接PE,PF,∠EPF=60°,点G为BC上一点,且PG=PC,求证:△AEP∽△GFP.【问题解决】(3)如图③,某地拟建造一个形如四边形ABCD的露营基地,其中AD=CD,∠D=∠BAD=∠