高考数学微专题集专题11：隐零点设而不求(原卷版+解析)

专题11：隐零点设而不求专题11：隐零点设而不求专题阐述：隐零点是用导数判断函数单调性和求最值常规方法的补充，而求最值和判断单调性是所有导数大题共有的解题基础，因此这部分内容是导数的基本功，如果尝试在导数压轴大题上争取更高的分数，则隐零点问题必须熟练掌握.[规律方法]隐零点问题的出题特征较为明显，在参数范围的题目中所求的参数经常为整数，因为利用此类方法求出的最值通常是一个范围，当然也不排除有些题目设计较为巧妙，在求最值时的未知零点可以约分成一个具体的数字.例题1．设函数．（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若，k为整数，且当时，，求k的最大值．【解析】（Ⅰ），，，，，函数的图象在点处的切线方程为．（Ⅱ），．若，则恒成立，所以，在区间上单调递增．若，则当时，，当时，，所以，在区间上单调递减，在上单调递增．（Ⅲ）由于，所以，．故当时，．①令，则．函数在上单调递增，而，．所以在上存在唯一的零点，故在上存在唯一的零点．设此零点为，则．当时，；当时，；所以在上的最小值为．由，可得，所以．由于①式等价于，故整数k的最大值为2．2．已知函数．（1）设是的极值点，求m并讨论的单调性；（2）当为奇函数时，证明：恒成立．【解析】（1）∵，是的极值点，∴，解得．∴函数，其定义域为．∵，设，则，∴在上为增函数，又∵，∴当时，，即；当时，，．∴在上为减函数；在上为增函数．（2）证明：，∵为奇函数，∴，即，解得，∴，则在上单调递增，∵，，∴在存在唯一实数根，且，当时，，时，，当时，函数取得最小值，∵，即，∴，∴．3．已知函数，其中．（Ⅰ）设是的导函数，讨论的单调性；（Ⅱ）证明：存在，使得在区间内恒成立，且在区间内有唯一解．【解析】（Ⅰ）由已知，函数的定义域为，，∴．当时，在，上单调递增，在区间上单调递减；当时，在上单调递增．（Ⅱ）由，解得，令，则，．故存在，使得．令，，由知，函数在上单调递增．∴．即，当时，有，．由（Ⅰ）知，在上单调递增，故当时，，从而；当时，，从而．∴当时，．综上所述，存在，使得在区间内恒成立，且在区间内有唯一解．【针对训练】1．已知函数f(x)=-ln(x+m).(1)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；（2）当m≤2时，证明f(x)>0.2．已知函数在上有两个极值点，，且．(1)求实数a的取值范围；(2)证明：当时，．3．已知，函数，是的导函数．(1)当时，求证：存在唯一的，使得；(2)若存在实数a，b，使得恒成立，求的最小值．专题11：隐零点设而不求专题11：隐零点设而不求专题阐述：隐零点是用导数判断函数单调性和求最值常规方法的补充，而求最值和判断单调性是所有导数大题共有的解题基础，因此这部分内容是导数的基本功，如果尝试在导数压轴大题上争取更高的分数，则隐零点问题必须熟练掌握.[规律方法]隐零点问题的出题特征较为明显，在参数范围的题目中所求的参数经常为整数，因为利用此类方法求出的最值通常是一个范围，当然也不排除有些题目设计较为巧妙，在求最值时的未知零点可以约分成一个具体的数字.例题1．设函数．（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若，k为整数，且当时，，求k的最大值．【解析】（Ⅰ），，，，，函数的图象在点处的切线方程为．（Ⅱ），．若，则恒成立，所以，在区间上单调递增．若，则当时，，当时，，所以，在区间上单调递减，在上单调递增．（Ⅲ）由于，所以，．故当时，．①令，则．函数在上单调递增，而，．所以在上存在唯一的零点，故在上存在唯一的零点．设此零点为，则．当时，；当时，；所以在上的最小值为．由，可得，所以．由于①式等价于，故整数k的最大值为2．2．已知函数．（1）设是的极值点，求m并讨论的单调性；（2）当为奇函数时，证明：恒成立．【解析】（1）∵，是的极值点，∴，解得．∴函数，其定义域为．∵，设，则，∴在上为增函数，又∵，∴当时，，即；当时，，．∴在上为减函数；在上为增函数．（2）证明：，∵为奇函数，∴，即，解得，∴，则在上单调递增，∵，，∴在存在唯一实数根，且，当时，，时，，当时，函数取得最小值，∵，即，∴，∴．3．已知函数，其中．（Ⅰ）设是的导函数，讨论的单调性；（Ⅱ）证明：存在，使得在区间内恒成立，且在区间内有唯一解．【解析】（Ⅰ）由已知，函数的定义域为，，∴．当时，在，上单调递增，在区间上单调递减；当时，在上单调递增．（Ⅱ）由，解得，令，则，．故存在，使得．令，，由知，函数在上单调递增．∴．即，当时，有，．由（Ⅰ）知，在上单调递增，故当时，，从而；当时，，从而．∴当时，．综上所述，存在，使得在区间内恒成立，且在区间内有唯一解．【针对训练】1．已知函数f(x)=-ln(x+m).(1)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；（2）当m≤2时，证明f(x)>0.2．已知函数在上有两个极值点，，且．(1)求实数a的取值范围；(2)证明：当时，．3．已知，函数，是的导函数．(1)当时，求证：存在唯一的，使得；(2)若存在实数a，b，使得恒成立，求的最小值．参考答案：1．(1)在上是减函数；在上是增函数（2）见解析【详解】(1)．由x=0是f(x)的极值点得f'(0)=0，所以m=1．于是f(x)=ex－ln(x+1)，定义域为(－1，+∞)，．函数在(－1，+∞)上单调递增，且f'(0)=0，因此当x∈(－1，0)时，f'(x)<0;当x∈(0，+∞)时，f'(x)>0．所以f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增．(2)当m≤2，x∈(－m，+∞)时，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需证明当m=2时，f(x)>0．当m=2时，函数在(－2，+∞)上单调递增．又f'(－1)<0，f'(0)>0，故f'(x)=0在(－2，+∞)上有唯一实根，且．当时，f'(x)<0;当时，f'(x)>0，从而当时，f(x)取得最小值．由f'(x0)=0得=，，故．综上，当m≤2时，f(x)>0．2．(1)(2)证明见解析分析：（1）根据题意得方程在上有两不等实根，进而结合二次函数零点分布求解即可；（2）根据题意得，进而得，再构造函数，研究单调性得在单调递增，进而.(1)解：∵，∴，∵函数在上有两个极值点，且∴由题意知方程在上有两不等实根，设，其图像的对称轴为直线，故有，解得所以，实数a的取值范围是.(2)证明：由题意知是方程的较大的根，故，由于，∴，∴．设，，，∴在单调递增，∴，即成立．∴不等式成立,证毕.3．(1)证明见解析(2)分析：（1）求出，即可得到的单调性，再根据零点存在性定理判断即可；（2）分、和三种情况讨论，当时，由（1）可得的最小值为，则，从而得到，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出的最小值，即可得解；(1)证明：∵，，当时，，∴函数在上的单调递增，又，，∴存在