2024河南中考数学专题复习 中心对称与旋转 课件

一题串讲重难点2河南9年真题子母题31考点精讲中心对称与旋转

课标要求1.通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转．探索它的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等；2.了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分；3.探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质；4.认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形．命题点与图形旋转有关的计算(9年13考)

考情及趋势分析考情分析年份题号题型分值图形背景旋转方式结合知识点20229选择题3正六边形＋直角三角形，与平面直角坐标系结合顺时针旋转三角形，每次旋转90°正六边形的性质，含30°直角三角形的性质，旋转规律探索求点坐标202215填空题3等腰直角三角形旋转线段勾股定理20219选择题3平行四边形＋直角三角形，与平面直角坐标系结合顺时针旋转三角形相似，勾股定理202023解答题11正方形逆时针旋转线段等边三角形的判定与性质，相似考情分析年份题号题型分值图形背景旋转方式结合知识点202310选择题3三角形＋正方形，与平面直角坐标系结合顺时针旋转组合图形，每次旋转90°正方形的性质，旋转规律探索求点坐标201922解答题10等腰三角形逆时针旋转线段全等，相似201814填空题3等腰直角三角形绕边的中点逆时针旋转90°勾股定理201822解答题10等腰三角形和直角三角形三角形绕顶点旋转全等，相似，勾股定理201710选择题3扇形扇形逆时针旋转60°等边三角形的判定及性质考情分析年份题号题型分值图形背景旋转方式结合知识点201722解答题10等腰直角三角形三角形绕顶点旋转中位线的性质，全等，点圆最值20168选择题3菱形逆时针旋转，每秒旋转45°菱形的性质，旋转规律探索求点坐标201623解答题3一次、二次函数直角三角形逆时针旋转锐角三角函数201522解答题10直角三角形三角形绕顶点顺时针旋转勾股定理，相似【考情总结】1.2015～2019年每年都会有一道解答题涉及“手拉手模型”；2.除2015，2020，2021年外，其他年份均有两道题考查图形的旋转．考点精讲旋转中心对称定义将一个图形绕一个定点旋转一定角度，得到另一个图形将一个图形绕一定点旋转180°后，得到另一个图形示意图

旋转中心对称示意图要素

旋转中心(点O)对称中心(点O)旋转角度(α)α＝180°旋转方向：逆时针旋转α，顺时针旋转360°－α旋转方向：180°(顺时针、逆时针均可)旋转中心对称示意图

性质

1.旋转前后的图形全等(对应线段相等、对应角相等)即△ABC≌△A′B′C′1.成中心对称的两个图形全等(对应线段相等、对应角相等)即△ABC≌△A′B′C′2.对应点到旋转中心的距离相等即OA＝OA′，OB＝OB′，OC＝OC′2.对称点到对称中心的距离相等即OA＝OA′，OB＝OB′，OC＝OC′旋转中心对称示意图

性质

3.三组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等，且等于旋转角即∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′＝α3.对称点连线与对称中心夹角均为180°即∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′＝180°4.经过旋转得到的两个图形，旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上4.成中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分总结：中心对称是旋转的特殊情况，图形旋转180°就是中心对称一题串讲重难点基础知识巩固例1如图，将线段OA绕点O旋转至OB，则点A的运动轨迹为一段________，连接AB，则△ABO的形状为____________．例1题图圆弧等腰三角形例2如图，将∠AOB绕点O旋转至∠DOE，则图中相等的角有___________________________________．例2题图∠AOB＝∠DOE，∠AOD＝∠BOE例3如图，将∠AOB绕点O旋转至∠DOE，则图中相等的角有_____________________________________．例3题图∠AOB＝∠DOE，∠AOD＝∠BOE例4如图，将∠AOB绕点O旋转180°，得到∠A′OB′，则图中的对顶角有___________________________________.例4题图∠AOB和∠A′OB′，∠A′OB和∠AOB′例5如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转，得到△A′B′C，则B′C＝________，∠A′B′C＝________，∠A′CA＝________．例5题图BC∠B∠B′CB例6如图①，在△ABC中，点D，E分别在BC，BA上，且DE∥AC.如图②，将△EDB绕点B顺时针旋转一定角度后得到△GFB，连接CF，AG，求证：△CFB∽△AGB.例6题图证明：∵DE∥AC，∴△EDB∽△ACB，∴，∴，由旋转的性质得，DB＝FB，EB＝GB，∠ABC＝∠GBF，∴，

∴，∵∠ABC＝∠ABF＋∠CBF，∠GBF＝∠GBA＋∠ABF，∴∠FBC＝∠GBA，∴△CFB∽△AGB.例6题图例7如图，△ACB和△DCE都是等边三角形，将△DCE绕着顶点C旋转，连接AD，BE.求证：△ACD≌△BCE.例7题图证明：∵△ACB和△DCE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACB＝∠ACD＋∠BCD，∠DCE＝∠BCD＋∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE(SAS)．重难考法突破与图形旋转有关的计算(9年13考)例8已知，四边形ABCD是正方形，E为AB边的中点，AB＝2.(1)如图①，将BE绕点B旋转，点E的对应点为M，连接DM，求DM的最小值；例8题图①解：(1)如解图①，由题意得，点E的运动轨迹是以点B为圆心，BE长为半径的圆，连接BD交⊙B于点M′，例8题解图①当点M运动到点M′时，DM取最小值，由旋转的性质得，BE＝BM，∵四边形ABCD为正方形，AB＝2，E为AB边的中点，∴BD＝4，BE＝BM＝

，∵BM′＝BM＝

，∴DM′＝BD－BM′＝4－

，∴DM的最小值为4－

；例8题解图①(2)如图②，点F为边BC的中点，连接EF，将△BEF绕点B逆时针旋转α，连接AE，CF，当C，F，E三点在同一直线上时，求

的值及∠CEA的度数；例8题图②(2)∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝AB，∵BC＝2BF，BA＝2BE，∴BF＝BE，由旋转的性质得∠ABE＝∠CBF，∴△ABE≌△CBF，∴＝1，如解图②，记AB与CE交于点G，∵△ABE≌△CBF，∴∠BCF＝∠BAE，∵∠CGB＝∠AGE，∴∠AEC＝∠CBG＝90°；如解图③，记AE与BC交于点H，例8题解图∵△ABE≌△CBF，∴∠BAE＝∠BCF，∵∠AHB＝∠CHE，∴∠AEC＝∠ABH＝90°.

∴＝1，∠CEA＝90°.

综上所述，

＝1，∠CEA＝90°.

解题关键点需分点F在线段CE上与点F在CE延长线上两种情况讨论．(3)如图③，点F为边BC的中点，连接EF，将△BEF绕点B顺时针旋转α，当点E落在对角线BD上时，求图中阴影部分的面积；例8题图③(3)如解图④，设BD与EF交于点H，由题意得，BE＝

，∠ABD＝45°，BD⊥EF，∴BH＝EH＝1，S阴影＝S扇形EBE′－S△BEH＝

；例8题解图④(4)如图④，点F为边BC的中点，连接EF，将△BEF绕点B逆时针旋转α，连接AE，CF，当点C，E，F三点在同一条直线上时，求AE的长．例8题图④(4)当点E，F，C三点共线时，分两种情况：①当点F在C，E之间时，如解图⑤，连接AC，由(2)可知△ABE≌△CBF，∠AEC＝90°，∴CF＝AE，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝2，∴AC＝

AB＝4，例8题解图⑤∵BC＝2BF，BA＝2BE，∴BF＝BE＝

，∵BF⊥BE，∴EF＝

BF＝2，在Rt△CEA中，AC2＝AE2＋EC2，即16＝AE2＋(AE＋2)2，解得AE＝

－1(负值已舍去)；②当点E在C，F之间时，如解图⑥，连接AC，例8题解图⑥∴CF＝AE，由(2)可知△ABE≌△CBF，∠AEC＝90°，例8题解图⑤∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝2，∴AC＝

AB＝4，∵BC＝2BF，BA＝2BE，∴BF＝BE＝

，∵BF⊥BE，∴EF＝

BF＝2，在Rt△CEA中，AC2＝AE2＋EC2，即16＝(CE＋2)2＋CE2，解得CE＝

－1(负值已舍)，∴AE＝CE＋EF＝

＋1；综上所述，AE的长为

－1或

＋1.例8题解图⑥

解题关键点需分为点F在C，E之间与点E在C，F之间两种情况讨论．

拓展设问例8

(5)在(1)的条件下，当∠ADM＝45°时，求DM的长．(5)∵点E为AB的中点，AB＝2，∴BE＝，∵将BE绕点B旋转，点E的对应点为点M，∴点M在以点B为圆心，BE长为半径的圆上运动，当∠ADM＝45°时，需分两种情况讨论，例8题图①①如解图①，当点M在BD上时，∠ADM＝45°，DM＝BD－BM＝4－，②如解图②，当点M在DB延长线上时，∠ADM＝45°，DM＝BD＋BM＝4＋.例8题解图河南9年真题子母题与图形旋转