四川省绵阳市2024届九年级下学期中考一诊数学试卷(含解析)

数学一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选择中，只有一项符合题目要求）1．（3分）在下列实数，3π，3.14，，，中，无理数的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个答案：C解答：解：是分数，属于有理数；，是整数，属于有理数；3.14是小数，属于有理数；3π，属于无理数．故选：C．2．（3分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱 B．五棱柱 C．长方体 D．五棱锥答案：B解答：解：由几何体的左视图和俯视图都是长方形，故该几何体是柱体，又因为主视图是五边形，故该几何体是五棱柱．故选：B．3．（3分）经历百年风雨，中国共产党从小到大、由弱到强，从建党时50多名党员，发展成为今天已经拥有超过9800万党员的世界第一大政党.9800万用科学记数法表示为（）A．9.8×108 B．9.8×107 C．9.8×106 D．9.8×103答案：B解答：解：9800万＝98000000＝9.8×107，故选：B．4．（3分）如果a＝﹣3﹣2，b＝，c＝，那么a，b，c三数的大小为（）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a答案：A解答：解：a＝﹣3﹣2＝﹣，b＝＝9；c＝＝1，∵﹣＜1＜9，∴a＜c＜b，故选：A．5．（3分）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）答案：C解答：解：∵△ABC与△A′B′C′位似，△A′B′C′与△ABC的相似比为2：1，∴△ABC与△A′B′C′位似比为1：2，∵点C的坐标为（3，2），∴点C′的坐标为（3×2，2×2），即（6，4），故选：C．6．（3分）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（）A．（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440 B．（16﹣x）（200+80x）＝1440 C．（16﹣x﹣10）（200+80）＝1440 D．（16﹣x）（200+80）＝1440答案：A解答：解：设每袋粽子售价降低x元，每天的利润为1440元．根据题意，得（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440，故选：A．7．（3分）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（）A．（30+5）πm2 B．40πm2 C．（30+5）πm2 D．55πm2答案：A解答：解：设底面圆的半径为R，则πR2＝25π，解得R＝5（m），圆锥的母线长＝＝（m），所以圆锥的侧面积＝•2π•5•＝5π（m2）；圆柱的侧面积＝2π•5•3＝30π（m2），所以需要毛毡的面积＝（30π+5π）m2．故选：A．8．（3分）（非课改）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足+＝﹣1，则m的值是（）A．3 B．1 C．3或﹣1 D．﹣3或1答案：A解答：解：根据条件知：α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2，∴＝﹣1，即m2﹣2m﹣3＝0，所以，得，解得m＝3．故选：A．9．（3分）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（）A．m≤3 B．m＜3 C．m＞3且m≠6 D．m≥3且m≠6答案：D解答：解：方程两边都乘x﹣3，得2x﹣m＝x﹣3，解得x＝m﹣3，∴m﹣3≥0且m﹣3﹣3≠0，解得m≥3且m≠6，故选：D．10．（3分）如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）A．（，） B．（2，2） C．（，2） D．（2，）答案：C解答：解：∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，∴4＝a×（﹣2）2，解得：a＝1∴解析式为y＝x2，∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4），∴OB＝OD＝2，∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，∴CD∥x轴，∴点D和点P的纵坐标均为2，∴令y＝2，得2＝x2，解得：x＝±，∵点P在第一象限，∴点P的坐标为：（，2）故选：C．11．（3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，如果⊙O的半径为2，则点O到BE的距离OM＝（）A． B． C．1 D．答案：A解答：解：连接OD，OA，OB，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠AOD＝×360°＝90°，在△AOD中，由勾股定理得：AD＝＝4，∴CD＝AD＝BC＝4，∵E是CD中点，∴DE＝CE＝2，在△BCE中由勾股定理得：BE＝，由相交弦定理得：CE×DE＝BE×EF，即2×2＝2EF，∴EF＝，∴BF＝+＝，∵OM⊥BF，OM过圆心O，∴BM＝FM＝BF＝，在△BOM中，由勾股定理得：OB2＝OM2+BM2，＝OM2+，解得：OM＝，故选：A．12．（3分）如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在BC边上（与B，C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q．连接BE．给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：3；③∠FBE＝45°；④AD2＝FQ•AC；⑤BD2+CG2＝2AB2．其中，正确的结论有（）个．A．2 B．3 C．4 D．5答案：B解答：解：∵FG⊥CA，交CA的延长线于点G，∴∠G＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠C＝∠G，∵四边形ADEF为正方形，∴AD＝FA，∠DAF＝90°，∴∠ADC＝∠FAG＝90°﹣∠DAC，∴△ADC≌△FAG（AAS），∴AC＝FG，故①正确；∵∠C+∠G＝180°，∴CB∥GF，∵CB＝CA，CA＝GF，∴CB＝GF，∴四边形CBFG是平行四边形，∵∠C＝90°，∴四边形CBFG是矩形，∴S△FAB＝BF•BC，S四边形CBFG＝BF•BC，∴S△FAB：S四边形CBFG＝1：2≠1：3，故②错误；作EH⊥CB交CB的延长线于点H，则∠H＝∠C＝∠ADE＝90°，∴∠HDE＝∠CAD＝90°﹣∠ADC，∵DE＝AD，∴△DEH≌△ADC（AAS），∴HD＝CA＝CB，HE＝CD，∴HD﹣BD＝CB﹣BD，∴HB＝CD，∴HE＝HB，∴∠HBE＝∠HEB＝45°，∵∠FBH＝∠FBC＝90°，∴∠FBE＝∠FBH﹣∠HBE＝45°，故③正确；∵∠AFE＝∠GFB＝90°，∴∠QFE＝∠AFG＝90﹣∠AFQ，∵∠FEQ＝∠G＝90°，∴△QFE∽△AFG，∴＝，∴FA•FE＝FQ•FG，∵FA＝FE＝AD，AC＝FG，∴AD2＝FQ•AC，故④正确；连接DF，则DF2＝AD2+FA2＝2AD2，∵BF＝CG，∴BD2+CG2＝BD2+BF2＝DF2＝2AD2≠2AB2，故⑤错误，故选：B．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）13．（4分）在平面直角坐标系中，如果点P1（a，﹣3）与点P2（4，b）关于原点O对称，那么式子（a+b）2023的值为﹣1．答案：见试题解答内容解答：解：∵点P1（a，﹣3）与点P2（4，b）关于原点O对称，∴a＝﹣4，b＝3，故（a+b）2023＝（﹣4+3）2023＝﹣1．故答案为：﹣1．14．（4分）如图，直线m∥n，∠A＝50°，∠2＝30°，则∠1等于80°．答案：见试题解答内容解答：解：如图，∵∠3＝∠2+∠A，∠2＝30°，∠A＝50°，∴∠3＝80°，∵直线m∥n，∴∠1＝∠3，∵∠3＝80°，∴∠1＝80°，故答案为：80°15．（4分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．若要从“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中抽取两张，则恰好抽到“立夏”、“秋分”两张邮票的概率是．答案：见试题解答内容解答：解：将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票分别记为A，B，C，D，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“立夏”、“秋分”两张邮票的结果有：BC，CB，共2种，∴恰好抽到“立夏”、“秋分”两张邮票的概率为＝．故答案为：．16．（4分）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是40m（结果保留根号）答案：见试题解答内容解答：解：由题意可得：∠BDA＝45°，则AB＝AD＝120m，又∵∠CAD＝30°，∴在Rt△ADC中，tan∠CAD＝tan30°＝＝，解得：CD＝40（m），故答案为：40．17．（4分）如图，A、B是反比例函数图象上的两点，过点A、B分别作x轴的平行线交y轴于点C、D，直线AB交y轴正半轴于点E．若点B的横坐标是4，CD＝3AC，，则A点的坐标是（，3）．答案：见试题解答内容解答：解：∵BD∥x轴，∴∠EDB＝90°，∵cos∠BED＝＝，∴设DE＝3a，BE＝5a，∴BD＝＝4a，∵点B的横坐标为4，∴4a＝4，则a＝1．∴DE＝3．设AC＝b，则CD＝3b，∵AC∥BD，∴．∴EC＝b．∴ED＝3b+b＝b．∴b＝3，则b＝．∴AC＝，CD＝．设B点的纵坐标为n，∴OD＝n，则OC＝CD+OD＝+n．∵A（，+n），B（4，n），∴A、B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点．∴k＝×（+n）＝4n．∴n＝．∴A（，3）．故答案为（，3）．18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝16，点E，F分别在边AD，BC上，且DE＝6，CF＝3，将矩形沿EF折叠后，点D，C分别落在D'，C′处，延长ED'交BC于点G．当A，D'，C′三点共线时，△D'GH的面积是．答案：见试题解答内容解答：解：由折叠可知，D′E＝DE＝6，FC′＝FC＝3，∠ED′H＝∠D＝90°，∴AE＝16﹣6＝10．在Rt△AD′E中，AD′＝，∴tan∠EAD′＝．∵AD∥BC，∴∠EAD′＝∠D′HG．又∵∠D′HG＝∠FHC′，∴tan∠FHC′＝tan∠D′HG＝tan∠EAD′＝．则，∴C′H＝4．∴HF＝．在Rt△D′GH中，tan∠D′HG＝，令D′G＝3x，D′H＝4x，∴GH＝．∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG．由折叠可知，∠DEF＝∠GEF，∴∠GEF＝∠EFG，∴GE＝GF，则3x+6＝5x+5，解得x＝，∴D′G＝，D′H＝2，∴．故答案为：．三、解答题：（本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.19．（16分）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．答案：见试题解答内容解答：解：（1）＝2﹣1﹣++1﹣＝2；（2）＝÷＝•＝＝，当时，原式＝＝+1．20．（12分）为了解某校九年级学生的物理实验操作情况，随机抽查了40名学生实验操作的得分．根据获取的样本数据，制作了下面的条形统计图和扇形统计图，请根据相关信息，解答下列问题．（1）这40个样本数据的平均数是8.3分，众数是9分，中位数是8分；（2）扇形统计图中m的值为30；（3）若该校九年级共有480名学生，估计该校九年级物理实验操作得满分的学生有多少名．答案：见试题解答内容解答：解：（1）这40个样本数据的平均数是（分），成绩为9分的出现次数是12次，出现次数最多，故众数为9分，第20，21个数据分别为8分，8分，故中位数是（分），故答案为：8.3，9，8；（2）m%＝1﹣10%﹣15%﹣27.5%﹣17.5%＝30%，∴m＝30，故答案为：30；（3）（名），答：该校九年级物理实验操作得满分的学生约有84名．21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，m）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）请直接写出y1＜y2时，x的取值范围；（3）在平面内存在一点P，且∠APB＝90°，请直接写出OP的最小值．答案：见试题解答内容解答：解：A（1，2）在反比例函数y2＝的图象上，∴k＝1×2＝2，∴反比例函数的解析式为y2＝，∵B（﹣2，m）在反比例函数y2＝的图象上，∴m＝＝﹣1，∴B（﹣2，﹣1），把A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y1＝ax+b得：，解得，∴一次函数解析式为y1＝x+1；（2）由函数图象可知：y1＜y2时，x＜﹣2或0＜x＜1；（3）∵∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上运动，设AB的中点为Q，当P，O，Q三点共线且O，P在AB的同侧时OP有最小值，∵A（1，2），B（﹣2，﹣1），∴AB＝＝3，∴PQ＝AB＝，∵AB的中点为Q，∴Q（﹣，），∴OQ＝，∴OP＝PQ﹣OQ＝，故OP的最小值为．22．（12分）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．（1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？答案：见试题解答内容解答：解：（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是（x﹣40）元，由题意可得5x+10（x﹣40）＝1100，解得x＝100，x﹣40＝60．答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元；（2）设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”（120﹣m）套，由题意可得：，解得85≤m＜90，又∵m为正整数，∴m可以取85，86，87，88，89；∴共有5种购买方案，方案1：购进35套甲型号“文房四宝”，85套乙型号“文房四宝”；方案2：购进34套甲型号“文房四宝”，86套乙型号“文房四宝”；方案3：购进33套甲型号“文房四宝”，87套乙型号“文房四宝”；方案4：购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”；方案5：购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”；∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低，∴最低费用是31×100+60×89＝8440（元）．23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DB延长线上一点，且∠DEC＝∠ABC．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若，AC＝2BC，求线段BC的长．答案：见试题解答内容解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵BC＝BC，∴∠A＝∠D，又∵∠DEC＝∠ABC，∴∠D+∠DEC＝90°，∴∠DCE＝90°，∴CD⊥CE，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线；（2）解：由（1）知，CD⊥CE，在Rt△ABC和Rt△DEC中，∵∠A＝∠D，AC＝2BC，∴tanA＝tanD，即＝，∴CD＝2CE，在Rt△CDE中，CD2+CE2＝DE2，DE＝4，∴（2CE）2+CE2＝（4）2，解得CE＝4，∵CD是⊙O的直径，∴∠CBD＝90°，∴∠CBE＝90°，∴∠BCE＝∠D，∴，设BE＝x，BC＝2x，∴CE＝x＝4，∴x＝，∴BC＝．24．（12分）在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD位置，点D在直线AB外，连接AD，BD．（1）如图1，求∠ADB的大小；（2）已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD，DE∥AB．（i）如图2，连接CD，求证：BD＝CD；（ii）如图3，连接BE，若AC＝8，BC＝6，求tan∠ABE的值．答案：见试题解答内容解答：（1）解：∵M是AB的中点，∴MA＝MB，由旋转的性质得：MA＝MD＝MB，∴∠MAD＝∠MDA，∠MDB＝∠MBD，∵∠MAD+∠MDA+∠MDB+∠MBD＝180°，∴∠ADB＝∠MDA+∠MDB＝90°，即∠ADB的大小为90°；（2）（i）证明：∵∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵ME⊥AD，∴ME∥BD，∵ED∥BM，∴四边形EMBD是平行四边形，∴DE＝BM＝AM，∴DE∥AM，∴四边形EAMD是平行四边形，∵EM⊥AD，∴平行四边形EAMD是菱形，∴∠BAD＝∠CAD，又∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴A、C、D、B四点共圆，∵∠BCD＝∠CAD，∴＝，∴BD＝CD；（ii）解：如图3，过点E作EH⊥AB于点H，则∠EHA＝∠EHB＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝10，∵四边形EAMD是菱形，∴AE＝AM＝AB＝5，∴sin∠CAB＝＝＝，∴EH＝AE•sin∠CAB＝5×＝3，∴AH＝＝＝4，∴BH＝AB﹣AH＝10﹣4＝6，∴tan∠ABE＝＝＝，即tan∠ABE的值为．25．（14