北师大版初中九年级数学上册第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程课件

第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程基础过关全练知识点1用公式法解一元二次方程1.(2023台湾省中考)利用公式法解一元二次方程3x2-11x-1=0

可得两根为a、b,且a>b,则a的值为

(

)A.

B.

C.

D.

D解析

3x2-11x-1=0,a=3,b=-11,c=-1,∴Δ=(-11)2-4×3×(-1)=133>0,∴x=

=

,∵一元二次方程3x2-11x-1=0的两根为a、b,且a>b,∴a的值为

.故选D.2.利用求根公式求方程3x2-4=5x的根时,将方程化为一般形

式,得

.所以a=

,b=

,c=

,b2-4ac=

.

所以x=

=

.3x2-5x-4=03-5-473

3.(教材变式·P42例题)用公式法解下列方程.(1)x2-x-7=0.

(2)3x2-2x=1.(3)(3x-2)(x+2)=28.解析

(1)∵a=1,b=-1,c=-7,∴b2-4ac=(-1)2-4×1×(-7)=29>0,∴x=

,∴x1=

,x2=

.(2)整理,得3x2-2x-1=0,∴a=3,b=-2,c=-1,∴b2-4ac=(-2)2-4×3×(-1)=4+12=16>0,∴x=

=

,∴x1=1,x2=-

.(3)整理,得3x2+4x-32=0,∴a=3,b=4,c=-32,∴b2-4ac=16-4×3×(-32)=400,∴x=

=

,∴x1=-4,x2=

.知识点2一元二次方程根的判别式4.(2023河南中考)关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的根的情

况是

(

)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根A解析∵Δ=m2-4×1×(-8)=m2+32>0,∴方程有两个不相等的实

数根.故选A.5.(2023山东聊城中考)若关于x的一元二次方程mx2+2x+1=0

有实数解,则m的取值范围是

(

)A.m≥-1

B.m≤1C.m≥-1且m≠0

D.m≤1且m≠0D解析

∵关于x的一元二次方程mx2+2x+1=0有实数解,∴Δ=22-4m≥0,且m≠0,解得m≤1且m≠0,故选D.6.(2023上海中考)已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没

有实数根,那么a的取值范围是

.a>9解析

∵关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没有实数根,∴Δ

<0,且a≠0,即62-4a<0,且a≠0,解得a>9.7.(易错题)(2023湖北荆州中考)已知关于x的一元二次方程kx2-(2k+4)x+k-6=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围.(2)当k=1时,用配方法解方程.易错警示

易忽略二次项系数不为0的前提条件.解析

(1)∵关于x的一元二次方程kx2-(2k+4)x+k-6=0有两个

不相等的实数根,∴Δ=[-(2k+4)]2-4k(k-6)>0,且k≠0,解得k>-

且k≠0.(2)当k=1时,原方程为x2-(2×1+4)x+1-6=0,即x2-6x-5=0,移项得x2-6x=5,配方得x2-6x+9=5+9,即(x-3)2=14,所以x-3=±

,解得x1=3+

,x2=3-

.能力提升全练8.(2023四川广安中考,6,★★☆)已知a、b、c为常数,点P(a,c)

在第四象限,则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是(

)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法判断A解析∵点P(a,c)在第四象限,∴a>0,c<0,∴ac<0,方程ax2+bx

+c=0是一元二次方程,∴Δ=b2-4ac>0,∴方程ax2+bx+c=0有两

个不相等的实数根.故选A.9.(新考向·新定义试题)(2023四川内江中考,11,★★☆)对于实数a,b定义运算“

”为ab=b2-ab,例如:32=22-3×2=-2,则关于x的方程(k-3)

x=k-1的根的情况,下列说法正确的是

(

)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定A解析∵(k-3)

x=k-1,∴x2-(k-3)x=k-1,∴x2-(k-3)x-k+1=0,∴Δ=[-(k-3)]2-4×1×(-k+1)=(k-1)2+4>0,∴关于x的方程(k-3)

x=k-1有两个不相等的实数根.故选A.方法解读根据运算“”的定义将方程(k-3)x=k-1转化

为一般式,由根的判别式Δ=(k-1)2+4>0,即可得出该方程有两

个不相等的实数根.10.(2024广东广州越秀月考改编,10,★★★)若关于x的方程x2

-(2k-2)x+k2-1=0有两个实数根,则

-(

)2的化简结果是

(

)A.-1

B.1

C.-1-2k

D.2k-3A解析∵关于x的方程x2-(2k-2)x+k2-1=0有两个实数根,∴Δ=[-(2k-2)]2-4×1×(k2-1)≥0,整理得-8k+8≥0,∴k≤1,∴k-1≤0,2-k>0,∴

-(

)2=-(k-1)-(2-k)=-1.故选A.11.(2024河南新蔡期中,13,★★☆)在实数范围内定义运算

“☆”和“★”,其规则为a☆b=a2+b2,a★b=

,则方程1☆x=x★6的解为

.x1=

,x2=

解析∵a☆b=a2+b2,a★b=

,∴1☆x=12+x2,x★6=

=3x,∵1☆x=x★6,∴12+x2=3x,则x2-3x+1=0,利用公式法可以求得x1=

,x2=

.

12.(2024江苏宿迁泗阳期中,20,★★☆)关于x的方程2x2+(m+

2)x+m=0.(1)求证:无论m取何值,方程总有两个实数根.(2)若方程有两个相等的实数根,请求出m的值,并求出此时方

程的根.解析

(1)证明:Δ=(m+2)2-4×2×m=(m-2)2.∵(m-2)2≥0,∴Δ≥0,∴无论m取何值,方程总有两个实数根.(2)∵方程有两个相等的实数根,∴Δ=(m-2)2=0,解得m1=m2=2,当m=2时,方程为2x2+4x+2=0.解得x1=x2=-1.素养探究全练13.(运算能力)(新考向·开放型试题)(2023浙江杭州中考)设关

于x的一元二次方程x2+bx+c=0.在下面的四组条件中选择其

中一组b,c的值,使这个方程有两个不相等的实数根,并解这

个方程.①b=2,c=1;②b=3,c=1;③b=3,c=-1;④b=2,c=2.解析∵这个方程有两个不相等的实数根,a=1,∴b2-4ac>0,

即b2>4c,∴②③均可,从②③中选一组,并解方程即可.若选②,则这个方程为x2+3x+1=0,∴x=

=

,∴x1=

,x2=

.若选③,则这个方程为x2+3x-1=0,∴x=

=

,∴x1=

,x2=

.14.(应用意识)在一块长16m,宽12m的矩形荒地上,要建造一

个花园,要求花园面积是荒地面积的一半,下面分别是小华与

小芳的设计方案.

(1)同学们都认为小华的方案是正确的,但对小芳的方案是否

符合条件有不同意见,你认为小芳的方案符合条件吗?若不

符合,请用方程的方法说明理由.(2)你还有其他的设计方案吗?请在图3中画出你所设计的草

图,将花园部分涂上阴影,并加以说明.

解析

(1)不符合.理由:设小路宽度均为xm,根据题意得(1