北师大版初中九年级数学上册专项素养综合练(三)一元二次方程的五种解法课件

专项素养综合全练(三)一元二次方程的五种解法类型一形如(ax+m)2=n(n≥0)的一元二次方程用直接开平

方法1.(2024广西来宾期中)如图,这是一个简单的数值运算程序,

则输入x的值为

(

)

A.x1=2,x2=-2

B.x1=3,x2=-3C.x1=3,x2=-1

D.x1=-3,x2=1C解析由题意得2(x-1)2=8,整理得(x-1)2=4,直接开平方得x-1=

2或x-1=-2,解得x1=3,x2=-1.故选C.2.(2022河南桐柏期末)对于关于x的方程(ax+b)2=c,下列叙述

正确的是

(

)A.无论c为何值,方程均有实数根B.方程的根是x=

C.当c≥0时,方程可化为ax+b=

或ax+b=-

D.当c=0时,x=

C解析当c<0时,方程没有实数根;当c≥0时,方程有实数根,方

程可化为ax+b=

或ax+b=-

,解得x1=

,x2=

,当c=0时,x1=x2=-

.故选C.3.(2024内蒙古呼伦贝尔期末)方程(x+2)2=1的根是

.

x1=-1,x2=-3解析∵(x+2)2=1,∴x+2=1或x+2=-1,解得x1=-1,x2=-3.类型二用配方法求解一元二次方程4.(2024安徽池州月考)用配方法将方程x2-6x+5=0化成(x+a)2=

b的形式,则b的值是

(

)A.1

B.-1

C.4

D.-4C解析

x2-6x+5=0,移项,得x2-6x=-5,配方,得x2-6x+9=4,即(x-3)2=

4.故选C.5.用配方法解方程:(1)(2024湖北宜城期中)x2-3x+1=0.(2)(2024广东广州七十五中期末)x2-6x+4=0.(3)(2024河南新野期中)2x2-4x-5=0.解析

(1)移项得x2-3x=-1,配方得x2-3x+

=-1+

,∴

=

,∴x-

=±

,解得x1=

,x2=

.(2)移项得x2-6x=-4,配方得x2-6x+9=-4+9,∴(x-3)2=5,∴x-3=±

,∴x1=3+

,x2=3-

.(3)整理得x2-2x-

=0,移项得x2-2x=

,配方得x2-2x+1=

+1,∴(x-1)2=

,∴x-1=±

,解得x1=1+

,x2=1-

.类型三用公式法求解一元二次方程6.用公式法解下列方程:(1)y2-2y-3=0.

(2)3x2+6x=4.(3)4x2=20x-25.

(4)(2x+1)(x-1)=x(x-5).解析

(1)由题意知a=1,b=-2,c=-3,因而b2-4ac=(-2)2-4×1×(-3)=16>0,∴y=

=

.因此,原方程的根为y1=3,y2=-1.(2)移项,得3x2+6x-4=0.这里a=3,b=6,c=-4,因而b2-4ac=62-4×3×(-4)=84>0,∴x=

=

.因此,原方程的根为x1=

,x2=

.(3)移项,得4x2-20x+25=0.这里a=4,b=-20,c=25,因而b2-4ac=(-20)2-4×4×25=0,∴x=

=

=

.因此,原方程的根为x1=x2=

.(4)原方程可化为x2+4x-1=0,这里a=1,b=4,c=-1,因而b2-4ac=42-4×1×(-1)=20>0,∴x=

=

,因此,原方程的根为x1=-2+

,x2=-2-

.类型四用因式分解法求解一元二次方程(一)提公因式法7.(2023安徽安庆四中月考改编)解下列方程:(1)3x2-11x=0.

(2)x(x-3)=3-x.(3)3x(2x+1)=4x+2.解析

(1)∵3x2-11x=0,∴x(3x-11)=0,∴x=0或3x-11=0,∴x1=0,x2=

.(2)∵x(x-3)=3-x,∴x(x-3)+(x-3)=0,∴(x-3)·(x+1)=0,∴x-3=0或x+1=0,∴x1=3,x2=-1.(3)∵3x(2x+1)=4x+2,∴3x(2x+1)-2(2x+1)=0,∴(2x+1)(3x-2)=0,∴2x+1=0或3x-2=0,∴x1=-

,x2=

.(二)十字相乘法8.用因式分解法解方程:(1)(2024广东汕头潮阳期末)x2-7x+6=0.(2)(2023四川成都新都期末)x2-7x+10=0.(3)(2023四川成都新都期末)(x-3)(x+2)=6.解析

(1)分解因式得(x-1)(x-6)=0,可得x-1=0或x-6=0,解得x1=1或x2=6.(2)∵x2-7x+10=0,∴(x-2)(x-5)=0,∴x-2=0或x-5=0,∴x1=2,x2=5.(3)方程化为x2-x-12=0,∴(x-4)(x+3)=0,∴x-4=0或x+3=0,∴x1=4,x2=-3.9.(2024广东揭阳惠来期中)根据多项式乘法可知(x+p)(x+q)=

x2+(p+q)x+pq,从而我们可得十字相乘法进行因式分解的公

式:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q),比如:x2-4x-5=x2+(-5+1)x+(-5)×1=

(x-5)(x+1),据此回答下列问题:(1)将二次三项式x2+6x-7分解因式.(2)解一元二次方程x2-2023x-2024=0.(3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的一元二次方程

也可以借助此方法解.如:2x2+7x-4=0,方程分解为(x+4)(2x-1)=0,从而可以快速求出方程的解.请你利用此方法解方程3x2+x-10=0.解析

(1)x2+6x-7=(x-1)(x+7).(2)x2-2023x-2024=0.利用十字相乘法,得(x-2024)(x+1)=0.∴x-2024=0或x+1=0.∴x1=2024,x2=-1.(3)3x2+x-10=0.利用十字相乘法,得(3x-5)(x+2)=0.∴3x-5=0或x+2=0.∴x1=

,x2=-2.类型五用换元法解一元二次方程10.(教材变式·P57T12)为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以

将x2-1视为一个整体,设x2-1=y,则原方程可化为y2-5y+4=0,解

此方程得y1=1,y2=4.当y=1时,x2-1=1,所以x=±

;当y=4时,x2-1=4,所以x=±

.所以原方程的根为x1=

,x2=-

,x3=

,x4=-

.以上解方程的方法叫做换元法,利用换元法达到降次的目的,

体现了数学的转化思想.运用上述方法解下列方程:(1)(x2-x)(x2-x-4)=-4.(2)x4+x2-12=0.解析

(1)设x2-x=a,则原方程可化为a(a-4)=-4,整理得a2-4a+4

=0,解此方程得a1=a2=2,当a=2时,x2-x=2,即x2-x-2=0,因式分解

得(x-2)(x+1)=0,解