专题8.2圆柱圆锥圆台的表面积与体积（3类必考点）（人教A版）

专题8.2圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积TOC\o"13"\h\z\t"正文,1"【考点1：圆柱的表面积与体积】 1【考点2：圆锥的表面积与体积】 6【考点3：圆台的表面积与体积】 10【基础知识】1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r＋r′)l圆柱、圆锥、圆台侧面积间的关系：S圆柱侧＝2πrleq\o(→,\s\up7(r′＝r))S圆台侧＝π(r＋r′)leq\o(→,\s\up7(r′＝0))S圆锥侧＝πrl.2．空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积圆柱S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh圆锥S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)Sh圆台S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h[方法技巧]求空间几何体表面积的常见类型及思路求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系[方法技巧]求空间几何体体积的常见类型及思路规则几何体若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法不规则几何体若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解【考点1：圆柱的表面积与体积】【知识点：圆柱的表面积与体积】1．（2024·陕西铜川·二模）已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的倍，则它的侧面积扩大为原来的（

）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】B【分析】根据圆柱体积公式可求得，代入圆柱侧面积公式即可求得结果.【详解】设圆柱的高为，底面半径为，则其体积，侧面积为；设体积扩大倍后的底面半径为，则，，其侧面积变为，，即侧面积扩大为原来的倍.故选：B.2．（2324高一下·全国·期末）若甲、乙两个圆柱的体积相等，底面积分别为和，侧面积分别为和.若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设甲圆柱底面圆半径为，高为，乙圆柱底面圆半径为，高为，由等面积之比得到，再由体积相同得到，最后由侧面积公式计算可得.【详解】设甲圆柱底面圆半径为，高为，乙圆柱底面圆半径为，高为，则，∴.又，则，∴.故选：B.3．（2324高二上·浙江丽水·期末）如图，将一个圆柱等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n越大，组合成的新几何体就越接近一个“长方体”.若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设圆柱的底面半径为，高分析可得新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加的为轴截面的面积，由此可得，由圆柱的侧面积公式计算可得答案.【详解】根据题意，设圆柱的底面半径为，高，其轴截面的面积为，新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加的为轴截面的面积，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了，即，所以圆柱的侧面积为.故选：A.4．（2024·山东·二模）已知圆柱的底面半径为4，侧面面积为，则该圆柱的母线长等于．【答案】2【分析】根据圆柱的侧面积公式求解即可.【详解】由题意可知圆柱的底面周长，所以根据圆柱的侧面面积公式可知，该圆柱的母线长，故答案为：5．（2324高一上·广西贺州·期末）已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积最大为(结果保留)；【答案】【分析】结合已知条件首先表示出圆柱的侧面积，再利用均值不等式求解即可.【详解】不妨设矩形的一条边为，则矩形的另一条边为，则旋转后的圆柱的底面圆半径为，高为，从而圆柱的侧面积为，当且仅当时，即时，圆柱的侧面积取得最大值.故答案为：.6．（2024高三下·贵州贵阳·阶段练习）某学生到某工厂进行劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为一个大圆柱中挖去一个小圆柱后的剩余部分（两个圆柱底面圆的圆心重合），大圆柱的轴截面是边长为40cm的正方形，小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，打印所用原料的密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g．（取）【答案】36000【分析】利用小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半,建立等式,求出小圆柱底面圆，借助该模型体积为大圆柱体积减去小圆柱体积，进而求解.【详解】根据题意可知大圆柱的底面圆的半径，两圆柱的高，设小圆柱的底面圆的半径为，则有，即，解得，所以该模型的体积为，所以制作该模型所需原料的质量为.故答案为：36000.7．（2024高二上·辽宁朝阳·阶段练习）定义如图所示的几何体为斜截圆柱（由不平行圆柱底面的平面截圆柱得到），已知斜截圆柱底面的直径为，母线长最短为、最长为，则斜截圆柱侧面展开图的面积．

【答案】【分析】将两个相同的斜截圆柱拼接成圆柱，则圆柱的高为，底面半径为，结合圆柱的侧面积公式可求得斜截圆柱的侧面积.【详解】如下图所示：

将两个相同的斜截圆柱拼接成圆柱，则圆柱的高为，底面半径为，因此，斜截圆柱的侧面积为.故答案为：.8．（2324高一下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图所示，从底面半径为，高为的圆柱中，挖去一个底面半径为且与圆柱等高的圆柱，求原圆柱的表面积与挖去圆柱后的几何体的表面积的比值.

【答案】【分析】利用圆柱表面积公式求出两个几何体的表面积，作比即可解答.【详解】由题意，知原圆柱的表面积，挖去圆柱后所得几何体的表面积，所以.【考点2：圆锥的表面积与体积】【知识点：圆锥的表面积与体积】1．（2024·云南贵州·二模）底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用圆锥的侧面积公式求出母线长，进而求出高，再利用圆锥的体积公式求解．【详解】设圆锥的母线长为，高为，半径为，则且，故，圆锥的体积为．故选：D．2．（2324高一下·浙江金华·期中）侧面积为的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为（

）A． B． C．2 D．1【答案】D【分析】根据圆锥侧面积公式及圆的面积求解.【详解】设底面半径为，母线长为，则，解得，又，解得，故选：D3．（2324高一下·广东深圳·阶段练习）已知圆锥的母线长为，为底面的圆心，其侧面积等于，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆锥的侧面积等于，可求得圆锥的底面圆半径为，再由体积公式求解即可.【详解】设圆锥的底面圆半径为，由母线长为2，侧面积等于，得，解得，因此圆锥的高，所以该圆锥的体积为．故选：C．4．（2324高三上·湖南·阶段练习）已知圆锥的体积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的侧面积为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据展开图为半圆求出母线与底面圆半径的关系，再由体积公式求出底面圆半径，即可由侧面积公式得解.【详解】设圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为，由，得，所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为．解得又，故选：C．5．（2324高二下·广东揭阳·阶段练习）如图，为圆锥面圆的一条直径，点为线段的中点，现沿将圆锥的侧面展开，所得的平面图形中为直角三角形，若．则圆锥的表面积为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】作出展开图，结合题意可得为等边三角形，从而可求出，圆锥的侧面积、圆锥的底面积，即可得答案.【详解】解：如图所示，作出展开图，可得，为锐角，故，

由，可得，即为等边三角形，所以，则圆锥的侧面积为，，又因为，，所以底面积，所以圆锥的表面积为．故选：B．6．（多选）（2324高二下·河南郑州·阶段练习）如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（

）

A．圆锥的母线长为3B．圆锥的表面积为C．圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为D．若一蚂蚁从点A出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点A，则爬行的最短距离为【答案】BD【分析】由题意可求出圆锥的母线长判断A；由此可求得圆锥的表面积判断B；由侧面展开图扇形的形状可判断C；由侧面展开图的扇形求最短距离判断D.【详解】设圆锥的母线长为l，则以S为圆心，SA为半径的圆的面积为，圆锥的侧面积，因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，所以圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为，故C错误；，解得，所以圆锥的母线长为9，故A错误；圆锥的表面积，故B正确；如图为圆锥沿SA的侧面展开图，连接，则为等腰三角形，所以蚂蚁爬行的最短距离为，故D正确.

故选：BD.7．（2024·上海长宁·二模）用铁皮制作一个有底无盖的圆柱形容器，若该容器的容积为立方米，则至少需要平方米铁皮【答案】【分析】由柱体的体积公式可得，再求出圆柱形容器的表面积，由基本不等式求解即可.【详解】设圆柱形容器的底面半径为，高为，所以圆柱形容器的体积为，所以，所以圆柱形容器的表面积为：,当且仅当，又，即时等号成立，故至少需要平方米铁皮.故答案为：.8．（2324高三下·上海浦东新·期中）如图，有一底面半径为1，高为3的圆柱.光源点沿着上底面圆周作匀速运动，射出的光线始终经过圆柱轴截面的中心.当光源点沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积为.

【答案】【分析】由已知得射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积是以为顶点，以圆柱的底面为底面的圆锥的半个侧面积，求该圆锥的侧面积即可.【详解】由已知得射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积是以为顶点，以圆柱的底面为底面的圆锥的半个侧面积，共两个，所以面积为.故答案为：.

.【考点3：圆台的表面积与体积】【知识点：棱台的表面积与体积】1．（2024·福建漳州·模拟预测）一个圆台的上、下底面的半径分别为1和4，体积为，则它的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用圆台的体积公式求得高，再利用圆台的表面积公式即可得解.【详解】依题意，设圆台的高为，则，解得，所以圆台的母线长为，则圆台的表面积为.故选：B．2．（2024·河南新乡·二模）设圆台的上、下底面的半径之比为，侧面积为，且上底面半径为质数，则该圆台的母线长为（

）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】B【分析】如图，易知且，根据圆台侧面积公式计算可得，结合质数的概念即可求解.【详解】设圆台上底面的半径为r，下底面半径为R，母线为l，则.如图，分别为圆台上、下底面的圆心，AB为一条母线，连接，过点A作于点D，则四边形为矩形，得，所以，在中，，圆台的侧面积为，所以，又为质数，所以或3.当时，，则，符合题意；当时，，则，不符合题意.所以圆台的母线长为3.故选：B3．（2324高三下·山东德州·开学考试）如图所示，某圆台型木桶（厚度不计）上下底面的面积分别为和，且木桶的体积为，则该木桶的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由台体的体积公式求出圆台的高，作出图象求出台体的母线长，再根据体积公式求解即可.【详解】设上下底面的的半径分别为，高为，所以，故，因为木桶的体积为，所以，所以，解得：，设圆台的母线长为，如下图，所以，所以该木桶的侧面积为.故选：D.4．（2024·吉林延边·一模）碗是人们日常必需的饮食器皿，碗的起源可追溯到新石器时代泥质陶制的碗，其形状与当今无多大区别，即口大底小，碗口宽而碗底窄，下有碗足．如图所示的一个碗口直径为9.3cm，碗底直径为3.8cm，高4cm，它的形状可以近似看作圆台，则其侧面积约为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆台的侧面积公式运算求解即可.【详解】由题意可知：碗口半径为，碗底半径为，可知母线为，所以其侧面积约为.故选：C.5．（2024·全国·模拟预测）已知轴截面为正三角形的圆锥，被平行于底面的平面所截，截得的上、下两个几何体的表面积分别为，，体积分别为，，若，则的值为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】作出圆锥的轴截面，设出大小圆锥的底面圆半径，表示出母线长，利用代入化简得到，计算得到的值.【详解】如图，作出圆锥的轴截面，设截得的圆锥的底面圆半径为，原圆锥的底面圆半径为．因为轴截面是正三角形，所以母线长为，原圆锥的母线长为，则截得的圆台的母线长为．因为，即，解得，于是，，所以.故选：A．6．（2024高三·全国·专题练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC＝120°，则下列关于该圆台的说法错误的是（

）A．高为2 B．母线长为3C．表面积为14π D．体积为π【答案】D【详解】设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则2πr＝×3，即r＝1；2πR＝×6，即R＝2.又圆台的母线长为l＝6－3＝3，所以圆台的高h＝＝2，故A，B正确．圆台的表面积S＝π(1＋2)×3＋π×12＋π×22＝14π，故C正确；圆台的体积V＝π×2×(22＋12＋2×1)＝π，故D错误．故选D.7．（2024高一下·全国·专题练习）某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形（如图所示），将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，已知，则该圆台的表面积为.【