北师大版初中九年级数学上册第四章图形的相似6利用相似三角形测高课件

第四章图形的相似6利用相似三角形测高基础过关全练知识点1利用阳光下的影子测量高度1.(2024山东济南历下期中)如图,小明同学利用相似三角形

测量旗杆的高度,若测得标杆AB长2m,它的影长BC为1m,同

一时刻下,测得旗杆DE的影长EF为6m,则旗杆DE的高度为

(

)A.9m

B.10m

C.11m

D.12mD解析∵同一时刻物高与影长成比例,∴

=

,∵AB=2m,BC=1m,EF=6m,∴

=

,∴DE=12m,故选D.2.(情境题·数学文化)(2024河北晋州期中)古希腊数学家泰勒

斯曾利用立杆测影的方法,在金字塔影子的顶部直立一根木

杆,借助太阳光测金字塔的高度.如图,木杆EF长2米,它的影

长FD是4米,同一时刻测得OA是268米,则金字塔的高度BO是

米.

134解析设金字塔的高度BO为x米,根据相同时刻物高与影长

成比例,可列比例式为

=

,解得x=134,经检验,x=134是原方程的解且符合题意,∴BO=134米.故答案为134.知识点2利用标杆测量高度3.(情境题·数学文化)(2024福建泉州泉港期末)小明利用中国

古代“计里画方”(比例缩放和直角坐标网格体系)的方法

测量涂岭镇下炉村的“玉笏朝天”的高度.如图所示,“玉笏

朝天”的高度记为AB,“玉笏朝天”在照板“内芯”上的高

度记为EF,小明的眼睛P点与BF在同一水平线上.则选项中结

论正确的是(

)B

A.

=

B.

=

C.

=

D.

=

解析由题意得,AB⊥BP,EF⊥BP,∴∠ABP=∠EFP=90°,∵∠P=∠P,∴△EFP∽△ABP,∴

=

=

,故选B.4.(新课标例81变式)(新考向·实践探究题)(2024山西太原期末)某数学小组开展测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订

了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量,测量报告如

下:课题测量旗杆的高度成员组长:×××组员:×××,×××,×××测量工具皮尺,标杆测量示意图说明:在水平地面上直立一根标杆EF,观测者沿

着直线BF后退到点D,使眼睛C、标杆的顶

端E、旗杆的顶端A在同一直线上测量数据观测者与

标杆的距

离DF观测者与

旗杆的距

离DB标杆EF的

长观测者眼

睛离地面

的距离CD1m18m2.4m1.6m问题解决如图,过点C作CH⊥AB于点H,交EF于点G.……请根据以上测量结果及该小组同学的思路,求学校旗杆AB的

高度.解析由题意得CD=FG=BH=1.6m,CG=DF=1m,CH=BD=18m,∠CGE=∠CHA=90°,∵EF=2.4m,∴EG=EF-FG=2.4-1.6

=0.8(m),∵∠ECG=∠ACH,∴△ECG∽△ACH,∴

=

,∴

=

,∴AH=14.4m,∴AB=AH+BH=14.4+1.6=16(m),∴学校旗杆AB的高度为16m.知识点3利用镜子的反射测量高度5.(跨学科·物理)(2024河南新郑期末)如图,小明为了测量一凉

亭的高度AB,在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的

台阶DE(DE=BC=1m,A,B,C三点共线),把一面镜子水平放置

在平台上的点G处,测得CG=10m,然后沿直线CG后退到点E

处,这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A,测得EG=2m,观测

者身高EF=1.7m,则凉亭的高度为

(

)CA.8.5m

B.9m

C.9.5m

D.10m解析

由题意得∠AGC=∠FGE,AC⊥CE,FE⊥CE,∴∠ACG=∠FEG=90°,∴△ACG∽△FEG,∴

=

,∴

=

,解得AC=8.5m,∵BC=DE=1m,∴AB=AC+BC=8.5+1=9.5(m),∴凉亭的高度为9.5m,故选C.6.(跨学科·物理)(2024山东青岛实验初级中学期末)【学科融合】如图1,在反射现象中,反射光线,入射光线和法线都在同一个平面内;反射光线和入射光线分别位于法线两侧;反射角r等于入射角i.

【问题解决】如图2,小亮在P处放置一面平面镜(平面镜的

大小忽略不计),他站在C处通过平面镜恰好能看到塔的顶端A,此时测得小亮到平面镜的距离CP为4米.已知平面镜到塔

底部中心的距离PB为247.5米,小亮眼睛到地面的距离DC为

1.6米,C,P,B在同一水平直线上,且DC,AB均垂直于CB.请你计

算塔的高度AB.解析由光的反射定律可得∠CPD=∠BPA,∵DC,AB均垂直于CB,∴∠DCP=∠ABP=90°,∴△DCP∽△ABP,∴DC∶AB=PC∶PB,∴1.6∶AB=4∶247.5,∴AB=99米.答:塔的高度AB是99米.能力提升全练7.(2024内蒙古包头东河期末,8,★★☆)如图,小明同学用自

制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位

置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上,

已知纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm,测得边DF离地

面的高度AC=1.5m,CD=9m,则树高AB为

(

)DA.4m

B.4.5m

C.5m

D.6m解析由题意得DE=40cm=0.4m,EF=20cm=0.2m,∵∠D=

∠D,∠DEF=∠DCB,∴△DEF∽△DCB,∴

=

,即

=

,解得BC=4.5m,∵AC=1.5m,∴AB=AC+BC=1.5+4.5=6(m),∴树高为6m.故选D.8.(情境题·数学文化)(2024山东济南槐荫期中,4,★★☆)四分

仪是一种十分古老的测量仪器.图1是古代测量员用四分仪

测量一方井的深度的示意图,将四分仪置于方井上的边沿上,

通过窥衡杆测望井底点F,窥衡杆与四分仪的一边BC交于点

H.图2中,四分仪为正方形ABCD,方井为矩形BEFG.若测量员

从四分仪中读得AB为1,BH为0.5,实地测得BE为2.5,则井深

BG为(

)A

A.4

B.5

C.6

D.7解析∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°,∵BE=2.5,BH=0.5,∴HE=BE-BH=2.5-0.5=2,∵四边形BEFG是矩形,∴BG=EF,∠BEF=90°,∴∠ABH=∠FEH=90°,∵∠AHB=∠EHF,∴△ABH∽△FEH,∴

=

,即

=

,∴EF=4,∴BG=EF=4,故选A.9.(新考向·项目式学习试题)(2024河南邓州期中,21,★★☆)

下面是小明进行数学学科项目学习时,填写活动报告的部分

内容.项目主题:测量河流的宽度.项目探究:河流宽度不能直接测量,需要借助一些工具,比如:

镜子,标杆,皮尺,自制的直角三角形模板,……各组确定方案

后,选择测量工具,画出测量示意图,并进行实地测量,得到具

体数据,从而计算出河流的宽度.项目成果:下表是小明进行交流展示时的部分测量方案及测量数据:题目测量河流宽度AB测量示意图

测量数据BC=1.6m,BD=10m,DE=2.0

m请你参与这个项目学习,并完成下列任务:(1)任务一:请你借助小明的测量数据,计算河流的宽度AB.(2)任务二:请你写出这个方案中求河流宽度时用到的数学知

识:

(写出一条即可).(3)任务三:请你设计一个与小明不同的测量方案,并画图简

要说明.解析

(1)由题意知,BC∥DE,∴△ABC∽△ADE.∴

=

,又BC=1.6m,BD=10m,DE=2.0m,∴

=

,解得AB=40m.答:河流的宽度AB为40m.(2)相似三角形的对应边成比例(答案不唯一,合理即可).(3)(答案不唯一,合理即可)在河对岸找一个参照物A,站在A的

正对面B的位置,沿着河岸向东走一段距离,到达C处,在C处直立一竹竿,然后继续向东行走到D处,使得CD=BC,再沿着

与河岸垂直的方向行走,当走到与A、C共线的位置时停下,

位置记为E,这时DE的长等于河流的宽度.

素养探究全练10.(应用意识)(2024陕西西安莲湖期末)小军想用镜子测量一

棵古松树的高度,但因树旁有一条小河,故不能测量镜子与树

之间的距离,于是他利用镜子进行两次测量,如图,第一次他

把镜子放在点C处,他在点F处正好在镜中看到树顶A的像;第

二次他把镜子放在点C'处,他在点F'处正好在镜中看到树顶A

的像.已知AB⊥BF',EF⊥BF',E'F'⊥BF',小军的眼睛距地面1.7

m(即EF=E'F'=1.7m),量得CC'=12m,CF=1.8m,C'F'=4.2m.求

这棵古松树的高度AB.(镜子大小忽略不计)

解析∵∠ABC=∠EFC=90°,∠ACB=∠ECF,∴△ABC∽△EFC,∴

=

,∵∠ABC'=∠E'F'C'=90°,∠AC'B=∠E'C'F',∴△ABC'∽△E'F'C',∴

=

,∵EF=E'F'=1.7m,∴

=

,∵CC'=12m,CF=1.8m,C'F'=4.2m,∴

=

,解得BC=9m,∴

=

,解得AB=8.5m.答:这棵古松树的高度为8.5m.11.(应用意识)(新独家原创)如图,广场上有两盏高度相同的

路灯A、C,相距20m,晚上身高为1.8m的张明站在两个路灯

之间的E处,此时ED为张明在路灯A照射下的影子,GE为张明

在路灯C照射下的影