专题08函数与方程（重难点突破）原卷版

专题08函数与方程考点一、函数的零点函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标．注意：函数的零点不是一个点，而是f(x)＝0的实数解．程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的解．注意：(1)函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，f(a)·f(b)＜0不一定成立．4.若连续不断的曲线y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)＜0，y＝f(x)在(a，b)内一定有零点，但不能确定有几个．考点二、二分法1.对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间eq\o(□,\s\up1(03))一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2.二分法求方程近似解的步骤给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：(1)、确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.(2)、求区间(a，b)的中点C．(3)、计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝C．(4)、判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．考点三、函数模型1.函数模型应用的两个方面(1)、利用已知函数模型解决问题．(2)、建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势eq\o(□,\s\up1(04))进行预测．2.用函数模型解决实际问题的步骤(1)、审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．(2)、建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型．(3)、求模：求解函数模型，得到数学结论．(4)、还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．可将这些步骤用框图表示如下：拟合(1)、定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．(2、数据拟合的步骤①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式；③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；④做必要的检验重难点题型突破1二分法求函数零点所在区间例1.（1）、（2022·山西·长治市第四中学校高一期末）函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．（2）、（2023·全国·高一专题练习）的零点所在区间为（

）A． B． C． D．【变式训练11】．（2019·浙江湖州高一期中）函数的零点所在的区间是（）A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)【变式训练12】．（2023秋·北京丰台·高三北京市第十二中学校考阶段练习）函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．重难点题型突破2求函数零点的个数与方程的解个数例2．（1）、（2023秋·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习）函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3（2）、（2023·全国·高一专题练习）方程解的个数为.【变式训练21】．（2020·张家口市第一中学高一月考）函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【变式训练22】．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点个数是.重难点题型突破3根据零点个数或零点所在区间，求参数的范围例3．（1）、（2023·全国·高一专题练习）若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．（2）、（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式训练31】、（2023·全国·高一专题练习）若函数在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是．【变式训练32】、（2022·江苏·宿迁中学高一期中）若方程有四个不同的根，则的取值范围是_______．重难点题型突破4根据零点个数或零点所在区间，求零点之间的关系例4．（1）、（2023秋·广东·高一校联考期末）已知函数，若方程有四个不同的根，则的取值范围为（

）A． B．C． D．（2）．（2021·安徽安庆·高三月考（文））已知函数，若函数有四个不同的零点，，，，且满足：，则的值是（）A．4 B．3 C．2 D．1【变式训练41】．（2022秋·辽宁辽阳·高一校联考期末）已知函数且方程的6个解分别为，，，，，，则（

）A． B．C． D．【变式训练42】．（2022·全国高三专题练习（理））已知函数，若方程有四个不同的根、、、，且，则的取值范围是__________.重难点题型突破5“自我嵌套”函数的零点问题例5．（1）、（2021·吉林长春外国语学校（理））已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．（2）、（2023秋·天津河西·高三天津实验中学校考阶段练习）已知函数，，若有6个零点，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式训练51】．（2022·全国高三专题练习（理））已知函数则函数的所有零点之和为___________.【变式训练52】．（2023春·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校考期末）已知函数，则函数的零点的个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6重难点题型突破6与其它函数“嵌套”函数的零点问题例6．（1）、（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数若关于的方程有4个不同的实根，则的取值范围是（

）A． B． C． D．（2）、（2023秋·四川遂宁·高三校考阶段练习）已知函数，函数有6个零点，则非零实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式训练61】．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的零点个数是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【变式训练62】、（2023·全国·高三专题练习）已知函数，关于的方程有6个不等实数根，则实数t的取值范围是．重难点题型突破7指对幂函数模型例7．（1）、（2022·浙江省杭州第九中学高一期末）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，（为时间，单位分钟，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设一杯开水温度℃，环境温度℃，常数，大约经过多少分钟水温降为40℃（结果保留整数，参考数据：）（

）A．9 B．8 C．7 D．5（2）．（2022·全国·高三专题练习）据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类以平均每年4%的速度增加.按这个增长速度，大约经过年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的4倍或4倍以上.(结果保留整数)(参考数据：)【变式训练71】．（2023·全国·高一专题练习）为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（参考数据：，）（

）A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年【变式训练72】．（2021·全国·高三专题练习）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k、b为常数）.若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是______小时.例8．（2023·全国·高一专题练习）随着科技的发展，上各种APP层出不穷，其中抖音就是一种很火爆的自媒体软件，抖音是一个帮助用户表达自我，记录美好生活的视频平台．在大部分人用来娱乐的同时，部分有商业头脑的人用抖音来直播带货，可谓赚得盆满钵满，抖音上商品的价格随着播放的热度而变化．经测算某服装的价格近似满足：，其中（单位：元）表示开始卖时的服装价格，J（单位：元）表示经过一定时间t（单位：天）后的价格，（单位：元）表示波动价格，h（单位：天）表示波动周期．某位商人通过抖音卖此服装，开始卖时的价格为每件120元，波动价格为每件20元，服装价格降到70元每件时需要10天时间．(1)求h的值；(2)求服装价格降到60元每件时需要的天数．（结果精确到整数）参考数据：【变式训练81】．（2023·全国·高一专题练习）“硬科技”是以人工智能，航空航天，生物技术，光电芯片，信息技术，新材料，新能源，智能制造等为代表的高精尖技术，属于由科技创新构成的物理世界，是需长期投入，持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿.最近十年，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售，假设该高级设备的年产量为x百台，经测算，生产该高级设备每年需投入固完成本1500万元，最多能够生产80百台，每生产一百台台高级设备需要另投成本万元，且，每台高级设备售价为2万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出.(1)求企业获得年利润（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式（利润销售收入成本）；(2)当该产品年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润.1．（2023·全国·高一专题练习）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·江苏扬州·高一扬州中学校考阶段练习）对于函数，下列说法中正确的是（

）A．当时，函数的零点为、B．函数一定有两个零点C．函数可能无零点D．函数的零点个数是1或23．（2023秋·吉林·高一吉林一中校考阶段练习）若关于的方程恰有三个不同的实数解，，，且，其中，则的值为（

）A．6 B．4 C．3 D．24．（2022秋·新疆和田·高一和田地区第二中学校考阶段练习）函数，若有个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．5．（2023·全国·高三专题练习）草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力．草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱．根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为4个等级，其等级x与其对应等级的市场销售单价y（单位：元/千克）近似满足函数关系式，若花同样的钱买到的1级草莓比4级草莓多1倍，且1级草莓的市场销售单价为20元/千克，则3级草莓的市场销售单价最接近（参考数据：，）（

）6．（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·高一海拉尔第一中学校考期末）（多选题）对于函数，若，，则函数在区间内（

）A．一定没有零点 B．可能没有零点C．可能有两个零点 D．