北师大版初中九年级数学上册专项素养巩固训练卷(二)特殊平行四边形中的动态变化问题(练题型)课件

特殊平行四边形中的动态变化问题(练题型)专项素养巩固训练卷(二)类型一与菱形有关的动态变化问题1.(2023辽宁铁岭月考,8,★★★)如图,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分

别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为

()BA.1

B.

C.2

D.

+1解析

B∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,∵∠A=120°,∴∠ABC=180°-∠A=180°-120°=60°,如图,作点P关于直线BD的对称点P',连接P'Q,P'C,则P'Q的长即为PK+QK的最小值,易知当点Q与点C重合,P'C⊥AB时,P'Q的

值最小,为

,即PK+QK的最小值为

.故选B.2.(★★☆)两块完全相同的三角板Ⅰ(△ABC)和三角板

Ⅱ(△A1B1C1)按如图①所示的方式放置在同一平面内(∠C=∠C1=90°,∠ABC=∠A1B1C1=60°),斜边重合.若三角板Ⅱ不动,三角板Ⅰ在三角板Ⅱ所在的平面内向右

滑动,图②是滑动过程中的一个位置.(1)在图②中,连接BC1、B1C,求证:△A1BC1≌△AB1C.(2)三角板Ⅰ滑动到什么位置(点B1落在AB边的什么位置)时,四边形BCB1C1是菱

形?说明理由.考向实践探究试题解析

(1)证明:∵三角板Ⅰ(△ABC)和三角板Ⅱ(△A1B1C1)是两块完全相同的三

角板,∴AC=A1C1,AB=A1B1,∠A=∠A1,∴在题图②中,A1B1-BB1=AB-BB1,即A1B=AB1,∴△A1BC1≌△AB1C(SAS).(2)点B1落在AB边的中点位置时,四边形BCB1C1是菱形.理由如下:由已知条件知BC=B1C1,BC∥B1C1,∴四边形BCB1C1是平行四边形.又∵∠A=30°,∴在直角三角形ABC中,BC=

AB,∵点B1落在AB边的中点位置,∴BB1=

AB,∴BC=BB1.∵∠ABC=60°,∴△BCB1为等边三角形,∴CB=CB1,∴四边形BCB1C1是菱形.3.(★★☆)如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠DAB=60°,点P从点A出发,以2cm/s

的速度沿A→D→C运动,过点P作射线AB的垂线,交射线AB于点Q,在点P的运动

过程中,设运动时间为t(s).(1)写出线段PD的长(用含t的式子表示).(2)当PQ平分菱形ABCD的面积时,求t的值.解析

(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD=DC=4cm,当0≤t≤2时,PD=(4-2t)

cm;当2<t≤4时,PD=(2t-4)cm.(2)如图,连接BD,设BD交PQ于点O,过点D作DM⊥AB于点M,则四边形DPQM为矩形,∴DP=MQ,∵AD=AB=4cm,∠DAB=60°,∴∠ADM=30°,

∴AM=

AD=2cm,当PQ平分菱形ABCD的面积时,PQ经过BD的中点,∴OB=OD,∵四边形ABCD是菱形,∴DC∥AB,∴∠PDO=∠OBQ,∠DPO=∠BQO,∴△DPO≌△BQO(AAS),∴DP=BQ=(2t-4)cm,∴2+2t-4+2t-4=4,解得t=

.4.[学科素养推理能力](★★★)在边长为6的菱形ABCD中,动点M从点A出发,沿着A→B→C的路线向终点C运动,连接DM交AC于点N,连接BN.(1)如图①,当点M在AB边上运动时,(i)求证:△ABN≌△ADN.(ii)若∠ABC=60°,∠ADM=20°,求证:MB=MN.(2)如图②,若∠ABC=90°,记点M运动所经过的路程为x,求使得△AND为等腰三

角形的x的值.第4题图解析

(1)证明:(i)如图1,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠1=∠2.又∵AN=AN,∴△ABN≌△ADN.(ii)如图1,连接DB.易得∠ABN=∠ADM=20°,∵四边形ABCD是菱形,∴AC垂直平分BD,∴NB=ND.∵∠ABC=60°,∴∠ABD=∠ADB=30°.∵∠ADM=20°,∴∠BDN=∠DBN=10°,∴∠BNM=∠MBN=20°,∴MB=MN.(2)∵∠ABC=90°,∴菱形ABCD是正方形.∴∠CAD=45°.分三种情况:①若ND=NA,则∠ADN=∠NAD=45°.此时,点M恰好与点B重合,得x=6.②若ND=DA,则∠DNA=∠DAN=45°.此时,点M恰好与点C重合,得x=12.③若AN=AD=6,如图2,则∠1=∠2.∵AD∥BC,∴∠1=∠4.又∵∠2=∠3,∴∠3=∠4,∴CM=CN.∵AC=6

,∴CM=CN=AC-AN=6

-6.故x=12-CM=12-(6

-6)=18-6

.综上所述,当x=6或12或18-6

时,△AND为等腰三角形.类型二与矩形有关的动态变化问题5.(★★☆)如图,在矩形ABCD中,BC=20cm,点P和点Q分别从点B和点D同时出

发,按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动,点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm

/s,当四边形ABPQ初次为矩形时,点P和点Q运动的时间为

()A.2s

B.3s

C.4s

D.5sC解析

C设当四边形ABPQ初次为矩形时,点P和点Q运动的时间为xs,由题意

得3x=20-2x,解得x=4,故选C.6.(★★☆)如图,在矩形ABCD中,AB=24厘米,BC=10厘米,点P从A出发沿AB边以4

厘米/秒的速度运动,点Q从C出发沿CD边以2厘米/秒的速度运动,如果点P、Q分

别从A、C同时出发,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设运动时

间为t秒.(1)当t=2时,求P、Q两点之间的距离.(2)t为何值时,线段AQ与DP互相平分?(3)t为何值时,四边形APQD的面积为矩形ABCD面积的

?解析

(1)如图所示,连接PQ,过点P作PE⊥DQ于点E,∵点P从A出发沿AB边以4厘米/秒的速度运动,点Q从C出发沿CD边以2厘米/秒

的速度运动,∴当t=2时,QC=4cm,AP=8cm,∴DQ=24-QC=20cm,∴EQ=12cm,∴PQ=

=

=2

(cm),即当t=2时,P、Q两点之间的距离为2

cm.(2)由题意知AP=4tcm,DQ=(24-2t)cm,当线段AQ与DP互相平分时,四边形APQD为矩形,则AP=DQ,即4t=24-2t,解得t=4.故t为4时,线段AQ与DP互相平分.(3)S四边形APQD=

(AP+DQ)·AD=

(4t+24-2t)×10=(10t+120)cm2,S矩形ABCD=10×24=240cm2,∴10t+120=

×240,解得t=3.∴t为3时,四边形APQD的面积为矩形ABCD面积的

.类型三与正方形有关的动态变化问题7.[方程思想](★★☆)如图,正方形ABCD的边长为10厘米,点E在AB边上,BE=6厘

米.(1)如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度从点B向点C运动,同时,点Q在线段CD

上从点C向点D运动.①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPE与△CQP是否全

等?请说明理由.②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够

使△BPE与△CQP全等?(2)若点Q以(1)②中的运动速度从点C出发,点P以4厘米/秒的运动速度从点B同时

出发,都逆时针沿正方形ABCD四边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次相遇,

并说明在何处相遇.

解析

(1)①全等,理由:由题意得BP=CQ=4×1=4厘米,∵正方形ABCD的边长为10厘米,∴PC=6厘米=BE,又∵正方形ABCD中,∠B=∠C,∴△BPE≌△CQP(SAS).②设运动时间为t秒,∵vP≠vQ,∴BP≠CQ,又∵∠B=∠C,∴只能有△BPE≌△CPQ,则BP=CP,∵BP=4t厘米,∴CP=(10-4t)厘米,∴4t=10-4t,解得t=

,∴点Q的运动速度为

=4.8厘米/秒.(2)设经过x秒点P与点Q第一次相遇,由题意,得4.8x-4x=30,解得x=

,∴点P运动了

×4=150厘米,∴点P、点Q在点A处相遇,∴经过

秒点P与点Q第一次相遇,且在点A处相遇.8.(★★★)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C

重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.(1)观察猜想:如图①,当点D在线段BC上时,(i)BC与CF的位置关系为

.(ii)BC,CD,CF之间的数量关系为

.(直接写出结论)(2)数学思考:如图②,当点D在线段CB的延长线上时,(1)中的结论(i)(ii)是否仍然成立?若成立,

请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.(3)拓展延伸:如图③,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE.若已知AB=2,CD=

BC,则GE的长为

.(请直接写出结果)第8题图解析

(1)∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABD=∠ACB=45°,∵四边形ADEF是正方形,∴AD=AF,∠DAF=90°,∴∠BAD=∠CAF=90°-∠DAC,

∴△BAD≌△CAF(SAS),∴∠ABD=∠ACF=45°,BD=CF.(i)∵∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,∴BC⊥CF,故答案为BC⊥CF.(ii)∵BC=CD+BD=CD+CF,∴BC=CD+CF.故答案为BC=CD+CF.(2)BC⊥CF成立,BC=CD+CF不成立,正确结论为BC=CD-CF.证明:∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABC=∠ACB=45°,∵四边形ADEF是正方形,∴AD=AF,∠DAF=90°,∴∠BAD=∠CAF=90°-∠BAF,∴△BAD≌△CAF,∴∠ABD=∠ACF,BD=CF,∵∠ACF=∠ABD=180°-∠ABC=180°-45°=135°,∴∠BCF=∠ACF-∠ACB=135°-45°=90°,∴BC⊥CF,∴(1)中的结论(i)成立,∵BC=CD-BD=CD-CF,∴(1)中的结论(ii)不成立,正确结论为BC=CD-CF.(3)如图,过A作AH⊥BC于H,过E作EM⊥BM于M,EN⊥CF于N,∵∠BAC=90°,AC=AB=2

,∴BC=

AB=4,∵CD=

BC,∴CD=

×4=1,∵AH⊥BC,∴AH=

BC=BH=CH=2,∴DH=CH+CD=3,在正方形ADEF中,AD=DE=AF,∠ADE=∠DAF=90°,∵∠BAC=90°,∴∠BAC=

∠DAF=90°,∴∠BAD=∠CAF,在△DAB与△FAC中,

∴△DAB≌△FAC(SAS),∴∠ABD=∠ACF,∴∠ACB+∠ACF=∠ACB+∠ABD=180°-∠BAC=90°,∴BC⊥CF,∵EM⊥BM,EN⊥CF,∴四边形CMEN是矩形,∴NE=CM,EM=CN,∵∠ADE=90°,∴∠ADH+∠EDM=90°,∵∠EMD=90°,∴∠EDM+∠DEM=90°,∴∠ADH=∠DEM,∴△ADH≌△DEM(AAS),∴EM=DH=3,DM=AH=2,∴CN=EM=3,EN=CM=3,∵∠ABC=45°,∴∠BGC=45°,∴△BCG是等腰直角三角形,∴CG=BC=4,∴GN=CG-CN=1,在Rt△EGN中,EG= = = ,故答案为 .9.[学科素养推理能力](★★★)问题背景:在课外小组活动中,“创新小组”对“正方形旋转”问题进行了探究,如图①,边

长为6的正方形ABCD的对角线相交于点E,分别延长EA到点F,EB到点H,使AF=

BH,再以EF,EH为邻边作正方形EFGH,连接AH,DF.解决问题:(1)AH与DF之间的数量关系是

,位置关系是

.深入研究:(2)如图②,正方形EFGH固定不动,将正方形ABCD绕点E按顺时针方向旋转α,判

断AH与DF的关系,并证明.拓展延伸:(3)如图③,在正方形ABCD绕点E顺时针旋转的过程中(0°<α<90°),AB,BC分别交考向实践探究试题EF,EH于点M,N,连接MN,EC.(i)当AM=2时,直接写出S△BMN+S△CEN的值.(ii)若α=45°,在不添加字母的情况下,请你在图③中再找两个点,使以它们和点M,

N为顶点的四边形是特殊四边形,直接写出这个特殊四边形.(写两个,不需要证

明,需要指明是什么特殊四边形)第9题图解析

(1)如图,延长HA交FD于T,