基于初中数学几何要素结构的信息加工策略研究

摘

要：在数学教学中，教师有效区分和界定数学的知识结构和要素，可以有效引领学生在观察、分析与研究的过程中，学会自我反思与客观评价。目前，部分学生由于对课堂知识与实际解题过程结合得不够充分，导致无法解答课本范围外的拓展题目；在解决较难的几何问题时，过于依赖课后答案，无法进行更深层次的理解。基于以上现象，在几何实践教学中，教师需要引导学生提炼数学重要的知识点，变机械被动式学习为主动学习，提高学习的主观能动性，这有利于学生建构系统、完善的知识结构体系。文章重点研究了几何要素加工以及要素结构，探究了几何信息加工的实践策略，以提升初中数学教学的实质效果。关键词：数学结构；几何要素；数学知识体系一、相关概念概述（一）数学结构数学结构也叫关系结构，是当代数学的基本概念，是所有数学对象，如群、线性空间、序集、拓扑空间和流形等，以关系和几何的方式展现出的公理组合。结合初中数学学科的特征，本研究认为“数学结构”包含两层意义：一是指数学的各个知识点具有稳定的特征，各知识点以稳定的组织方式和发展方式结合在一起，形成了一个统一的整体，即数学知识体系；二是指这些知识按照固有、稳定的方式联结在一起，即数学知识的联结形成的初中数学认知结构，这种联结方式具有自我生长的力量。（二）几何要素与信息加工几何要素包括导出要素、公称导出要素、实际（组成）要素、提取组成要素、提取导出要素、拟合组成要素和拟合导出要素等。学生在学习几何的过程中，学习方式逐步由简单到复杂、单一到复合。初中生学习的几何信息及要素结构知识，是在小学基础上的深化和延伸，从几何知识中提取几何要素，进而在几何要素的基础上完成导出。信息加工，即数学学科在发现问题、解决问题的过程中，循环地应用抽象、推理计算等方式进行加工，也就是学生运用信息整合的办法，感知所学的知识，并进一步深化、加工和整合。这个过程涉及了如何筛选、整理信息，以及有选择地对接收到的信息进行编码、内化和组织，并利用对这些信息的反馈做出重要的决定。二、对几何信息进行加工的实践意义初中阶段有许多抽象的知识，需要学生具有想象力、抽象思维、逻辑推理能力和建模思维等，能够在头脑中构建出几何模型来举一反三地解决数学问题。目前，还有很多学生没有完全适应初中的学习节奏和方法，对数学课程的学习，多数学生还停留在“教师教什么、课本上说什么，自己就学什么”这样的固定模式上。因此在解决许多几何问题时，学生无法对题目内容进行信息加工；在做一些几何定理推导或解决较难的几何综合题时，学生过度依赖教材或参考答案中的辅助线提示，很难对抽象性、逻辑性的几何知识有更深层次的认识和理解。不仅是学生，还有部分教师受传统应试教育的影响，课堂教学仍以题海战术为主，导致很多学生缺乏信息加工能力的同时思维固化愈加严重。因此在几何实践教学中，教师引导学生提炼数学中重要的知识点，基于几何要素结构进行信息加工，使学生由浅层理解转向深入把握十分必要。三、基于初中数学几何要素结构的信息加工策略（一）创建结构化教学模式，培养几何建模与想象能力以几何知识体系为例，最基本的几何问题都是要从点出发，从点到线再到面，构成几何图形。首先点的知识，要求学生掌握点与点的距离、点到直线的距离以及两点之间线段最短这三个概念；其次是学生需要掌握点与角、点与线之间的关系，即点处于不同线上时，点所在线的线段，与角形成的角度也各不相同，由此类推，研究点与角、线与角、角与角之间的位置关系。在该部分教学中，教师可以采用结构化的教学方式。在教学中，教师要加强对知识结构的整体把握，引导学生在头脑中建立结构化的数学知识体系；要善于从教材中挖掘深层内涵，追溯概念和定义的提出以及定理的发现过程，以拓宽学生的思维，引导学生在深入探索某领域时，摸索出行之有效的解题思路，从而不断地进行数学思维的自我培养。这种结构化的教学要求，符合几何信息加工的教学方式。加上教师通过大单元整合教学内容，能够使学生对知识体系有一个整体的把握和认识，并帮助学生從多角度、多层次分析问题，这不仅培养了学生的数学素养，还培养了学生宏观层面的思维能力。知识内容的整合、结构化，不仅能够防止教学内容单一、避免知识的断层，还能实现高效的课堂教学、更好地引领初中数学教学，使学生达到以简驭繁、触类旁通的高阶学习状态。在教学中，教师可以先引导学生查看目录里的每一章节，让学生从整体上对知识框架有一个的初步印象。具体而言，教师可以通过结构关系明显的思维导图来呈现章节中几何图形的要点，以直白、醒目的方式，让学生了解几何知识体系。例如，在讲解“圆”这一章节时，首先教师以结构关系图的方式，呈现初中阶段几何图形的知识框架，这种直观的方式，能够让学生更好地了解圆是曲线型知识模块，在整个图形与几何知识体系中，占有举足轻重的地位，在帮助学生明确了单元目标的同时，使学生理解了数学知识的内在联系，渗透教师结构化的教学理念。其次，教师让学生从整体上把握单元学习目标、了解知识的内在联系，如图1所示。教师根据章节知识搭建好框架后，继续搭建数学知识结构，以学生头脑中已有的知识体系为基础，引导学生实现对数学知识的拓展、深化或整合，形成数学知识结构的叠加。这能够深化学生的认知，促进了学生思维能力的发展。学生在学习中提炼了数学方法，总结与归纳了知识点。因此初中数学的知识结构化教学，并不是教师单纯地系统讲解某一知识内容，而是更加重视学生掌握知识结构，并能灵活运用于实践中。（二）以教材为依托，分层提升几何思维能力无论是哪种教学方法，教师都需要以教材为依托，以课程标准为依据，梳理各要素的结构模型及相关信息，形成适合每个学生的教学形式。教师应熟悉教学内容以及学生的学习能力，根据学生不同的思维能力，综合考量其整体水平，并以教材为基础，在教材内容的基础上进行适当的拓展或降低难度。例如，在班内有一部分学生具有较好的几何思维，他们能比其他学生率先想出构建辅助线，或从复杂图形中分解出基本图形结构等解决问题的方法，这时教师需要观察、了解班级其他无法解题的学生对知识的掌握水平，不能在讲解较复杂几何综合题时，因为部分学生能够回答就一带而过。教师需要知道，教学过程注重的不是教学速度，而是学生能否从教学过程中提升几何信息加工的能力。因此教师需要使用分层教学模式，将教材内的例题与自己所设的例题，按照题型难度划分为基础题、提高题以及拓展题，在课堂教学过程中，按照题目难度有效地引导学生进行思考；带动整体课堂的氛围，使学生在积极的课堂氛围带动下，更积极地思考几何图形。几何信息加工在教学过程中要发挥最大的作用。首先，教师可以进行动手操作实验，为学生展示在实验中的思考过程；然后，根据具体的教学设计，自由变化这些几何图形；最后，根据自由变换出的图形，设计难度不一的问题，让能力水平不同的学生独立思考该类问题的解决方法，再进一步引导学生解决更高难度的题目。几何题目中的几何模型，可以更直观地帮助学生了解点、线、面之间的关系，以及变化形态和运动过程。以图形的变换为例，学生在学习了轴对称和旋转后，教师即可展示例题：“以小组为单位，画出三角形ABC，并以点O为圆心旋转该三角形，可以看到哪些相同的角和线段？”教师从基本图形出发，通过复杂的图形，以及点线面的综合知识，考查学生对几何信息的处理能力。学生以小组的形式展示成果，然后师生进行交流：1.AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′；2.∠BAC=∠B′A′C′，∠ABC=∠A′B′C′。设计意图在于教师通过实验，培养学生的观察能力和分析几何图形中的信息要素能力，使学生具有几何思维。教师在教学中，可以设立相关的学习小组，让学生在小组探讨的学习氛围中，弥补自己在知识学习上的不足，同时能够与其他学生交流自己解决相关问题的思路，达到取长补短的效果。小组学习的方式，要求每一个学生都要参与到教师的教学设计中，只有亲身参与其中，才能够使自身的数学思维、数学素养不断提高。教师还应该采取启发式的教学引导学生，设置问题的难度，应该由浅入深、循序渐进，让学生通过环环相扣的问题，找到可以有效解决相关问题的关键，进而有效地锻炼了学生解决问题的逻辑思维。例题1：Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心、r=2.3cm为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？此时，教师把问题引申到例题2：在平行四边形ABCD中，∠ABC=70°，半径为r的☉O经过点A，B，D，弧线AD所对的圆心角为90°，延长CB至点P，使得PB=AB，试判断直线PA与☉O的位置关系，并说明理由。该题组循序渐进地增加了问题的复杂程度。例题1以教材为主，教师通过给出的条件，让学生思考圆与直线的位置关系，使学生形成了圆与直线位置的概念。这时教师互动的对象，可以选择一些几何思维能力较弱的学生，以提高他们的课堂参与度。第二个例题将条件进行了升级，对此教师可以选择一些几何能力较强的学生进行互动，以提高他们的几何思维能力，同时也要注意引导几何能力较弱的学生。这样的题组，能够让学生从不同的方面融会贯通自己的几何思维、提高处理几何信息的能力。教师利用例题作为铺垫、用思考题拓展学生的思维，在使学生具有了数学探索精神的同时，寻找到了最优的解决办法。（三）控制好课堂知识量，提升课堂效率在单位时间内提高学生的知识量，是提高课堂教学效率的关键。但每个人的记忆容量有限，这需要教师注重对课堂知识量的把控，否则容易导致学生在短时间内接受大量信息，却没有足够的时间消化知识，从而降低了学生学习数学的积极性和课堂效率。几何知识需要的抽象思维能力不是一蹴而就的，因此教师需要解决课堂效率与工作记忆容量之间的矛盾，在课堂上给予学生充分的自我思考的时间，结合学生思维发展的特点，逐步提高学生的几何推理能力。几何要素对初中生而言，较为抽象，但该部分内容又对高中的几何学习具有重