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第四章图形的相似4探索三角形相似的条件第3课时相似三角形的判定定理3基础过关全练知识点4相似三角形的判定定理31.有甲、乙两个三角形木框,甲三角形木框的三边长分别为

1,

,

,乙三角形木框的三边长分别为5,

,

,则甲、乙两个三角形

(

)A.一定相似

B.一定不相似C.不一定相似

D.全等A解析因为

=

=

=

,即甲、乙两个三角形三边成比例,所以甲、乙两个三角形一定相似.故选A.2.若△ABC和△DEF满足下列条件,其中能使△ABC与△DEF相似的是

(

)A.AB=3,BC=8,AC=9,DE=

,EF=2,DF=6B.AB=4,BC=6,AC=8,DE=5,EF=10,DF=16C.AB=1,BC=

,AC=2,DE=

,EF=

,DF=

D.AB=1,BC=

,AC=3,DE=

,EF=2

,DF=

A解析

A中,∵

=

,

=

=

,

=

=

,∴

=

=

.∴△ABC与△DEF相似.易知B,C,D不正确,故选A.3.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是CA,AB,BC的中点.求证:△ABC∽△FDE.

证明∵点D,E,F分别是CA,AB,BC的中点,∴DE,DF,EF是△ABC的中位线.∴

=

=

=

.∴△ABC∽△FDE.4.(2024吉林长春期末)图①、图②均为5×5的正方形网格,每

个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点,△ABC的三个顶点均在格点上.只用无刻度的直尺,在图①、图②中各画一个与△ABC相似(相似比不为1)的三角形.(要求

三角形的顶点都在格点上)

解析如图,△DEF即为所求(答案不唯一).

5.(教材变式·P94随堂练习)如图,某地四个乡镇A,B,C,D之间建有公路,已知AB=14千米,AD=28千米,BD=21千米,BC=42千

米,DC=31.5千米,公路AB与CD平行吗?说出你的理由.

解析公路AB与CD平行.理由:∵

=

=

,

=

=

,

=

=

,∴△ABD∽△BDC,∴∠ABD=∠BDC,∴AB∥DC.6.(教材变式·P94例3)如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于

点F,点E在BD上,且

=

=

.(1)∠1与∠2相等吗?为什么?(2)判断△ABE与△ACD是否相似,并说明理由.

解析

(1)∠1与∠2相等.理由如下:∵

=

=

,∴△ABC∽△AED.∴∠BAC=∠EAD.∴∠BAC-∠EAF=∠EAD-∠EAF,即∠1=∠2.(2)△ABE与△ACD相似.理由如下:∵

=

,∴

=

.又∵∠1=∠2,∴△ABE∽△ACD.7.(分类讨论思想)(2023河北保定一中月考)一个钢筋三角形支架边长分别是20cm,50cm,60cm,现在要做一个与其相似的钢筋三角形支架,而只有长为30cm和50cm的两根钢筋,要求以其中一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边,有几种不同的截法?解析取30cm为一边长,设另两边长为xcm、ycm(x<y).若3

0cm与20cm对应,则

=

=

,解得x=75,y=90.75+90>50,故此种情况不存在.若30cm与50cm对应,则

=

=

,解得x=12,y=36.12+36=48<50,故此种情况存在.若30cm与60cm对应,则

=

=

,解得x=10,y=25.10+25=35<50,故此种情况存在.当取50cm作为一边长时,无法得到符合题意的三角形.综上所述,有两种不同的截法.能力提升全练8.(2024陕西西安二十六中期末,8,★★☆)如图,点A,B,C,D的坐标分别是(1,1),(1,5),(5,1),(7,1),以C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则点E的坐标不可能是

(

)A.(7,-2)

B.(5,-1)

C.(6,0)

D.(7,3)A解析∵点A,B,C的坐标分别是(1,1),(1,5),(5,1),∴AB=AC=4,

∠BAC=90°,即△ABC为等腰直角三角形,∵D(7,1),∴CD=2,

∵以C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,∴△CDE为等腰直角三角形,当CD=CE=2时,如图,可知E1(5,3),E2(7,3),E3(5,-1),E4(7,-1);

当CE=DE时,过点E作EF⊥CD于点F,如图:

∵CE=DE,EF⊥CD,∴点F为CD的中点,∴CF=1,∵∠CED=90°,∴EF=

CD=1,∴E5(6,2),E6(6,0).综上,点E的坐标可能是(5,3)或(7,3)或(5,-1)或(7,-1)或(6,2)或

(6,0).故选A.9.(2024上海金山期末,6,★★☆)如图,在4×1的方格图中,每一

个小正方形的顶点叫做格点,以其中三个格点为顶点的三角

形称为格点三角形,△ABC就是一个格点三角形,现从△ABC

的三个顶点中选取两个格点,再从余下的格点中选取一个格

点连接成格点三角形,其中与△ABC相似的有

(

)

CA.1个

B.2个

C.3个

D.4个解析设每个小正方形的边长都为1,如图,根据勾股定理得,AD=

=

,AC=

=

,BC=

=

,BE=

=

,CF=

=

,∵AB=2,CD=2,BF=1,∴

=1,

=1,

=1,

=

=

,

=

=

,

=

=

,

=

,

=

=

,

=

=

,∴

=

=

,

=

=

,

=

=

,∴△ABC∽△CDA,△ABC∽△BCE,△ABC∽△CBF,故选C.方法解读判断网格中三角形是否相似的方法对于网格中的三角形相似问题,一般先求出网格中三角形的

三边长,按大小顺序排列,然后利用三边成比例或两边成比例

且夹角相等来判断三角形是否相似.10.(情境题·中华优秀传统文化)(2024山东济南槐荫期中,13,★★☆)中国象棋是中国棋文化,也是中华民族的文化瑰宝,它源远流长,趣味浓厚,基本规则简明易懂.如图所示的是中国象棋的棋盘(各个小正方形的边长均相等),根据“马走日”的规则,“马”应该落在位置

(填序号)处,能使“马”“炮”“兵”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“车”“相”所在位置的格点构成的三角形相似.②解析设小正方形的边长均为1,由题图可知“帅”“车”

“相”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为4,2,

2

,“兵”“炮”之间的距离为2,“炮”与②之间的距离为1,“兵”与②之间的距离为

,∵

=

=

=

,∴“马”应该落在②的位置,故答案为②.11.(2020江苏南京中考节选,26,★★★)如图,在△ABC和△A'B'C'中,D、D'分别是AB、A'B'上的点,

=

.当

=

=

时,判断△ABC与△A'B'C'是否相似,并说明理由.解析相似.理由:如图,过点D、D'分别作DE∥BC,D'E'∥B'C',DE交AC于E,D'E'交A'C'于E'.∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴

=

=

,同理,

=

=

,∵

=

,∴

=

,∴

=

,同理,

=

,∴

=

,即

=

,∴

=

,∵

=

=

,∴

=

=

,∴△DCE∽△D'C'E',∴∠CED=∠C'E'D',∵DE∥BC,∴∠CED+∠ACB=180°,同理,∠C'E'D'+∠A'C'B'=180°,∴∠ACB=∠A'C'B',又∵

=

,∴△ABC∽△A'B'C'.素养探究全练12.(推理能力)我们可以借助两个直角三角形全等的条件,探

索两个直角三角形相似的条件.(1)“对于两个直角三角形,满足一边、一锐角分别相等或两

直角边分别相等,这两个直角三角形全等.”类似地,可以得

到“满足

的两个直角三角形相似.”(2)“满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.”类似地,可以得到“满足

的两个直角三角形相似.”(3)如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°

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