2024河南中考数学专题复习第三章 第五节 反比例函数与几何图形结合 课件

一题串讲重难点1河南9年真题子母题2第五节反比例函数与几何图形结合

课标要求结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式．命题点1反比例函数k的几何意义(9年3考)

考情及趋势分析考情分析年份题号题型分值考查设问涉及到的是k还是k的变形结合知识点202118解答题9(1)待定系数法求反比例函数解析式；(2)求图中阴影部分面积k正方形的性质201818解答题9(1)待定系数法求反比例函数解析式；(2)利用反比例函数k的几何意义结合网格作出矩形k无刻度直尺作图，矩形的性质考情分析年份题号题型分值考查设问涉及到的是k还是k的变形结合知识点20165选择题3已知三角形面积求k的值k三角形的面积公式考情及趋势分析命题点2反比例函数与几何图形结合(2017.20)考情分析年份题号题型分值考查设问图形面积求法结合知识点201720解答题9(1)待定系数法确定反比例函数解析式；(2)三角形面积的取值范围三角形的面积公式二次函数最值考情及趋势分析命题点3反比例函数与尺规作图结合(2022.18)考情分析年份题号题型分值考查设问结合知识点202218解答题9(1)待定系数法求反比例函数解析式；(2)尺规作图作垂直平分线；(3)证明两条线段平行尺规作图(作垂直平分线)，平行线的判定考情及趋势分析命题点4反比例函数与阴影部分面积计算结合(9年2考)考情分析年份题号题型分值考查设问结合知识点202319解答题9(1)求k的值；(2)求扇形半径和圆心角度数；(3)直接写出阴影部分的面积菱形的性质202118解答题9(1)待定系数法求反比例函数解析式；(2)图中阴影部分面积正方形的性质【考情总结】反比例函数在解答题考查的形式每年都不一样，老师应关注并多做新考法类的试题．一题串讲重难点基础知识巩固例1点P为反比例函数y＝

图象上一点．(1)下列图形中所表示的面积为1的是______，面积为2的是______，面积为4的是______；(填序号)①S△OAP②S△PP1A①②⑤③④③S△PP1A④S▱P1APB④S矩形PBOA例1题图比例系数k的几何意义如图，在反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象上任取一点P(a，b)，过这一点分别作x轴，y轴的垂线PM，PN与坐标轴围成的矩形PMON的面积为|ab|＝|k|(2)请你在下列分别再画一个面积为1，2，4的三角形或四边形，要求与(1)中的图形不重复．图①图②图③例1题图(2)作图如解图(答案不唯一)；例1题解图重难考法突破反比例函数与几何图形结合的相关计算(9年6考)例2已知点P为反比例函数y＝

(k≠0)的图象上一点．(1)若点P的坐标为(2，1)，则该反比例函数的解析式为________；(2)如图①，连接OP，以OP为边作等边△POQ，边OQ与x轴重合，若k的值为

，则△POQ的边长为____；例2题图y＝

2(3)如图②，过点P作菱形ABOP，对角线OA恰好经过y轴，若菱形ABOP的面积为8，则k的值为________；(4)如图③，若点D是点P关于坐标原点的对称点，且k的值为6.过点D，P分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接PM，PD.则△PMN的面积为________，△PDM的面积为________．例2题图例2题图③466(5)如图④，若k＝2，点P的横坐标为2，点A(0，2)，连接AP，OP，请用无刻度的直尺和圆规作出∠APO的平分线交y轴于点Q，求证：PQ⊥OA.例2题图④(5)作图如解图①，PQ即为所求；例2题解图①证明：∵k＝2，且点P的横坐标为2，∴反比例函数的解析式为y＝

，P(2，1)，∵O(0，0)，A(0，2)，∴OP＝

＝

，AP＝

＝

，∴OP＝AP，∵PQ平分∠APO，∴PQ⊥OA；(6)如图⑤，在(5)条件下，以点A为圆心，OA为半径画弧交OP于点M，连接AM，求阴影部分面积．例2题图⑤(6)点P的坐标为(2，1)，点O的坐标为(0，0)，易得直线OP的解析式为y＝

x，如图，过点M作MN⊥OA于点N，QN设点M的纵坐标为m，∴点M的坐标为(2m，m)，则MN＝2m，AN＝2－m，由题意得：AM＝2，在Rt△AMN中，(2m)2＋(2－m)2＝22，则m＝0(舍去)或m＝

，∟QN∴MN＝

，

∴S△AMO＝

MN·AO＝

，∵S△APO＝

PQ·AO＝2，∴S△APM＝S△APO－S△AMO＝2－

＝

.∴阴影部分面积为

.例2题图⑤∟

解题有策略反比例函数与几何图形结合(9年6考)考情特点：第(1)问一般是已知图象过定点或三角形面积求k，第(2)问或(3)问解题过程常结合k的几何意义．解题策略：1.对于求反比例函数解析式的问题，可通过将几何图形的面积或线段条件转化为函数图象上的点坐标，再用待定系数法求解；

解题有策略2.涉及与图形面积有关的问题时，注意k的几何意义的运用；3．若题干中已知线段或面积数量关系，通常向坐标轴作垂线，构造全等或相似三角形，利用比例关系，通过表示出函数图象上两个点的坐标求解．求点坐标的方法详见本书

微专题图形与坐标．河南9年真题子母题1命题点反比例函数k的几何意义9年3考1.(2021河南18题9分)如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数y＝

的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B.(1)求反比例函数的解析式；第1题图解：(1)将点A(1，2)代入y＝

，得k＝1×2＝2.∴反比例函数的解析式为y＝

；第1题图(2)求图中阴影部分的面积．(2)设点B的坐标为(t，t)，∵反比例函数y＝

的图象经过点B，∴t＝

，即t2＝2，∴t＝

(负值已舍去)，∴B(，

).则小正方形边长为

，大正方形边长为4，∴S阴影部分＝S大正方形－S小正方形＝42－()2＝16－8＝8.第1题图利用反比例函数计算出点B坐标，再计算出一个象限中阴影部分面积，再利用正方形和反比例函数的对称性可得阴影部分面积．第1题解图一题多解2命题点反比例函数与几何图形结合2021.202.(2021河南20题9分)如图，一次函数y＝－x＋b与反比例函数y＝

(x＞0)的图象交于点A(m，3)和B(3，1)．(1)填空：一次函数的解析式为__________，反比例函数的解析式为________；第2题图【解法提示】将点B(3，1)分别代入y＝－x＋b与y＝(x>0)，解得b＝4，k＝3，则一次函数的解析式为y＝－x＋4，反比例函数的解析式为y＝(x＞0).y＝－x＋4y＝

第2题图(2)点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的取值范围．(2)把点A(m，3)代入y＝

，得3＝

，∴m＝1，∴点A的坐标为(1，3).设点P的坐标为(a，－a＋4)(1≤a≤3)，则S＝

OD·PD＝

a(－a＋4)＝－

(a－2)2＋2，∵－

＜0，∴当a＝2时，S有最大值，此时S＝2；由二次函数的性质得，当a＝1或a＝3时，S有最小值，此时S＝－

(1－2)2＋2＝

，

∴S的取值范围是

≤S≤2.2．1变设问——求两函数交点与原点形成的三角形的面积如图，一次函数y＝－x＋b与反比例函数y＝

(x＞0)的图象交于点A(m，3)和B(3，1)．连接OA，OB，求S△OAB；子题2.1图解：将点B(3，1)分别代入y＝－x＋b与y＝

(x>0)，解得b＝4，k＝3，则一次函数的解析式为y＝－x＋4，反比例函数的解析式为y＝

(x＞0).把点A(m，3)代入y＝

，得3＝

，∴m＝1，∴点A的坐标为(1，3).如图，过点A作AC⊥y轴于点C，

过点B作BD⊥x轴于点D，交CA的延长线于点E，易得四边形OCED为正方形，∴S△OAB＝S正方形OCED－S△ACO－S△OBD－S△ABE，即S△OAB＝3×3－

×1×3－

×3×1－

×2×2＝4；EDC子题2.1图∟∟∟2．2变设问——证明线段相等如图，一次函数y＝－x＋b的图象与反比例函数y＝

(x＞0)的图象交于A(m，3)，B(3，1)两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D.证明：BC＝AD.子题2.2图证明：将点B(3，1)分别代入y＝－x＋b与y＝

(x>0)，解得

b＝4，

k＝3，则一次函数的解析式为y＝－x＋4，反比例函数的解析式为y＝

(x＞0).把点A(m，3)代入y＝

，得3＝

，∴m＝1，子题2.2图∴点A的坐标为(1，3).∵C(0，4)，D(4，0)，∴OC＝OD＝4，∵点A(1，3)，B(3，1)，∴AC＝

＝

，BD＝

＝

，∴AC＝BD，∵BC＝AC＋AB，AD＝BD＋AB，∴BC＝AD.3命题点反比例函数与尺规作图结合2022.183.(2022河南18题9分)如图，反比例函数y＝

(x＞0)的图象经过点A(2，4)和点B，点B在点A的下方，AC平分∠OAB，交x轴于点C．(1)求反比例函数的表达式；第3题图(1)解：∵反比例函数y＝

(x＞0)的图象经过点A(2，4)，∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的表达式为y＝

；(4分)(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线；(要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图)(3)线段OA与(2)中所作的垂直平分线相交于点D，连接CD.求证：CD∥AB.(2)解：如解图，直线m即为所求；(6分)第3题解图(3)证明：如解图，∵AC平分∠OAB，∴∠OAC＝∠BAC.∵AC的垂直平分线交OA于点D，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∴∠DCA＝∠BAC，∴CD∥AB.(9分)第3题图m3．1变设问——证明特殊四边形若(2)中所作的垂直平分线恰好过点B，且交线段OA于点D，连接CD，CB.求证：四边形ABCD为菱形．证明：如解图，记AC的垂直平分线交AC于点E，∵AC的垂直平分线恰好过点B，交OA于点D，子题3.1解图∴AD＝CD，AB＝BC，∠AED＝∠AEB＝90°，∵AC平分∠OAB，∴∠DAE＝∠BAE，m在△ADE和△ABE中，子题3.1解图∴△ADE≌△ABE(ASA)，∴AD＝AB，∴AD＝CD＝AB＝BC，

∴四边形ABCD为菱形．4命题点反比例函数与阴影部分面积计算结合2023.194.(2023河南19题9分)小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数y＝

图象上的点A(，1)和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作

，连接BF.(1