北师大版初中九年级数学上册第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质课件

第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质基础过关全练知识点1菱形的定义1.(2023广东深圳中考)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC

=6,将线段AB水平向右平移a(a<6)个单位长度得到线段EF,

若四边形ECDF为菱形,则a的值为(

)A.1

B.2

C.3

D.4B解析∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,CE∥FD,

CD=AB=4,∵将线段AB水平向右平移得到线段EF,∴AB∥EF∥CD,∴四边形ECDF为平行四边形.根据菱形的定义可知当CD=CE=4时,▱ECDF为菱形,此时a=

BE=BC-CE=6-4=2.故选B.知识点2菱形边的性质2.(情境题·数学文化)(2023陕西宝鸡凤翔期中)数学家笛卡儿

在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想.在菱形ABCD中,

AB=2,∠DAB=120°.如图,建立平面直角坐标系xOy,使得边AB

在x轴正半轴上,点D在y轴正半轴上,则C的坐标是

.

解析∵四边形ABCD是菱形,AB=2,∴CD=AD=AB=2,∵∠DAB=120°,∴∠OAD=60°,在Rt△AOD中,∠ADO=30°,∴OA=

AD=1,∴OD=

=

,∴C的坐标是(2,

).3.(2023浙江嘉兴中考)如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,

AF⊥CD于点F,连接EF.(1)求证:AE=AF.(2)若∠B=60°,求∠AEF的度数.

解析

(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠B=∠D.

∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEB=∠AFD=90°.在△ABE与△ADF中,

∴△ABE≌△ADF(AAS).∴AE=AF.(2)∵四边形ABCD是菱形,∴∠B+∠BAD=180°.∵∠B=60°,

∴∠BAD=120°.又∵∠AEB=90°,∴∠BAE=30°.由(1)知△ABE≌△ADF,∴∠DAF=∠BAE=30°.∴∠EAF=∠BAD-∠

BAE-∠DAF=60°.又∵AE=AF,∴△AEF是等边三角形.∴∠AEF=60°.知识点3菱形对角线的性质4.(2023浙江丽水中考)如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°,则AC的长为(

)

A.

B.1

C.

D.

D解析如图,连接BD交AC于点O,

∵四边形ABCD是菱形,∠DAB=60°,∴OA=OC=

AC,∠BAO=

∠DAB=30°,AC⊥BD,∴∠AOB=90°,∴OB=

AB=

,∴OA=

=

=

,∴AC=2OA=

,故选D.5.如图,A、B、C、D四架战机以菱形编队低空展示,若前后

距离AC=30m,左右距离BD=40m,则A、B两架飞机的距离为

.

25m解析∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AO=

AC=15m,BO=

BD=20m,在Rt△ABO中,AB=

=25m,∴A、B两架飞机的距离为25m.6.(一题多解)(2024山西晋中昔阳期中)如图,菱形ABCD中,E

为对角线BD的延长线上一点.求证:AE=CE.

证明证法一:连接AC交BD于点O(图略).∵四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC,AO=CO.∴BE是AC的垂直平分线,∴AE=CE.证法二:∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD,∠ADB=∠CDB,∴

∠ADE=∠CDE,在△ADE和△CDE中,

∴△ADE≌△CDE(SAS),∴AE=CE.能力提升全练7.(2023山东东营中考,8,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,

菱形OABC的边长为2

,点B在x轴的正半轴上,且∠AOC=60°,将菱形OABC绕原点O逆时针旋转60°,得到四边形OA'B'C'

(点A'与点C重合),则点B'的坐标是

(

)A.(3

,3

)

B.(3

,3

)C.(3

,6

)

D.(6

,3

)B解析如图,过B'作B'D⊥y轴于D,连接OB',∵四边形OA'B'C

是由菱形OABC绕原点O逆时针旋转60°得到的,菱形OABC的

边长为2

,

∴B'C'=2

,∠A'OC'=∠AOC=60°,∴∠B'C'O=120°,∴∠DC'B'=60°,∴∠DB'C'=30°,

∴C'D=

C'B'=

,∴DB'=

=3

,OD=OC'+C'D=3

,∴B'的坐标是(3

,3

),故选B.8.(情境题·活动衣帽架)(2024江苏南通海门月考,10,★★☆)

如图,一个木制的活动衣帽架由3个全等的菱形构成.已知菱

形的边长为13cm,当挂钩B、D间的距离是30cm时,挂钩A、

C间的距离是

cm.

24解析如图,设该木制的活动衣帽架中的一个菱形为菱形

ABCE,连接AC、BE,AC与BE交于点O.

∵活动衣帽架由3个全等的菱形构成,∴BD=3BE,∴BE=

=

=10(cm),∵四边形ABCE为菱形,∴AC⊥BE,AO=CO,BO=EO,∴BO=5cm,∵AB=13cm,∴OA=

=

=12(cm),∴AC=2AO=24cm.9.(易错题)(2023浙江绍兴中考,14,★★☆)如图,在菱形ABCD

中,∠DAB=40°,连接AC,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交直

线AD于点E,连接CE,则∠AEC的度数是

.

10°或80°易错警示

以点A为圆心,AC长为半径作弧与直线AD相交,

有两种情况,不要漏解.解析如图所示,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交直线AD

于点E和E',在菱形ABCD中,∠DAC=∠BAC,∵∠DAB=40°,∴

∠DAC=20°,∵AC=AE,∴∠AEC=(180°-20°)÷2=80°,∵AE'=AC,∴∠AE'C=∠ACE'=10°.综上所述,∠AEC的度数

是10°或80°.

10.(2024河南郑州一中月考,12,★★☆)如图,在菱形ABCD中,

AD=6,∠ABC=120°,E是BC的中点,P为对角线AC上的一个动

点,则PE+PB的最小值为

.

解析如图,连接BD,DE,交AC于点P,连接PB,∵四边形

ABCD是菱形,∴CD=CB,B、D关于直线AC对称,

∴DE的长即为PE+PB的最小值,∵∠ABC=120°,∴∠BCD=60°,∴△BCD是等边三角形,∵E是BC的中点,∴DE⊥BC,CE=

BC=

×6=3,∴DE=

=3

.故答案为3

.11.(2023广东汕头潮南期末改编,23,★★☆)在菱形ABCD中,

E,F分别是BC,CD上的点.(1)如图1,若CE=CF,求证:AE=AF.(2)如图2,若∠B=∠EAF=60°,∠BAE=20°,求∠CEF的度数.(3)若AB=4,∠BAD=120°,点E,F在BC,CD上滑动,△AEF为等

边三角形,则四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生

变化?如果不变,直接写出这个定值;如果变化,直接写出最小

值.解析

(1)证明:∵四边形ABCD为菱形,∴∠B=∠D,AB=BC=

CD=DA.又∵CE=CF,∴BE=DF.在△ABE和△ADF中,

∴△ABE≌△ADF(SAS).∴AE=AF.(2)连接AC(图略).∵四边形ABCD为菱形,∠B=60°,∴∠D=60°,AB=BC=CD=

DA.∴△ABC与△CDA为等边三角形.∴AB=AC,∠B=∠ACD=∠BAC=60°.∵∠EAF=60°.∴∠BAE=∠CAF.在△ABE和△ACF中,

∴△ABE≌△ACF(ASA),∴AE=AF.∵∠EAF=60°