北师大版初中九年级数学上册第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定第2课时菱形的判定课件

第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定第2课时菱形的判定基础过关全练知识点1

有一组邻边相等的平行四边形是菱形1.(2023河北邯郸三模)依据所标的数据,下列平行四边形一

定为菱形的是

(

)

C解析∵四边形是平行四边形,∴对角线互相平分,故A不一

定是菱形;∵四边形是平行四边形,∴对边相等,故B不一定是

菱形;∵四边形是平行四边形,∴对边平行,故D不一定是菱形;C中,根据三角形的内角和定

理可得180°-70°-55°=55°,可得四边形邻边相等,∵四边形是平行四边形,∴C是菱形.

故选C.2.(2023湖南张家界中考)如图,已知点A,D,C,B在同一条直线

上,且AD=BC,AE=BF,CE=DF.(1)求证:AE∥BF.(2)若DF=FC,求证:四边形DECF是菱形.证明

(1)∵AD=BC,∴AD+CD=BC+CD,∴AC=BD,∵AE=

BF,CE=DF,∴△AEC≌△BFD(SSS),∴∠A=∠B,∴AE∥BF.(2)∵△AEC≌△BFD,∴∠ECA=∠FDB,∴EC∥DF,∵EC=

DF,∴四边形DECF是平行四边形,∵DF=FC,∴平行四边形

DECF是菱形.3.(新独家原创)在平行四边形ABCD中,E、F分别是CD,AB上

的点,且AE∥CF.(1)求证:△ADE≌△CBF.(2)若平行四边形ABCD的周长是△ADE的周长的2倍,求证:

四边形AECF为菱形.证明

(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠D=∠B,AD=CB,

DC∥AB,∴∠AED=∠EAB,∵AE∥CF,∴∠CFB=∠EAB,∴

∠AED=∠CFB,∴△ADE≌△CBF.(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AF∥CE,∵AE∥CF,∴四边形AFCE是平行四边形,∵平行四边形ABCD的周长是△ADE的周长的2倍,∴2(AD+

DC)=2(AD+DE+AE),∴AD+DC=AD+DE+AE,∴DC=DE+AE,∵DC=DE+EC,∴AE=EC,∴四边形AECF为菱形.知识点2

对角线互相垂直的平行四边形是菱形4.(新考向·开放型试题)(2023黑龙江齐齐哈尔中考)如图,在四

边形ABCD中,AD=BC,AC⊥BD于点O.请添加一个条件:

,使四边形ABCD成为菱形.

AD∥BC(答案不唯一)解析答案不唯一.当添加“AD∥BC”时,∵AD∥BC,AD=

BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形.5.(教材变式·P6例2)(2023湖南永州中考)如图,已知四边形

ABCD是平行四边形,其对角线相交于点O,OA=3,BD=8,AB=

5.(1)△AOB是直角三角形吗?请说明理由.(2)求证:四边形ABCD是菱形.

解析

(1)△AOB是直角三角形,理由如下:∵四边形ABCD是

平行四边形,BD=8,∴OB=OD=

BD=4,∵OA=3,AB=5,∴OA2+OB2=AB2,∴△AOB是直角三角形,且∠AOB=90°.(2)由(1)可知,∠AOB=90°,∴AC⊥BD,∴平行四边形ABCD是

菱形.知识点3四边相等的四边形是菱形6.(2024贵州六盘水水城期中)如图所示,已知△ABC,AB=AC,

将△ABC沿边BC翻转,得到的△DBC与原△ABC拼成四边形

ABDC,则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是(

)A.一组邻边相等的平行四边形是菱形B.四边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形BD.对角线互相垂直平分的四边形是菱形解析将△ABC沿BC边翻转可得AB=BD,CD=AC,∵AB=AC,

∴AB=AC=BD=CD,∴根据“四边相等的四边形是菱形”可

以直接判定四边形ABDC是菱形.故选B.7.如图,AC=8,分别以点A,C为圆心,以5为半径作弧,两条弧分

别相交于点B和点D.依次连接点D,A,B,C,D,连接BD、AC,交

于点O.(1)判断四边形ABCD的形状,并说明理由.(2)求BD的长.

解析

(1)四边形ABCD为菱形.理由如下:由作法,得AB=AD=

CB=CD=5,∴四边形ABCD为菱形.(2)∵四边形ABCD为菱形,

∴OA=OC=

AC=4,OB=OD,AC⊥BD.在Rt△AOB中,OB=

=3,∴BD=2OB=6.8.(新独家原创)如图,O是菱形ABCD内任意一点,连接OA、

OB、OC、OD,点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的

中点,求证:四边形EFGH是菱形.

证明∵E、F为OA、OB的中点,∴EF为△OAB的中位线,∴EF=

AB,同理可得FG=

BC,GH=

CD,HE=

AD,又∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC=CD=DA,∴EF=FG=GH=HE,∴四边形EFGH为菱形.能力提升全练9.(新考向·尺规作图)(2023上海奉贤模拟,5,★★☆)用尺规在

一个平行四边形内作菱形ABCD,下列作法中错误的是

(

)

C解析选项A,由作图可知AC是BD的垂直平分线,∴AB=AD,

设AC与BD的交点为O,则OB=OD.易知AD∥BC,∴∠ADO=

∠CBO,又∠AOD=∠COB,∴△AOD≌△COB,∴AD=BC,∴

四边形ABCD是平行四边形,又AB=AD,∴四边形ABCD是菱

形,不符合题意;选项B,由作图可知AB=BC,AD=AB,∴BC=AD,

又BC∥AD,∴四边形ABCD是平行四边形,又AB=BC,∴四边

形ABCD是菱形,不符合题意;选项C,由作图可知AB、CD是

角平分线,只能得出四边形ABCD是平行四边形,符合题意;选

项D,由作图可知∠DAC=∠CAB,∠DCA=∠ACB,∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∴∠DAC=∠CAB=∠DCA,∴AB∥CD,AD

=DC,结合AD∥BC可得四边形ABCD是菱形,不符合题意.故

选C.10.(2023湖南湘西州中考,22,★★☆)如图,四边形ABCD是平

行四边形,BM∥DN,且分别交对角线AC于点M,N,连接MD,

BN.(1)求证:∠DMN=∠BNM.(2)若∠BAC=∠DAC.求证:四边形BMDN是菱形.

证明

(1)连接BD,交AC于点O,如图,∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,∵BM∥DN,∴∠MBO=∠NDO,又∠BOM=∠DON,∴△BOM≌△DON(ASA),∴BM=DN,∴四边形BMDN为平行四边形,∴BN∥DM,∴∠DMN=∠BNM.(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,∴∠BCA=∠DAC,∵∠BAC=∠DAC,∴∠BAC=∠BCA,∴AB=BC,∴四边形ABCD是菱形,∴AC⊥

BD,∴MN⊥BD,由(1)知四边形BMDN是平行四边形,∴平行四边形BMDN是

菱形.11.(2024河南郑州一中月考,22,★★★)如图1,△ABC为等腰三角形,AB=AC=a,P是底边BC上的一个动点,PD∥AC,PE∥AB.(1)用a表示四边形ADPE的周长为

.(2)点P运动到什么位置时,四边形ADPE是菱形?请说明理由.(3)如果△ABC不是等腰三角形(如图2),其他条件不变,点P运

动到什么位置时,四边形ADPE是菱形(不必说明理由)?解析

(1)∵PD∥AC,PE∥AB,∴四边形ADPE为平行四边形,

∴AD=PE,DP=AE,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵DP∥AC,∴∠DPB=∠C=∠B,∴DB=DP,∴四边形ADPE的周长=2(AD+DP)=2(AD+BD)=2AB=2a.故答案为2a.(2)当P为BC的中点时,四边形ADPE是菱形.理由如下:连接AP,如图1,∵PD∥AC,PE∥AB,∴四边形ADPE为平行四边形,∵AB=AC,P为BC的中点,∴∠PAD=∠PAE,∵PE