北师大版初中九年级数学上册第一章特殊平行四边形2矩形的性质与判定第1课时矩形的性质课件

第一章特殊平行四边形2矩形的性质与判定第1课时矩形的性质基础过关全练知识点1矩形的定义1.(新考向·开放型试题)(2022甘肃中考)如图,在四边形ABCD

中,AB∥DC,AD∥BC,在不添加任何辅助线的前提下,要使四

边形ABCD成为一个矩形,只需添加的一个条件是

.∠A=90°(答案不唯一)解析

(答案不唯一)添加的一个条件可以是∠A=90°.理由如

下:∵AB∥DC,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵∠A=90°,∴平行四边形ABCD是矩形.知识点2矩形边、角的性质2.如图,在矩形ABCD中,AC=4,AB=2,则AD的长是

(

)

A.8

B.4

C.2

D.6C解析∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°,AD=BC.∵AC=4,AB=2,∴AD=BC=

=2

,故选C.3.(2024陕西宝鸡陈仓期中)如图,在矩形ABCD中,点E,F分别

在AB,CD边上,AF=CE.求证:AE=CF.

证明∵四边形ABCD是矩形,∴BC=DA,AB=CD,∠B=∠D=

90°,在Rt△BCE和Rt△DAF中,

∴Rt△BCE≌Rt△DAF(HL),∴BE=DF,∵AB=CD,∴AB-BE=CD-DF,∴AE=CF.4.如图,在矩形ABCD中,点M在边DC上,AM=AB,且BN⊥AM,

垂足为点N.(1)求证:AN=DM.(2)若AD=3,AN=4,求矩形ABCD的面积.解析

(1)证明:在矩形ABCD中,∠D=90°,DC∥AB,∴∠BAN=

∠AMD.∵BN⊥AM,∴∠BNA=90°.在△ABN和△MAD中,

∴△ABN≌△MAD(AAS),∴AN=DM.(2)∵△ABN≌△MAD,∴BN=AD=3.在Rt△ANB中,AB2=AN2+BN2,AN=4,∴AB=

=5.∴S矩形ABCD=AD·AB=3×5=15.知识点3矩形对角线的性质5.(2023湖北襄阳中考)如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,

下列结论一定正确的是

(

)A.AC平分∠BAD

B.AB=BCC.AC=BD

D.AC⊥BDC解析根据矩形的对角线相等,可得AC=BD.故选C.6.(教材变式·P13例1)(2024河南郑州嵩阳中学月考)如图,在

矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E、F分别是AO、

AD的中点,若AB=6cm,BC=8cm,则△AEF的周长=

cm.

9解析∵四边形ABCD为矩形,∴∠ABC=90°,BD=AC,BC=

AD,在Rt△ABC中,AC=

=10cm,∵E、F分别是AO、AD的中点,∴EF是△AOD的中位线,∴EF=

OD=

BD=

AC=

cm,∴AF=

AD=

BC=4cm,AE=

AO=

AC=

cm,∴△AEF的周长=AE+AF+EF=9cm.故答案为9.7.(2022湖北鄂州中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD

相交于点O,且∠CDF=∠BDC,∠DCF=∠ACD.(1)求证:DF=CF.(2)若∠CDF=60°,DF=6,求矩形ABCD的面积.

解析

(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OC=

AC,OD=

BD,AC=BD,∴OC=OD,∴∠ACD=∠BDC,∵∠CDF=∠BDC,

∠DCF=∠ACD,∴∠CDF=∠DCF,∴DF=CF.(2)由(1)可知DF=CF,∵∠CDF=60°,∴△CDF是等边三角形,

∴CD=DF=6,∵∠CDF=∠BDC=60°,OC=OD,∴△OCD是等

边三角形,∴OD=CD=6,∴BD=2OD=12,∵四边形ABCD是矩

形,∴∠BCD=90°,∴BC=

=

=6

,∴S矩形ABCD=BC·CD=6

×6=36

.知识点4直角三角形斜边上的中线的性质8.(新考法·刻度尺与直角三角形)(2023湖南株洲中考)一技术

人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所

示,已知∠ACB=90°,D为边AB的中点,点A、B对应的刻度为

1、7,则CD=

(

)BA.3.5cm

B.3cm

C.4.5cm

D.6cm解析由题图可得,AB=7-1=6(cm),∵∠ACB=90°,D为线段

AB的中点,∴CD=

AB=3cm,故选B.9.(2023甘肃兰州中考)如图,在矩形ABCD中,E为BA延长线上

一点,F为CE的中点,以B为圆心,BF长为半径的圆弧过AD与

CE的交点G,连接BG.若AB=4,CE=10,则AG=

(

)

A.2

B.2.5

C.3

D.3.5C解析∵四边形ABCD为矩形,∴∠ABC=∠BAD=90°,在Rt△BCE中,F为斜边CE的中点,∴BF=

CE=5,∴BG=BF=5,在Rt△ABG中,AB=4,由勾股定理得AG=

=3.故选C.能力提升全练10.(2023辽宁丹东中考,9,★★☆)如图,在矩形ABCD中,对角

线AC与BD相交于点O,∠ABD=60°,AE⊥BD,垂足为点E,F是

OC的中点,连接EF,若EF=2

,则矩形ABCD的周长是(

)A.16

B.8

+4

C.4

+8

D.8

+8D解析∵四边形ABCD是矩形,对角线AC与BD相交于点O,∴∠ABC=90°,OA=OC=

AC,OB=OD=

BD,且AC=BD,∴OA=OB,∵∠ABD=60°,∴△AOB是等边三角形,∴AB=OA=OC=

AC,∴AC=2AB,∵AE⊥BD于点E,∴E为OB的中点,又∵F是OC的中点,EF=2

,∴BC=2EF=2×2

=4

,∴AD=BC=4

,∵BC=

=

=

AB,∴

AB=4

,∴AB=CD=4,∴矩形ABCD的周长=AD+BC+AB+CD=4

+4

+4+4=8

+8.故选D.11.(2024河南郑州一中月考,15,★★★)如图,∠MEN=90°,矩

形ABCD的顶点B,C分别是∠MEN两边上的动点,已知BC=10,

CD=5,则点D,E之间距离的最大值是

.

解析如图,取BC的中点F,连接EF、FD.∵∠MEN=90°,∴

EF=FC=

BC=5.∵四边形ABCD是矩形,∴∠BCD=90°,∴FD=

=

=5

.∵EF+DF≥ED,∴当D,E,F三点共线时,ED取得最大值,∴ED的最大值=EF+DF=5+5

.

12.(2024山西太原三十六中月考,17,★★☆)如图,将矩形ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为点E,AE与CD交于点F.(1)求证:△DAF≌△ECF.(2)若∠FCE=40°,求∠CAB的度数.

解析

(1)证明:根据折叠的性质得BC=EC,∠B=∠E,∵四边

形ABCD为矩形,∴AD=BC,∠D=∠B=∠E=90°,∴AD=EC,在△DAF和△ECF中,

∴△DAF≌△ECF(AAS).(2)∵△DAF≌△ECF,∴∠DAF=∠ECF=40°,∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=90°,∴∠EAB=∠DAB-∠DAF=90°-40°=50°,根据折叠的性质得∠EAC=∠CAB,∴∠CAB=25°.13.(2023湖北随州中考,18,★★☆)如图,矩形ABCD的对角线

AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.(1)求证:四边形OCED是菱形.(2)若BC=3,DC=2,求四边形OCED的面积.

解析

(1)证明:∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形,∵四边形A