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文档简介
数学一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分,在每小题给出的四个选择中,只有一项符合题目要求)1.(3分)在下列实数,3π,3.14,,,中,无理数的个数有()A.4个 B.3个 C.2个 D.1个答案:C解答:解:是分数,属于有理数;,是整数,属于有理数;3.14是小数,属于有理数;3π,属于无理数.故选:C.2.(3分)如图是某几何体的三视图,该几何体是()A.圆柱 B.五棱柱 C.长方体 D.五棱锥答案:B解答:解:由几何体的左视图和俯视图都是长方形,故该几何体是柱体,又因为主视图是五边形,故该几何体是五棱柱.故选:B.3.(3分)经历百年风雨,中国共产党从小到大、由弱到强,从建党时50多名党员,发展成为今天已经拥有超过9800万党员的世界第一大政党.9800万用科学记数法表示为()A.9.8×108 B.9.8×107 C.9.8×106 D.9.8×103答案:B解答:解:9800万=98000000=9.8×107,故选:B.4.(3分)如果a=﹣3﹣2,b=,c=,那么a,b,c三数的大小为()A.a<c<b B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a答案:A解答:解:a=﹣3﹣2=﹣,b==9;c==1,∵﹣<1<9,∴a<c<b,故选:A.5.(3分)如图,在直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,1),C(3,2),现以原点O为位似中心,在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′,则顶点C′的坐标是()A.(2,4) B.(4,2) C.(6,4) D.(5,4)答案:C解答:解:∵△ABC与△A′B′C′位似,△A′B′C′与△ABC的相似比为2:1,∴△ABC与△A′B′C′位似比为1:2,∵点C的坐标为(3,2),∴点C′的坐标为(3×2,2×2),即(6,4),故选:C.6.(3分)端午节又称端阳节,是中华民族重要的传统节日,我国各地都有吃粽子的习俗.某超市以10元每袋的价格购进一批粽子,根据市场调查,售价定为每袋16元,每天可售出200袋;若售价每降低1元,则可多售出80袋,问此种粽子售价降低多少元时,超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元?若设每袋粽子售价降低x元,则可列方程为()A.(16﹣x﹣10)(200+80x)=1440 B.(16﹣x)(200+80x)=1440 C.(16﹣x﹣10)(200+80)=1440 D.(16﹣x)(200+80)=1440答案:A解答:解:设每袋粽子售价降低x元,每天的利润为1440元.根据题意,得(16﹣x﹣10)(200+80x)=1440,故选:A.7.(3分)如图,蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成,若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2,圆柱高为3m,圆锥高为2m的蒙古包,则需要毛毡的面积是()A.(30+5)πm2 B.40πm2 C.(30+5)πm2 D.55πm2答案:A解答:解:设底面圆的半径为R,则πR2=25π,解得R=5(m),圆锥的母线长==(m),所以圆锥的侧面积=•2π•5•=5π(m2);圆柱的侧面积=2π•5•3=30π(m2),所以需要毛毡的面积=(30π+5π)m2.故选:A.8.(3分)(非课改)已知α,β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足+=﹣1,则m的值是()A.3 B.1 C.3或﹣1 D.﹣3或1答案:A解答:解:根据条件知:α+β=﹣(2m+3),αβ=m2,∴=﹣1,即m2﹣2m﹣3=0,所以,得,解得m=3.故选:A.9.(3分)已知关于x的分式方程的解是非负数,则m的取值范围是()A.m≤3 B.m<3 C.m>3且m≠6 D.m≥3且m≠6答案:D解答:解:方程两边都乘x﹣3,得2x﹣m=x﹣3,解得x=m﹣3,∴m﹣3≥0且m﹣3﹣3≠0,解得m≥3且m≠6,故选:D.10.(3分)如图,Rt△OAB的顶点A(﹣2,4)在抛物线y=ax2上,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°,得到△OCD,边CD与该抛物线交于点P,则点P的坐标为()A.(,) B.(2,2) C.(,2) D.(2,)答案:C解答:解:∵Rt△OAB的顶点A(﹣2,4)在抛物线y=ax2上,∴4=a×(﹣2)2,解得:a=1∴解析式为y=x2,∵Rt△OAB的顶点A(﹣2,4),∴OB=OD=2,∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°,得到△OCD,∴CD∥x轴,∴点D和点P的纵坐标均为2,∴令y=2,得2=x2,解得:x=±,∵点P在第一象限,∴点P的坐标为:(,2)故选:C.11.(3分)如图,正方形ABCD内接于⊙O,E为DC的中点,直线BE交⊙O于点F,如果⊙O的半径为2,则点O到BE的距离OM=()A. B. C.1 D.答案:A解答:解:连接OD,OA,OB,∵正方形ABCD内接于⊙O,∴∠AOD=×360°=90°,在△AOD中,由勾股定理得:AD==4,∴CD=AD=BC=4,∵E是CD中点,∴DE=CE=2,在△BCE中由勾股定理得:BE=,由相交弦定理得:CE×DE=BE×EF,即2×2=2EF,∴EF=,∴BF=+=,∵OM⊥BF,OM过圆心O,∴BM=FM=BF=,在△BOM中,由勾股定理得:OB2=OM2+BM2,=OM2+,解得:OM=,故选:A.12.(3分)如图,CB=CA,∠ACB=90°,点D在BC边上(与B,C不重合),四边形ADEF为正方形,过点F作FG⊥CA,交CA的延长线于点G,连接FB,交DE于点Q.连接BE.给出以下结论:①AC=FG;②S△FAB:S四边形CBFG=1:3;③∠FBE=45°;④AD2=FQ•AC;⑤BD2+CG2=2AB2.其中,正确的结论有()个.A.2 B.3 C.4 D.5答案:B解答:解:∵FG⊥CA,交CA的延长线于点G,∴∠G=90°,∵∠ACB=90°,∴∠C=∠G,∵四边形ADEF为正方形,∴AD=FA,∠DAF=90°,∴∠ADC=∠FAG=90°﹣∠DAC,∴△ADC≌△FAG(AAS),∴AC=FG,故①正确;∵∠C+∠G=180°,∴CB∥GF,∵CB=CA,CA=GF,∴CB=GF,∴四边形CBFG是平行四边形,∵∠C=90°,∴四边形CBFG是矩形,∴S△FAB=BF•BC,S四边形CBFG=BF•BC,∴S△FAB:S四边形CBFG=1:2≠1:3,故②错误;作EH⊥CB交CB的延长线于点H,则∠H=∠C=∠ADE=90°,∴∠HDE=∠CAD=90°﹣∠ADC,∵DE=AD,∴△DEH≌△ADC(AAS),∴HD=CA=CB,HE=CD,∴HD﹣BD=CB﹣BD,∴HB=CD,∴HE=HB,∴∠HBE=∠HEB=45°,∵∠FBH=∠FBC=90°,∴∠FBE=∠FBH﹣∠HBE=45°,故③正确;∵∠AFE=∠GFB=90°,∴∠QFE=∠AFG=90﹣∠AFQ,∵∠FEQ=∠G=90°,∴△QFE∽△AFG,∴=,∴FA•FE=FQ•FG,∵FA=FE=AD,AC=FG,∴AD2=FQ•AC,故④正确;连接DF,则DF2=AD2+FA2=2AD2,∵BF=CG,∴BD2+CG2=BD2+BF2=DF2=2AD2≠2AB2,故⑤错误,故选:B.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13.(4分)在平面直角坐标系中,如果点P1(a,﹣3)与点P2(4,b)关于原点O对称,那么式子(a+b)2023的值为﹣1.答案:见试题解答内容解答:解:∵点P1(a,﹣3)与点P2(4,b)关于原点O对称,∴a=﹣4,b=3,故(a+b)2023=(﹣4+3)2023=﹣1.故答案为:﹣1.14.(4分)如图,直线m∥n,∠A=50°,∠2=30°,则∠1等于80°.答案:见试题解答内容解答:解:如图,∵∠3=∠2+∠A,∠2=30°,∠A=50°,∴∠3=80°,∵直线m∥n,∴∠1=∠3,∵∠3=80°,∴∠1=80°,故答案为:80°15.(4分)“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶,被国际气象界誉为“中国第五大发明”.若要从“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中抽取两张,则恰好抽到“立夏”、“秋分”两张邮票的概率是.答案:见试题解答内容解答:解:将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票分别记为A,B,C,D,画树状图如下:共有12种等可能的结果,其中恰好抽到“立夏”、“秋分”两张邮票的结果有:BC,CB,共2种,∴恰好抽到“立夏”、“秋分”两张邮票的概率为=.故答案为:.16.(4分)如图,从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°,从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°,已知甲楼的高AB是120m,则乙楼的高CD是40m(结果保留根号)答案:见试题解答内容解答:解:由题意可得:∠BDA=45°,则AB=AD=120m,又∵∠CAD=30°,∴在Rt△ADC中,tan∠CAD=tan30°==,解得:CD=40(m),故答案为:40.17.(4分)如图,A、B是反比例函数图象上的两点,过点A、B分别作x轴的平行线交y轴于点C、D,直线AB交y轴正半轴于点E.若点B的横坐标是4,CD=3AC,,则A点的坐标是(,3).答案:见试题解答内容解答:解:∵BD∥x轴,∴∠EDB=90°,∵cos∠BED==,∴设DE=3a,BE=5a,∴BD==4a,∵点B的横坐标为4,∴4a=4,则a=1.∴DE=3.设AC=b,则CD=3b,∵AC∥BD,∴.∴EC=b.∴ED=3b+b=b.∴b=3,则b=.∴AC=,CD=.设B点的纵坐标为n,∴OD=n,则OC=CD+OD=+n.∵A(,+n),B(4,n),∴A、B是反比例函数y=(k>0,x>0)图象上的两点.∴k=×(+n)=4n.∴n=.∴A(,3).故答案为(,3).18.(4分)如图,在矩形ABCD中,AD=16,点E,F分别在边AD,BC上,且DE=6,CF=3,将矩形沿EF折叠后,点D,C分别落在D',C′处,延长ED'交BC于点G.当A,D',C′三点共线时,△D'GH的面积是.答案:见试题解答内容解答:解:由折叠可知,D′E=DE=6,FC′=FC=3,∠ED′H=∠D=90°,∴AE=16﹣6=10.在Rt△AD′E中,AD′=,∴tan∠EAD′=.∵AD∥BC,∴∠EAD′=∠D′HG.又∵∠D′HG=∠FHC′,∴tan∠FHC′=tan∠D′HG=tan∠EAD′=.则,∴C′H=4.∴HF=.在Rt△D′GH中,tan∠D′HG=,令D′G=3x,D′H=4x,∴GH=.∵AD∥BC,∴∠DEF=∠EFG.由折叠可知,∠DEF=∠GEF,∴∠GEF=∠EFG,∴GE=GF,则3x+6=5x+5,解得x=,∴D′G=,D′H=2,∴.故答案为:.三、解答题:(本大题共7个小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).19.(16分)(1)计算:;(2)先化简,再求值:,其中.答案:见试题解答内容解答:解:(1)=2﹣1﹣++1﹣=2;(2)=÷=•==,当时,原式==+1.20.(12分)为了解某校九年级学生的物理实验操作情况,随机抽查了40名学生实验操作的得分.根据获取的样本数据,制作了下面的条形统计图和扇形统计图,请根据相关信息,解答下列问题.(1)这40个样本数据的平均数是8.3分,众数是9分,中位数是8分;(2)扇形统计图中m的值为30;(3)若该校九年级共有480名学生,估计该校九年级物理实验操作得满分的学生有多少名.答案:见试题解答内容解答:解:(1)这40个样本数据的平均数是(分),成绩为9分的出现次数是12次,出现次数最多,故众数为9分,第20,21个数据分别为8分,8分,故中位数是(分),故答案为:8.3,9,8;(2)m%=1﹣10%﹣15%﹣27.5%﹣17.5%=30%,∴m=30,故答案为:30;(3)(名),答:该校九年级物理实验操作得满分的学生约有84名.21.(12分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A(1,2)和B(﹣2,m).(1)求一次函数和反比例函数的表达式;(2)请直接写出y1<y2时,x的取值范围;(3)在平面内存在一点P,且∠APB=90°,请直接写出OP的最小值.答案:见试题解答内容解答:解:A(1,2)在反比例函数y2=的图象上,∴k=1×2=2,∴反比例函数的解析式为y2=,∵B(﹣2,m)在反比例函数y2=的图象上,∴m==﹣1,∴B(﹣2,﹣1),把A(1,2),B(﹣2,﹣1)代入y1=ax+b得:,解得,∴一次函数解析式为y1=x+1;(2)由函数图象可知:y1<y2时,x<﹣2或0<x<1;(3)∵∠APB=90°,∴点P在以AB为直径的圆上运动,设AB的中点为Q,当P,O,Q三点共线且O,P在AB的同侧时OP有最小值,∵A(1,2),B(﹣2,﹣1),∴AB==3,∴PQ=AB=,∵AB的中点为Q,∴Q(﹣,),∴OQ=,∴OP=PQ﹣OQ=,故OP的最小值为.22.(12分)“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具,即笔、墨、纸、砚,文房四宝之名,起于南北朝时期.基本中学为了落实双减政策,丰富学生的课后服务活动,开设了书法社团,计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”,经过调查得知:每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元,买5套甲型号和10套乙型号共用1100元.(1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少?(2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套,总费用不超过8600元,并且根据学生需求,要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍,问有几种购买方案?最低费用是多少?答案:见试题解答内容解答:解:(1)设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元,则每套乙型号“文房四宝”的价格是(x﹣40)元,由题意可得5x+10(x﹣40)=1100,解得x=100,x﹣40=60.答:每套甲型号“文房四宝”的价格是100元,则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元;(2)设需购进乙种型号“文房四宝”m套,则需购进甲种型号“文房四宝”(120﹣m)套,由题意可得:,解得85≤m<90,又∵m为正整数,∴m可以取85,86,87,88,89;∴共有5种购买方案,方案1:购进35套甲型号“文房四宝”,85套乙型号“文房四宝”;方案2:购进34套甲型号“文房四宝”,86套乙型号“文房四宝”;方案3:购进33套甲型号“文房四宝”,87套乙型号“文房四宝”;方案4:购进32套甲型号“文房四宝”,88套乙型号“文房四宝”;方案5:购进31套甲型号“文房四宝”,89套乙型号“文房四宝”;∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元,∴甲型号“文房四宝”的套数越少,总费用就越低,∴最低费用是31×100+60×89=8440(元).23.(12分)如图,△ABC内接于⊙O,AB,CD是⊙O的直径,E是DB延长线上一点,且∠DEC=∠ABC.(1)求证:CE是⊙O的切线;(2)若,AC=2BC,求线段BC的长.答案:见试题解答内容解答:(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠A+∠ABC=90°,∵BC=BC,∴∠A=∠D,又∵∠DEC=∠ABC,∴∠D+∠DEC=90°,∴∠DCE=90°,∴CD⊥CE,∵OC是⊙O的半径,∴CE是⊙O的切线;(2)解:由(1)知,CD⊥CE,在Rt△ABC和Rt△DEC中,∵∠A=∠D,AC=2BC,∴tanA=tanD,即=,∴CD=2CE,在Rt△CDE中,CD2+CE2=DE2,DE=4,∴(2CE)2+CE2=(4)2,解得CE=4,∵CD是⊙O的直径,∴∠CBD=90°,∴∠CBE=90°,∴∠BCE=∠D,∴,设BE=x,BC=2x,∴CE=x=4,∴x=,∴BC=.24.(12分)在Rt△ABC中,M是斜边AB的中点,将线段MA绕点M旋转至MD位置,点D在直线AB外,连接AD,BD.(1)如图1,求∠ADB的大小;(2)已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD,DE∥AB.(i)如图2,连接CD,求证:BD=CD;(ii)如图3,连接BE,若AC=8,BC=6,求tan∠ABE的值.答案:见试题解答内容解答:(1)解:∵M是AB的中点,∴MA=MB,由旋转的性质得:MA=MD=MB,∴∠MAD=∠MDA,∠MDB=∠MBD,∵∠MAD+∠MDA+∠MDB+∠MBD=180°,∴∠ADB=∠MDA+∠MDB=90°,即∠ADB的大小为90°;(2)(i)证明:∵∠ADB=90°,∴AD⊥BD,∵ME⊥AD,∴ME∥BD,∵ED∥BM,∴四边形EMBD是平行四边形,∴DE=BM=AM,∴DE∥AM,∴四边形EAMD是平行四边形,∵EM⊥AD,∴平行四边形EAMD是菱形,∴∠BAD=∠CAD,又∵∠ACB=∠ADB=90°,∴A、C、D、B四点共圆,∵∠BCD=∠CAD,∴=,∴BD=CD;(ii)解:如图3,过点E作EH⊥AB于点H,则∠EHA=∠EHB=90°,在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB===10,∵四边形EAMD是菱形,∴AE=AM=AB=5,∴sin∠CAB===,∴EH=AE•sin∠CAB=5×=3,∴AH===4,∴BH=AB﹣AH=10﹣4=6,∴tan∠ABE===,即tan∠ABE的值为.25.(14
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