2024河南中考数学专题复习第四章 微专题 遇到中点如何添加辅助线 课件

遇到中点如何添加辅助线微专题一阶

方法训练方法解读情形1当图形中出现两个中点时，考虑构造中位线如图，D，E分别为AB，AC的中点，连接DE.【结论】DE∥BC；DE＝

BC；△ADE∽△ABC.方法一构造中位线(9年3考)情形2当图形中出现中点，考虑过中点作已知边的平行线构造中位线如图，点D为AB的中点，过点D作DE∥BC交AC于点E.【结论】AE＝CE；DE＝

BC；△ADE∽△ABC.例1如图，O为▱ABCD的对角线AC和BD的交点，E为边BC的中点，连接AE交BD于点F，若BD的长为6，则OF的长为________．一题多解法例1题图1例2

如图，在△ABC中，D为AC的中点，过点D作DE⊥AC交AB于点F，交CB的延长线于点E，若F为DE的中点，BF＝3，求AF的长．一题多解法例2题图解法一：解：如图，过点D作DG∥AB交BC于点G，∵点F为DE的中点，∴BF为△EGD的中位线，∴DG＝2BF＝6.∵D为AC的中点，∴DG为△ABC的中位线，∴AB＝2DG＝12，∴AF＝AB－BF＝12－3＝9.G

一题多解法思路点拨：例2解法：如图，过点D作DH∥BC交AB于点H，证明△HDF≌△BEF.解法二：解：如图，过点D作DH∥BC交AB于点H，∵DH∥BC，∴∠HDF＝∠E，∠FHD＝∠EBF.∵F为ED中点，∴EF＝DF，∴△HDF≌△BEF，∴HF＝FB＝3，∴BH＝6.∵D为AC中点，∴H为AB中点，∴AH＝HB＝6，∴AB＝12，∴AF＝AB－BF＝9.例2题图H方法解读情形1遇到直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，连接CD.【结论】CD＝

AB.方法二构造中线方法解读情形2遇等腰三角形底边中点时，考虑作底边上中线，利用“三线合一”解题如图，在等腰△ABC中，点D是底边BC的中点，若连接AD，则AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.例3如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为边AC的中点，E，F分别是AB，BC边上的点，且DE⊥DF，连接EF，若AE＝4，FC＝3，则EF的长为________．例3题图5例4如图，将两个含30°且大小不一样的两个直角三角板(Rt△ABC和Rt△BCD)如图摆放在一起，∠ACB＝∠BDC＝90°，E为AB的中点，连接DE.若AC＝2，则DE的长为________．例4题图例5如图，在△ABC中，D是BC上的点，E，F分别是AC，BD的中点，连接AD，EF，若AD＝AB，AC＝6，则EF的长度为________．例5题图3方法解读①如图，AD是BC边的中线，若延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则△ACD≌△EBD.方法三构造倍长中线②如图，D是BC边的中点，E是AB上一点，连接ED，延长ED至点F，使得DF＝ED，连接CF，则△BDE≌△CDF.注：连接EC，ED实质为△BEC的中线．倍长中线的本质可以理解为平移变换或中心对称．例6如图，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC.一题多解法例6题图解法一：证明：如图，延长AD至点H，使DH＝AD，连接BH，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.又∵∠ADC＝∠BDH，AD＝DH，∴△ADC≌△HDB(SAS)，∴AC＝BH，∠CAD＝∠H.H∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠AFE.∵∠AFE＝∠BFH，∴∠H＝∠BFH，∴BF＝BH，∴BF＝AC.例6题图H解法二：证明：如图，延长FD到点G，使DG＝DF，连接CG，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.在△BDF和△CDG中，

，∴△BDF≌△CDG(SAS)，∴BF＝CG，∠BFD＝∠G.∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA＝∠BFD，∴∠G＝∠CAG，∴AC＝CG，∴BF＝AC.例6题图G二阶

综合训练1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝4，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AD＝

AB，连接DE，DF，则DF的长为________．第1题图2【解析】如图，连接EF，AE.∵E，F分别为BC，AC的中点，∴BE＝EC，AF＝CF，∴EF∥AB，EF＝

AB，∵AD＝

AB，∴AD＝EF，∴四边形ADFE是平行四边形，∴DF＝AE，∵∠BAC＝90°，∴AE＝

BC＝2，∴DF＝AE＝2.第2题图2.如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E是BC边上一点，连接AE，作∠AEF＝∠DAE，交CD于点F，若点F是CD的中点，则EF的长为________．【解析】如图，延长EF，AD交于点G，∵∠AEF＝∠DAE，∴AG＝EG.设DG＝x，则EG＝AG＝6＋x，∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝∠ADC＝90°＝∠GDF，AB＝CD＝6.∵点F是CD的中点，∴CF＝DF＝3，G又∵∠CFE＝∠DFG，∴△CEF≌△DGF，∴CE＝DG＝x，EF＝GF＝

.在Rt△CEF中，根据勾股定理，得CF2＋CE2＝EF2，即32＋x2＝(

)2，解得x＝4或x＝0(舍去)，∴EF＝

＝5.【答案】5第2题图G

解题关键点延长EF，AD交于点G，证得△CEF≌△DGF，再根据勾股定理求解．3.如图，在△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，点D是AB的中点，E是AC边上一点，连接BE交CD于点F，若CE＝7，求CF的长．第3题图解：∵AC＝BC＝13，D是AB的中点，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，AD＝BD＝5.∵CE＝7，∴AE＝AC－CE＝13－7＝6.如图，过点D作DG∥AC交BE于点G，G∵AD＝BD，∴DG是△BAE的中位线，∴DG＝

AE＝3.∵DG∥AC，∴△DGF∽△CEF，∴＝

，即

＝

.在Rt△BDC中，根据勾股定理，得CD＝＝＝12，∴＝

，解得CF＝

.第3题图G【解题思路】∵AC＝BC＝13，D是AB的中点，可得∠ADC＝∠BDC＝90°，AD＝BD＝5，AE＝AC－CE＝6，如解图，过点D作DG∥BE交AC于点G，由中位线定理得AG＝GE＝3，CG＝10，可证得△CEF∽△CGD，得出

，由勾股定理解得CD的长，最后求出CF的长．第3题解图一题多解4.如图，在矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，连接AE，AC，点F是AE的中点，连接DF，若AB＝6，AD＝8，CE＝AC，求DF的长．第4题图解：如图，过点F作FH⊥CD交AB于点G，交CD于点H，∵在矩形ABCD中，BC⊥CD，∴FH∥BC，∵F是AE的中点，∴FG是△ABE的中位线，∴FG＝

BE，AG＝BG.∟GH由FH⊥CD和矩形的性质可得，DH＝CH＝

CD＝

AB＝3，在Rt△ABC中，AB＝