2022-2023学年陕西省宝鸡市高新区九年级数学第一学期期末统考试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．下列二次根式能与合并的是（）A． B． C． D．2．反比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过点(2，-4)，若点(4，n)在反比例函数的图象上，则n等于A．﹣8 B．﹣4 C．﹣18 D．﹣3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为（）A．15 B．12 C．13 D．144．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，，DE=6，则BC的长为（）A．8 B．9 C．10 D．125．已知当x＞0时，反比例函数y＝的函数值随自变量的增大而减小，此时关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣1＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根 B．没有实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定6．受益于电子商务发展和法治环境改普等多重因素，“快递业”成为我国经济发展的一匹“黑马”，2018年我国快递业务量为600亿件，预计2020年快递量将达到950亿件，若设快递平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（）A．600（1+x）＝950 B．600（1+2x）＝950C．600（1+x）2＝950 D．950（1﹣x）2＝6007．在四张完全相同的卡片上．分别画有等腰三角形、矩形、菱形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（）A． B． C． D．18．某校九年级共有1、2、3、4四个班，现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，则恰好抽到1班和2班的概率是（）A．18 B．16 C．39．在△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，若△ADE的面积是3，则△ABC的面积是（）A．3 B．6 C．9 D．1210．下列函数中，是反比例函数的是（）A． B． C． D．11．二次函数图象如图，下列结论正确的是（）A． B．若且，则C． D．当时，12．如图，小明在打乒乓球时，为使球恰好能过网（设网高AB＝15cm），且落在对方区域桌子底线C处，已知小明在自己桌子底线上方击球，则他击球点距离桌面的高度DE为（）A．15cm B．20cm C．25cm D．30cm二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB⊥直径CD，垂足为E，∠ACD＝30°，点P为⊙O上一动点，CF⊥AP于点F．①弦AB的长度为_____；②点P在⊙O上运动的过程中，线段OF长度的最小值为_____．14．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_____.15．已知二次函数，与的部分对应值如下表所示：…-101234……61-2-3-2m…下面有四个论断：①抛物线的顶点为；②；③关于的方程的解为；④．其中，正确的有___________________．16．若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为_________．17．如图，、、、是上四个点，连接、，过作交圆周于点，连接，若，则的度数为___________．18．已知是一元二次方程的一个解，则的值是__________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，过点B作直线BF，交AC的延长线于点F．（1）求证：BE＝CE；（2）若AB＝6，求弧DE的长；（3）当∠F的度数是多少时，BF与⊙O相切，证明你的结论．20．（8分）已知抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设，当k为何值时，.②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．21．（8分）如图，在中，，，圆是的外接圆.（1）求圆的半径；（2）若在同一平面内的圆也经过、两点，且，请直接写出圆的半径的长.22．（10分）如图，反比例函数y＝（x＞0）和一次函数y＝mx+n的图象过格点（网格线的交点）B、P．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）观察图象，直接写出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围是：．（3）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；②矩形的面积等于k的值．23．（10分）一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果被分割的两个三角形相似，我们被称为该对角线为相似对角线．（1）如图1，正方形的边长为4，E为的中点，，连结.，求证：为四边形的相似对角线．（2）在四边形中，，，，平分，且是四边形的相似对角线，求的长．（3）如图2，在矩形中，，，点E是线段（不取端点A．B）上的一个动点，点F是射线上的一个动点，若是四边形的相似对角线，求的长．（直接写出答案）24．（10分）如图，直径为AB的⊙O交的两条直角边BC，CD于点E，F，且，连接BF．（1）求证CD为⊙O的切线；（2）当CF=1且∠D=30°时，求⊙O的半径．25．（12分）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，且B点的坐标为(3，0)，经过A点的直线交抛物线于点D(2，3).（1）求抛物线的解析式和直线AD的解析式；（2）过x轴上的点E(a，0)作直线EF∥AD，交抛物线于点F，是否存在实数a，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由.26．如图，转盘A中的4个扇形的面积相等，转盘B中的3个扇形面积相等．小明设计了如下游戏规则：甲、乙两人分别任意转动转盘A、B一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数相乘，如果所得的积是偶数，那么是甲获胜；如果所得的积是奇数，那么是乙获胜．这样的规则公平吗？为什么？

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义解答．【详解】解：的被开方数是3，而=、=2、是最简二次根式，不能再化简，以上三数的被开方数分别是2、2、15，所以它们不是同类二次根式，不能合并，即选项A、B、D都不符合题意，=2的被开方数是3，与是同类二次根式，能合并，即选项C符合题意．故选：C.【点睛】本题考查同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．2、D【解析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4n=1×(-4)，然后解关于n的方程即可．【详解】∵点（1，-4）和点（4，n）在反比例函数y=kx∴4n=1×(-4)，∴n=-1．故选D．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k3、B【分析】作出图形，设内切圆⊙O与△ABC三边的切点分别为D、E、F，连接OE、OF可得四边形OECF是正方形，根据正方形的四条边都相等求出CE、CF，根据切线长定理可得AD=AF，BD=BE，从而得到AF+BE=AB，再根据三角形的周长的定义解答即可．【详解】解：如图，设内切圆⊙O与△ABC三边的切点分别为D、E、F，连接OE、OF，∵∠C=90°，∴四边形OECF是正方形，∴CE=CF=1，由切线长定理得，AD=AF，BD=BE，∴AF+BE=AD+BD=AB=5，∴三角形的周长=5+5+1+1=1．故选:B【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，作辅助线构造出正方形是解题的关键，难点在于将三角形的三边分成若干条小的线段，作出图形更形象直观．4、C【解析】根据相似三角形的性质可得，再根据，DE=6，即可得出，进而得到BC长．【详解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，又∵，DE=6，∴，∴BC=10，故选：C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．5、C【分析】由反比例函数的增减性得到k＞0，表示出方程根的判别式，判断根的判别式的正负即可得到方程解的情况．【详解】∵反比例函数y，当x＞0时，y随x的增大而减小，∴k＞0，∴方程中，△＝=8k+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选C．【点睛】本题考查了根的判别式，以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．6、C【分析】设快递量平均每年增长率为，根据我国2018年及2020年的快递业务量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【详解】设快递量平均每年增长率为x，依题意，得：600(1+x)2=1．故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7、C【分析】在等腰三角形、矩形、菱形、圆中是中心对称图形的有矩形、菱形、圆，直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】∵等腰三角形、矩形、菱形、圆中是中心对称图形的有矩形、菱形、圆，∴现从中随机抽取一张，卡片上画的图形恰好是中心对称图形的概率是：．故选：C．【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．也考查了中心对称图形的定义．8、B【解析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好抽到1班和2班的结果数，然后根据概率公式求解．解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到1班和2班的结果数为2，所以恰好抽到1班和2班的概率=212故选B．9、D【分析】根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．【详解】解：∵D是AB中点，E是AC中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴S△ABC＝4S△ADE＝12，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的面积问题，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．10、C【解析】反比例函数的形式有：①（k≠0）；②y=kx﹣1（k≠0）两种形式，据此解答即可．【详解】A．它是正比例函数；故本选项错误；B．不是反比例函数；故本选项错误；C．符合反比例函数的定义；故本选项正确；D．它是正比例函数；故本选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y=kx﹣1（k≠0）的形式．11、D【分析】根据二次函数的图象得到相关信息并依次判断即可得到答案.【详解】由图象知：a<0，b>0，c>0，，∴abc<0，故A选项错误；若且，∴对称轴为，故B选项错误；∵二次函数的图象的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点的横坐标小于3，∴与x轴的另一个交点的横坐标大于-1，当x=-1时，得出y=a-b+c<0，故C选项错误；∵二次函数的图象的对称轴为直线x=1，开口向下，∴函数的最大值为y=a+b+c，∴，∴，故D选项正确，故选：D.【点睛】此题考查二次函数的图象，根据函数图象得到对应系数的符号，并判断代数式的符号，正确理解二次函数图象与系数的关系是解题的关键.12、D【分析】证明△CAB∽△CDE，然后利用相似比得到DE的长．【详解】∵AB∥DE，∴△CAB∽△CDE，∴，而BC=BE，∴DE=2AB=2×15=30(cm)．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．二、填空题（每题4分，共24分）13、2．-1【分析】①在Rt△AOE中，解直角三角形求出AE即可解决问题．②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，求出OH，FH，根据OF≥FH-OH，即，由此即可解决问题．【详解】解：①如图，连接OA．∵OA＝OC＝2，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝60°，∴AE＝OA•sin60°＝，∵OE⊥AB，∴AE＝EB＝，∴AB＝2AE＝2，故答案为2．②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，∵OA＝OC，AH＝HC，∴OH⊥AC，∴∠AHO＝90°，∵∠COH＝30°，∴OH＝OC＝1，HC＝，AC＝2，∵CF⊥AP，∴∠AFC＝90°，∴HF＝AC＝，∴OF≥FH﹣OH，即OF≤﹣1，∴OF的最小值为﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查轨迹，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．14、【分析】根据根与系数的关系可得要使有两个不相等的实数根，则必须，进而可以计算出k的取值范围.【详解】解：根据根与系数的关系可得要使有两个不相等的实数根，则.故答案为.【点睛】本题主要考查二元一次方程的根与系数的关系，根据方程根的个数，列不等式求解.15、①③．【解析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可.【详解】由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值可知：该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-3）；与x轴有两个交点，一个在0与1之间，另一个在3与4之间；当y=-2时，x=1或x=3；由抛物线的对称性可知，m=1；①抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（2，-3），结论正确；②b2﹣4ac＝0，结论错误，应该是b2﹣4ac>0；③关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2的解为x1＝1，x2＝3，结论正确；④m＝﹣3，结论错误，其中，正确的有.①③故答案为：①③【点睛】本题考查了二次函数的图像，结合图表信息是解题的关键.16、3：1【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比即可得出答案．【详解】∵两个相似三角形的面积比是9：21∴两个相似三角形的相似比是3：1∴对应边上的中线的比为3：1故答案为：3：1．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．17、【分析】由，利用圆的内接四边形求进而求解，利用垂径定理与等腰三角形的三线合一可得答案．【详解】解：四边形是的内接四边形，故答案为：【点睛】本题考查的是垂径定理，同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，圆的内接四边形的性质，等腰三角形的三线合一，掌握以上知识是解题的关键．18、4【分析】把x=-2代入x2+mx+4=0可得关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值.【详解】∵是一元二次方程的一个解，∴4-2m+4=0，解得：m=4，故答案为：4【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．三、解答题（共78分）19、（1）证明见解析；（2）弧DE的长为π；（3）当∠F的度数是36°时，BF与⊙O相切．理由见解析.【解析】(1)连接AE，求出AE⊥BC，根据等腰三角形性质求出即可；(2)根据圆周角定理求出∠DOE的度数，再根据弧长公式进行计算即可；(3)当∠F的度数是36°时，可以得到∠ABF=90°，由此即可得BF与⊙O相切.【详解】(1)连接AE，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE；(2)∵AB=AC，AE⊥BC，∴AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAC=×54°=27°，∴∠DOE=2∠CAE=2×27°=54°，∴弧DE的长=；(3)当∠F的度数是36°时，BF与⊙O相切，理由如下：∵∠BAC=54°，∴当∠F=36°时，∠ABF=90°，∴AB⊥BF，∴BF为⊙O的切线．【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定、弧长公式等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.20、（1），D的坐标为；（2）①；②以A，F，O为顶点的三角形与相似，F点的坐标为或．【分析】(1)将A、B两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点；(2)①由A、C、D三点的坐标求出，，，可得为直角三角形，若，则点F为AD的中点，可求出k的值；②由条件可判断，则，若以A，F，O为顶点的三角形与相似，可分两种情况考虑：当或时，可分别求出点F的坐标．【详解】(1)抛物线过点，，，解得：，抛物线解析式为；，顶点D的坐标为；(2)①在中，，，，，，，，，，为直角三角形，且，，F为AD的中点，，；②在中，，在中，，，，，，若以A，F，O为顶点的三角形与相似，则可分两种情况考虑：当时，，，设直线BC的解析式为，，解得：，直线BC的解析式为，直线OF的解析式为，设直线AD的解析式为，，解得：，直线AD的解析式为，，解得：，．当时，，，，直线OF的解析式为，，解得：，，综合以上可得F点的坐标为或．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．21、（1）；（2）或【分析】（1）过点作，垂足为，连接，根据垂直平分线的性质可得在上，根据垂径定理即可求出BD，再根据勾股定理即可求出AD，设，根据勾股定理列出方程即可求出半径；（2）根据垂直平分线的判定可得点P在BC的中垂线上，即点P在直线AD上，然后根据点A和点P的相对位置分类讨论，然后根据勾股定理分别求出半径即可．【详解】（1）过点作，垂足为，连接∵，∴垂直平分∵∴点在的垂直平分线上，即在上．∵∴∵在中，，∴设，则∵在中，，∴，即解得，即圆的半径为．（2）∵圆也经过、两点，∴PA=PB∴点P在BC的中垂线上，即点P在直线AD上①当点P在A下方时，此时AP=2，如下图所示，连接PB∴PD=AD－AP=4根据勾股定理PB=；②当点P在A上方时，此时AP=2，如下图所示，连接PB∴PD=AD+AP=8根据勾股定理PB=．综上所述：圆的半径的长为或．【点睛】此题考查的是垂直平分线的判定及性质、勾股定理和垂径定理，掌握垂直平分线的判定及性质、勾股定理和垂径定理的结合、数形结合的数学思想和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．22、（1）y＝，y＝﹣+3；（2）2＜x＜1；（3）见解析【分析】（1）利用待定系数法即可求出反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象即可求得；（3）根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可．【详解】（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过格点P（2，2），∴k＝2×2＝1，∴反比例函数的解析式为y＝，∵一次函数y＝mx+n的图象过格点P（2，2），B（1，1），∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝﹣+3；（2）一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围是2＜x＜1，故答案为2＜x＜1．（3）如图所示：矩形OAPE、矩形ODFP即为所求作的图形．【点睛】此题是一道综合题，考查待定系数法求函数解析式、矩形的性质，（3）中画矩形时把握矩形特点即可正确解答.23、（1）见解析（2）或；（1）或或1【分析】（1）根据已知中相似对角线的定义，只要证明△AEF∽△ECF即可；

（2）AC是四边形ABCD的相似对角线，分两种情形：△ACB△ACD或△ACB△ADC，分别求解即可；

（1）分三种情况①当△AEF和△CEF关于EF对称时，EF是四边形AECF的相似对角线．②取AD中点F，连接CF，将△CFD沿CF翻折得到△CFD′，延长CD′交AB于E，则可得出EF是四边形AECF的相似对角线．③取AB的中点E，连接CE，作EF⊥AD于F，延长CB交FE的延长线于M，则可证出EF是四边形AECF的相似对角线．此时BE=1；【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD=4，

∵E为的中点，，∴AE=DE=2，∵∠A=∠D=90°，

∴△AEF∽△DCE，

∴∠AEF=∠DCE，∵∠DCE+∠CED=90°，

∴∠AEF+∠CED=90°，

∴∠FEC=∠A=90°，∴△AEF∽△ECF，

∴EF为四边形AECF的相似对角线．（2）∵平分，∴∠BAC=∠DAC=60°∵AC是四边形ABCD的相似对角线，

∴△ACB△ACD或△ACB△ADC

①如图2，当△ACB△ACD时，此时，△ACB≌△ACD∴AB=AD=1，BC=CD，

∴AC垂直平分DB，

在Rt△AOB中，∵AB=1，∠ABO=10°，②当△ACB△ADC时，如图1∴∠ABC=∠ACD∴AC2=AB•AD，

∵,∴6=1AD，

∴AD=2，

过点D作DHAB于H在Rt△ADH中，∵∠HAD=60°，AD=2，在Rt△BDH中，综上所述，的长为：或（1）①如图4，当△AEF和△CEF关于EF对称时，EF是四边形AECF的相似对角线，

设AE=EC=x，

在Rt△BCE中，∵EC2=BE2+BC2，

∴x2=（6-x）2+42，

解得x=，

∴BE=AB-AE=6-=．

②如图5中，如图取AD中点F，连接CF，将△CFD沿CF翻折得到△CFD′，延长CD′交AB于E，则EF是四边形AECF的相似对角线．

∵△AEF∽△DFC，∴③如图6，取AB的中点E，连接CE，作EF⊥AD于F，延长CB交FE的延长线于M，则EF是四边形AECF的相似对角线．则BE=1．

综上所述，满足条件的BE的值为或或1．【点睛】本题主要考查了相似形的综合题、相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．24、（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）连接OF，只要证明OF∥BC，即可推出OF⊥CD，由此即可解决问题；（2）连接AF，利用∠D=30°，求出∠CBF=∠DBF=30°，得出BF=2，在利用勾股定理得出AB的长度，从而求出⊙O的半径．【详解】(1)连接OF，∵，∴∠CBF=∠FBA，∵OF=OB，∴∠FBO=∠OFB，∵点A、O、B三点共线,∴∠CBF=∠OFB，∴BC∥OF，∴∠OFC+∠C=180°，∵∠C=90°，∴∠OFC=90°，即OF⊥DC，∴CD为⊙O的切线；(2)连接AF，∵AB为直径，∴∠AFB=90°，∵∠D=30°，∴∠