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文档简介
2023-2024学年上海市浦东新区第四教育署中考数学押题试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.小亮家与姥姥家相距24km,小亮8:00从家出发,骑自行车去姥姥家.妈妈8:30从家出发,乘车沿相同路线去姥姥家.在同一直角坐标系中,小亮和妈妈的行进路程s(km)与时间t(h)的函数图象如图所示.根据图象得出下列结论,其中错误的是()A.小亮骑自行车的平均速度是12km/hB.妈妈比小亮提前0.5h到达姥姥家C.妈妈在距家12km处追上小亮D.9:30妈妈追上小亮2.如图是由四个小正方体叠成的一个几何体,它的左视图是()A. B. C. D.3.下列运算结果是无理数的是()A.3× B. C. D.4.已知关于x的二次函数y=x2﹣2x﹣2,当a≤x≤a+2时,函数有最大值1,则a的值为()A.﹣1或1 B.1或﹣3 C.﹣1或3 D.3或﹣35.如图,点A、B、C在圆O上,若∠OBC=40°,则∠A的度数为()A.40° B.45° C.50° D.55°6.如图,AB∥CD,FE⊥DB,垂足为E,∠1=60°,则∠2的度数是()A.60° B.50° C.40° D.30°7.一元二次方程mx2+mx﹣=0有两个相等实数根,则m的值为()A.0 B.0或﹣2 C.﹣2 D.28.已知am=2,an=3,则a3m+2n的值是()A.24 B.36 C.72 D.69.若正比例函数y=mx(m是常数,m≠0)的图象经过点A(m,4),且y的值随x值的增大而减小,则m等于()A.2 B.﹣2 C.4 D.﹣410.如图,矩形ABCD中,E为DC的中点,AD:AB=:2,CP:BP=1:2,连接EP并延长,交AB的延长线于点F,AP、BE相交于点O.下列结论:①EP平分∠CEB;②=PB•EF;③PF•EF=2;④EF•EP=4AO•PO.其中正确的是()A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.③④二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.中,,,高,则的周长为______。12.如图,△ABC中,AD是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段的长为________.13.如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC可以看作是△DEF经过若干次图形的变化(平移、旋转、轴对称)得到的,写出一种由△DEF得到△ABC的过程____.14.某种商品因换季准备打折出售,如果按定价的七五折出售将赔25元,而按定价的九折出售将赚20元,则商品的定价是______元15.为了了解贯彻执行国家提倡的“阳光体育运动”的实施情况,将某班50名同学一周的体育锻炼情况绘制成了如图所示的条形统计图,根据统计图提供的数据,该班50名同学一周参加体育锻炼时间的中位数与众数之和为_____.16.如图,在△ABC中,AB=2,BC=3.5,∠B=60°,将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE,当点B的对应点D恰好落在BC边上时,则CD的长为_____.17.袋中装有一个红球和二个黄球,它们除了颜色外都相同,随机从中摸出一球,记录下颜色后放回袋中,充分摇匀后,再随机摸出一球,两次都摸到红球的概率是_____.三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)如图,在⊙O中,弦AB与弦CD相交于点G,OA⊥CD于点E,过点B的直线与CD的延长线交于点F,AC∥BF.(1)若∠FGB=∠FBG,求证:BF是⊙O的切线;(2)若tan∠F=,CD=a,请用a表示⊙O的半径;(3)求证:GF2﹣GB2=DF•GF.19.(5分)如图,的直角顶点P在第四象限,顶点A、B分别落在反比例函数图象的两支上,且轴于点C,轴于点D,AB分别与x轴,y轴相交于点F和已知点B的坐标为.填空:______;证明:;当四边形ABCD的面积和的面积相等时,求点P的坐标.20.(8分)正方形ABCD的边长为3,点E,F分别在射线DC,DA上运动,且DE=DF.连接BF,作EH⊥BF所在直线于点H,连接CH.(1)如图1,若点E是DC的中点,CH与AB之间的数量关系是______;(2)如图2,当点E在DC边上且不是DC的中点时,(1)中的结论是否成立?若成立给出证明;若不成立,说明理由;(3)如图3,当点E,F分别在射线DC,DA上运动时,连接DH,过点D作直线DH的垂线,交直线BF于点K,连接CK,请直接写出线段CK长的最大值.21.(10分)给出如下定义:对于⊙O的弦MN和⊙O外一点P(M,O,N三点不共线,且点P,O在直线MN的异侧),当∠MPN+∠MON=180°时,则称点P是线段MN关于点O的关联点.图1是点P为线段MN关于点O的关联点的示意图.在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1.(1)如图2,已知M(,),N(,﹣),在A(1,0),B(1,1),C(,0)三点中,是线段MN关于点O的关联点的是;(2)如图3,M(0,1),N(,﹣),点D是线段MN关于点O的关联点.①∠MDN的大小为;②在第一象限内有一点E(m,m),点E是线段MN关于点O的关联点,判断△MNE的形状,并直接写出点E的坐标;③点F在直线y=﹣x+2上,当∠MFN≥∠MDN时,求点F的横坐标x的取值范围.22.(10分)动画片《小猪佩奇》分靡全球,受到孩子们的喜爱.现有4张《小猪佩奇》角色卡片,分别是A佩奇,B乔治,C佩奇妈妈,D佩奇爸爸(四张卡片除字母和内容外,其余完全相同).姐弟两人做游戏,他们将这四张卡片混在一起,背面朝上放好.(1)姐姐从中随机抽取一张卡片,恰好抽到A佩奇的概率为;(2)若两人分别随机抽取一张卡片(不放回),请用列表或画树状图的分方法求出恰好姐姐抽到A佩奇弟弟抽到B乔治的概率.23.(12分)我们来定义一种新运算:对于任意实数x、y,“※”为a※b=(a+1)(b+1)﹣1.(1)计算(﹣3)※9(2)嘉琪研究运算“※”之后认为它满足交换律,你认为她的判断(正确、错误)(3)请你帮助嘉琪完成她对运算“※”是否满足结合律的证明.24.(14分)《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一,其中记载的“荡杯问题”很有趣.《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯.津吏问曰:‘杯何以多?’妇人曰:‘家有客.’津吏曰:‘客几何?’妇人曰:‘二人共饭,三人共羹,四人共肉,凡用杯六十五.’不知客几何?”译文:“2人同吃一碗饭,3人同吃一碗羹,4人同吃一碗肉,共用65个碗,问有多少客人?”
参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、D【解析】
根据函数图象可知根据函数图象小亮去姥姥家所用时间为10﹣8=2小时,进而得到小亮骑自行车的平均速度,对应函数图象,得到妈妈到姥姥家所用的时间,根据交点坐标确定妈妈追上小亮所用时间,即可解答.【详解】解:A、根据函数图象小亮去姥姥家所用时间为10﹣8=2小时,∴小亮骑自行车的平均速度为:24÷2=12(km/h),故正确;B、由图象可得,妈妈到姥姥家对应的时间t=9.5,小亮到姥姥家对应的时间t=10,10﹣9.5=0.5(小时),∴妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家,故正确;C、由图象可知,当t=9时,妈妈追上小亮,此时小亮离家的时间为9﹣8=1小时,∴小亮走的路程为:1×12=12km,∴妈妈在距家12km出追上小亮,故正确;D、由图象可知,当t=9时,妈妈追上小亮,故错误;故选D.【点睛】本题考查函数图像的应用,从图像中读取关键信息是解题的关键.2、A【解析】试题分析:如图是由四个小正方体叠成的一个几何体,它的左视图是.故选A.考点:简单组合体的三视图.3、B【解析】
根据二次根式的运算法则即可求出答案.【详解】A选项:原式=3×2=6,故A不是无理数;B选项:原式=,故B是无理数;C选项:原式==6,故C不是无理数;D选项:原式==12,故D不是无理数故选B.【点睛】考查二次根式的运算,解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则,本题属于基础题型.4、A【解析】分析:详解:∵当a≤x≤a+2时,函数有最大值1,∴1=x2-2x-2,解得:,即-1≤x≤3,∴a=-1或a+2=-1,∴a=-1或1,故选A.点睛:本题考查了求二次函数的最大(小)值的方法,注意:只有当自变量x在整个取值范围内,函数值y才在顶点处取最值,而当自变量取值范围只有一部分时,必须结合二次函数的增减性及对称轴判断何处取最大值,何处取最小值.5、C【解析】
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠BOC=100°,再利用圆周角定理得到∠A=12【详解】∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB.
又∠OBC=40°,
∴∠OBC=∠OCB=40°,
∴∠BOC=180°-2×40°=100°,
∴∠A=12【点睛】考查了圆周角定理.在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半.6、D【解析】
由EF⊥BD,∠1=60°,结合三角形内角和为180°即可求出∠D的度数,再由“两直线平行,同位角相等”即可得出结论.【详解】解:在△DEF中,∠1=60°,∠DEF=90°,
∴∠D=180°-∠DEF-∠1=30°.
∵AB∥CD,
∴∠2=∠D=30°.
故选D.【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形内角和为180°,解题关键是根据平行线的性质,找出相等、互余或互补的角.7、C【解析】
由方程有两个相等的实数根,得到根的判别式等于0,求出m的值,经检验即可得到满足题意m的值.【详解】∵一元二次方程mx1+mx﹣=0有两个相等实数根,∴△=m1﹣4m×(﹣)=m1+1m=0,解得:m=0或m=﹣1,经检验m=0不合题意,则m=﹣1.故选C.【点睛】此题考查了根的判别式,根的判别式的值大于0,方程有两个不相等的实数根;根的判别式的值等于0,方程有两个相等的实数根;根的判别式的值小于0,方程没有实数根.8、C【解析】试题解析:∵am=2,an=3,
∴a3m+2n
=a3m•a2n
=(am)3•(an)2
=23×32
=8×9
=1.故选C.9、B【解析】
利用待定系数法求出m,再结合函数的性质即可解决问题.【详解】解:∵y=mx(m是常数,m≠0)的图象经过点A(m,4),∴m2=4,∴m=±2,∵y的值随x值的增大而减小,∴m<0,∴m=﹣2,故选:B.【点睛】本题考查待定系数法,一次函数的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.10、B【解析】
由条件设AD=x,AB=2x,就可以表示出CP=x,BP=x,用三角函数值可以求出∠EBC的度数和∠CEP的度数,则∠CEP=∠BEP,运用勾股定理及三角函数值就可以求出就可以求出BF、EF的值,从而可以求出结论.【详解】解:设AD=x,AB=2x∵四边形ABCD是矩形∴AD=BC,CD=AB,∠D=∠C=∠ABC=90°.DC∥AB∴BC=x,CD=2x∵CP:BP=1:2∴CP=x,BP=x∵E为DC的中点,∴CE=CD=x,∴tan∠CEP==,tan∠EBC==∴∠CEP=30°,∠EBC=30°∴∠CEB=60°∴∠PEB=30°∴∠CEP=∠PEB∴EP平分∠CEB,故①正确;∵DC∥AB,∴∠CEP=∠F=30°,∴∠F=∠EBP=30°,∠F=∠BEF=30°,∴△EBP∽△EFB,∴∴BE·BF=EF·BP∵∠F=∠BEF,∴BE=BF∴=PB·EF,故②正确∵∠F=30°,∴PF=2PB=x,过点E作EG⊥AF于G,∴∠EGF=90°,∴EF=2EG=2x∴PF·EF=x·2x=8x22AD2=2×(x)2=6x2,∴PF·EF≠2AD2,故③错误.在Rt△ECP中,∵∠CEP=30°,∴EP=2PC=x∵tan∠PAB==∴∠PAB=30°∴∠APB=60°∴∠AOB=90°在Rt△AOB和Rt△POB中,由勾股定理得,AO=x,PO=x∴4AO·PO=4×x·x=4x2又EF·EP=2x·x=4x2∴EF·EP=4AO·PO.故④正确.故选,B【点睛】本题考查了矩形的性质的运用,相似三角形的判定及性质的运用,特殊角的正切值的运用,勾股定理的运用及直角三角形的性质的运用,解答时根据比例关系设出未知数表示出线段的长度是关键.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、32或42【解析】
根据题意,分两种情况讨论:①若∠ACB是锐角,②若∠ACB是钝角,分别画出图形,利用勾股定理,即可求解.【详解】分两种情况讨论:①若∠ACB是锐角,如图1,∵,,高,∴在Rt∆ABD中,,即:,同理:,∴的周长=9+5+15+13=42,②若∠ACB是钝角,如图2,∵,,高,∴在Rt∆ABD中,,即:,同理:,∴的周长=9-5+15+13=32,故答案是:32或42.【点睛】本题主要考查勾股定理,根据题意,画出图形,分类进行计算,是解题的关键.12、【解析】已知BC=8,AD是中线,可得CD=4,在△CBA和△CAD中,由∠B=∠DAC,∠C=∠C,可判定△CBA∽△CAD,根据相似三角形的性质可得,即可得AC2=CD•BC=4×8=32,解得AC=4.13、先以点O为旋转中心,逆时针旋转90°,再将得到的三角形沿x轴翻折.【解析】
根据旋转的性质,平移的性质即可得到由△DEF得到△ABC的过程.【详解】由题可得,由△DEF得到△ABC的过程为:先以点O为旋转中心,逆时针旋转90°,再将得到的三角形沿x轴翻折.(答案不唯一)故答案为:先以点O为旋转中心,逆时针旋转90°,再将得到的三角形沿x轴翻折.【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转,平移,对称,解题时需要注意:平移的距离等于对应点连线的长度,对称轴为对应点连线的垂直平分线,旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小.14、300【解析】
设成本为x元,标价为y元,根据已知条件可列二元一次方程组即可解出定价.【详解】设成本为x元,标价为y元,依题意得,解得故定价为300元.【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用,解题的关键是根据题意列出方程再求解.15、17【解析】∵8是出现次数最多的,∴众数是8,∵这组数据从小到大的顺序排列,处于中间位置的两个数都是9,∴中位数是9,所以中位数与众数之和为8+9=17.故答案为17小时.16、1.1.【解析】分析:由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE,当点B的对应点D恰好落在BC边上,可得AD=AB,又由∠B=60°,可证得△ABD是等边三角形,继而可得BD=AB=2,则可求得答案.详解:由旋转的性质可得:AD=AB,∵∠B=60°,∴△ABD是等边三角形,∴BD=AB,∵AB=2,BC=3.1,∴CD=BC-BD=3.1-2=1.1.故答案为:1.1.点睛:此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质.此题比较简单,注意掌握旋转前后图形的对应关系,注意数形结合思想的应用.17、【解析】
首先根据题意画出树状图,由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况,然后利用概率公式求解即可求得答案.注意此题属于放回实验.【详解】画树状图如下:由树状图可知,共有9种等可能结果,其中两次都摸到红球的有1种结果,所以两次都摸到红球的概率是,故答案为.【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识.注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.三、解答题(共7小题,满分69分)18、(1)证明见解析;(2);(3)证明见解析.【解析】
(1)根据等边对等角可得∠OAB=∠OBA,然后根据OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°,从而推出∠FBG+∠OBA=90°,从而得到OB⊥FB,再根据切线的定义证明即可.(2)根据两直线平行,内错角相等可得∠ACF=∠F,根据垂径定理可得CE=CD=a,连接OC,设圆的半径为r,表示出OE,然后利用勾股定理列式计算即可求出r.(3)连接BD,根据在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等可得∠DBG=∠ACF,然后求出∠DBG=∠F,从而求出△BDG和△FBG相似,根据相似三角形对应边成比例列式表示出BG2,然后代入等式左边整理即可得证.【详解】解:(1)证明:∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.∵OA⊥CD,∴∠OAB+∠AGC=90°.又∵∠FGB=∠FBG,∠FGB=∠AGC,∴∠FBG+∠OBA=90°,即∠OBF=90°.∴OB⊥FB.∵AB是⊙O的弦,∴点B在⊙O上.∴BF是⊙O的切线.(2)∵AC∥BF,∴∠ACF=∠F.∵CD=a,OA⊥CD,∴CE=CD=a.∵tan∠F=,∴,即.解得.连接OC,设圆的半径为r,则,在Rt△OCE中,,即,解得.(3)证明:连接BD,∵∠DBG=∠ACF,∠ACF=∠F(已证),∴∠DBG=∠F.又∵∠FGB=∠FGB,∴△BDG∽△FBG.∴,即GB2=DG•GF.∴GF2﹣GB2=GF2﹣DG•GF=GF(GF﹣DG)=GF•DF,即GF2﹣GB2=DF•GF.19、(1)1;(2)证明见解析;(1)点坐标为.【解析】
由点B的坐标,利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值;设A点坐标为,则D点坐标为,P点坐标为,C点坐标为,进而可得出PB,PC,PA,PD的长度,由四条线段的长度可得出,结合可得出∽,由相似三角形的性质可得出,再利用“同位角相等,两直线平行”可证出;由四边形ABCD的面积和的面积相等可得出,利用三角形的面积公式可得出关于a的方程,解之取其负值,再将其代入P点的坐标中即可求出结论.【详解】解:点在反比例函数的图象,.故答案为:1.证明:反比例函数解析式为,设A点坐标为轴于点C,轴于点D,点坐标为,P点坐标为,C点坐标为,,,,,,,.又,∽,,.解:四边形ABCD的面积和的面积相等,,,整理得:,解得:,舍去,点坐标为.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、平行线的判定以及三角形的面积,解题关键是:根据点的坐标,利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值;利用相似三角形的判定定理找出∽;由三角形的面积公式,找出关于a的方程.20、(1)CH=AB.;(2)成立,证明见解析;(3)【解析】
(1)首先根据全等三角形判定的方法,判断出△ABF≌△CBE,即可判断出∠1=∠2;然后根据EH⊥BF,∠BCE=90°,可得C、H两点都在以BE为直径的圆上,判断出∠4=∠HBC,即可判断出CH=BC,最后根据AB=BC,判断出CH=AB即可.(2)首先根据全等三角形判定的方法,判断出△ABF≌△CBE,即可判断出∠1=∠2;然后根据EH⊥BF,∠BCE=90°,可得C、H两点都在以BE为直径的圆上,判断出∠4=∠HBC,即可判断出CH=BC,最后根据AB=BC,判断出CH=AB即可.(3)首先根据三角形三边的关系,可得CK<AC+AK,据此判断出当C、A、K三点共线时,CK的长最大;然后根据全等三角形判定的方法,判断出△DFK≌△DEH,即可判断出DK=DH,再根据全等三角形判定的方法,判断出△DAK≌△DCH,即可判断出AK=CH=AB;最后根据CK=AC+AK=AC+AB,求出线段CK长的最大值是多少即可.【详解】解:(1)如图1,连接BE,,在正方形ABCD中,AB=BC=CD=AD,∠A=∠BCD=∠ABC=90°,∵点E是DC的中点,DE=EC,∴点F是AD的中点,∴AF=FD,∴EC=AF,在△ABF和△CBE中,∴△ABF≌△CBE,∴∠1=∠2,∵EH⊥BF,∠BCE=90°,∴C、H两点都在以BE为直径的圆上,∴∠3=∠2,∴∠1=∠3,∵∠3+∠4=90°,∠1+∠HBC=90°,∴∠4=∠HBC,∴CH=BC,又∵AB=BC,∴CH=AB.(2)当点E在DC边上且不是DC的中点时,(1)中的结论CH=AB仍然成立.如图2,连接BE,,在正方形ABCD中,AB=BC=CD=AD,∠A=∠BCD=∠ABC=90°,∵AD=CD,DE=DF,∴AF=CE,在△ABF和△CBE中,∴△ABF≌△CBE,∴∠1=∠2,∵EH⊥BF,∠BCE=90°,∴C、H两点都在以BE为直径的圆上,∴∠3=∠2,∴∠1=∠3,∵∠3+∠4=90°,∠1+∠HBC=90°,∴∠4=∠HBC,∴CH=BC,又∵AB=BC,∴CH=AB.(3)如图3,,∵CK≤AC+AK,∴当C、A、K三点共线时,CK的长最大,∵∠KDF+∠ADH=90°,∠HDE+∠ADH=90°,∴∠KDF=∠HDE,∵∠DEH+∠DFH=360°-∠ADC-∠EHF=360°-90°-90°=180°,∠DFK+∠DFH=180°,∴∠DFK=∠DEH,在△DFK和△DEH中,∴△DFK≌△DEH,∴DK=DH,在△DAK和△DCH中,∴△DAK≌△DCH,∴AK=CH又∵CH=AB,∴AK=CH=AB,∵AB=3,∴AK=3,AC=3,∴CK=AC+AK=AC+AB=,即线段CK长的最大值是.考点:四边形综合题.21、(1)C;(2)①60;②E(,1);③点F的横坐标x的取值范围≤xF≤.【解析】
(1)由题意线段MN关于点O的关联点的是以线段MN的中点为圆心,为半径的圆上,所以点C满足条件;
(2)①如图3-1中,作NH⊥x轴于H.求出∠MON的大小即可解决问题;
②如图3-2中,结论:△MNE是等边三角形.由∠MON+∠MEN=180°,推出M、O、N、E四点共圆,可得∠MNE=∠MOE=60°,由此即可解决问题;
③如图3-3中,由②可知,△MNE是等边三角形,作△MNE的外接圆⊙O′,首先证明点E在直线y=-x+2上,设直线交⊙O′于E、F,可得F(,),观察图形即可解决问题;【详解】(1)由题意线段MN关于点O的关联点的是以线段MN的中点为圆心,为半径的圆上,所以点C满足条件,
故答案为C.
(2)①如图3-1中,作NH⊥x轴于H.
∵N(,-),
∴tan∠NOH=,
∴∠NOH=30°,
∠MON=90°+30°=120°,
∵点D是线段MN关于点O的关联点,
∴∠MDN+∠MON=180°,
∴∠MDN=60°.
故答案为60°.
②如图3-2中,结论:△MNE是等边三角形.
理由:作EK⊥x轴于K.
∵E(,1),
∴tan∠EOK=,
∴∠EOK=30°,
∴∠MOE=60°,
∵∠MON+∠MEN=180°,
∴M、O、N、E四点共圆,
∴∠MNE=∠MOE=60°,
∵∠MEN=60°,
∴∠MEN=∠MNE=∠NME=60°,
∴△MNE是等边三角形.③如图3-3中,由②可知,△MNE是等边三角形,
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