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文档简介
5.4正、余弦定理(精练)(提升版)题组一题组一判断三角形额形状1.(2022·四川省峨眉第二中学校)在中,已知,且,则的形状为(
)A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形2.(2022·全国·高三专题练习)在中,角,,所对的边分别为,,,若,则的形状是(
)A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形3.(2022·全国·高三专题练习)在中,已知,则的形状一定是(
)A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰或直角三角形4.(2022·西藏·拉萨中学高三阶段练习(理))在中,,,,则为(
)A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形C.等边三角形 D.等腰三角形5.(2022·全国·高三专题练习)(多选)已知的三个内角,,所对的边分别为,,,则下列条件能推导出一定是锐角三角形的是(
)A. B.C. D.6.(2022·浙江·高三专题练习)已知内角,,所对的边分别为,,,面积为.若,,则的形状是(
)A.等腰三角形 B.直角三角形C.正三角形 D.等腰直角三角形7.(2022·湖南·长沙一中)(多选)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,以下说法中正确的是(
)A.若,则B.若,则为钝角三角形C.若,则符合条件的三角形不存在D.若,则一定是等腰三角形题组二题组二最值问题1.(2021·安徽)已知四边形ABCD是圆内接四边形,,则ABCD的周长取最大值时,四边形ABCD的面积为(
)A. B. C. D.2.(2021·全国·高三专题练习(文))在中,角,,的对边分别是,,,且,,成等差数列,,则的取值范围是(
)A. B. C. D.【3.(2022·陕西·武功县普集高级中学)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,的面积为2,则当取得最小值时(
)A. B. C. D.204.(2022·全国·高三专题练习)在锐角中,为最大角,且,则实数的最小值是(
)A. B.2 C.3 D.5.(2022·全国·高三专题练习)在中,是边上一点,且,,若是的中点,则______;若,则的面积的最大值为_________.6(2022·山东)如图,设的内角、、的对边分别为、、,,且.若点是外一点,,,则当______时,四边形的面积的最大值为____________7.(2021·上海市进才中学)在锐角中,,则的取值范围为________.8.(2022·河南)如图所示,在平面四边形中,已知,则的最大值为_______.9.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(1)求角A;(2)若△ABC是锐角三角形,且c=4,求b的取值范围.10.(2022·宁夏石嘴山·一模(理))在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,D为的中点,若.(1)求;(2)若,求的最小值.题组三题组三三角形解的个数1.(2022·全国·高三专题练习)(多选)下列在解三角形的过程中,只能有1个解的是(
)A.,, B.,,C.,, D.,,2.(2022·全国·高三专题练习)(多选)中,角A,B,C所对的三边分别是a,b,c,以下条件中,使得无解的是(
)A.;B.;C.D.,3.(2022·全国·高三专题练习)已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,,则满足条件的(
)A.无解 B.有一个解C.有两个解 D.不能确定4.(2022·全国·高三专题练习)在中,,,若角有唯一解,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.5.(2022·全国·高三专题练习)在中,已知:,,,如果解该三角形有两解,则(
)A. B. C. D.6.(2022·全国·高三专题练习)在中,角所对的边分别为,下列条件使得无法唯一确定的是(
)A. B.C. D.7.(2022·河南·许昌高中高三开学考试)在三角形ABC中(A点在BC上方),若,,BC边上的高为h,三角形ABC的解的个数为n,则以下错误的是(
)A.当时, B.当时,C.当时, D.当时,8.(2022·云南师大附中高三阶段练习(文))的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,若有两解,写出a的一个可能的值为__________.题组四题组四几何中的正余弦定理1.(2022·湖南株洲·一模)如图,在四边形中,,且,.(1)求的长;(2)若,求的面积.从①,②,这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.2.(2022·山西)在中,,分别在线段上,且,.()(1)若,求证:;(2)设,且,求的最大值.3.(2022·全国·高三专题练习)如图,在梯形中,,,,.(1)若,求梯形的面积;(2)若,求.4.(2022·云南)如图,△ABC中,点D在AB上且满足:,.在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在题设中,求△ABC的面积(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)5.(2022·山东聊城·一模)如图,在四边形中,.(1)求;(2)若,求四边形的面积.6.(2022·全国·高三专题练习)如图,四边形ABCD中,,,.(1)求的值;(2)若,,求CD的长.7.(2022·全国·模拟预测)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(1)求B;(2)如图,若D为外一点,且,,,,求AC.8.(2022·江苏常州·高三期末)已知在四边形中,,,,且,.(1)求;(2)求.9.(2022·全国·高三专题练习)已知中,内角、、的对边分别为、、,为的角平分线.(1)求证:;(2)若且,求的大小.10.(2022·甘肃酒泉·高三期中)在四边形中,∥,.(1)若,求;(2)若,求.题组五题组五正余弦定理与平面向量的综合运用1.(2022·全国·高三专题练习)四边形为梯形,且,,,点是四边形内及其边界上的点.若,则点的轨迹的长度是(
)A. B. C. D.2.(2022·全国·高三专题练习)(多选)如图,已知点G为的重心,点D,E分别为AB,AC上的点,且D,G,E三点共线,,,,,记,,四边形BDEC的面积分别为,,,则()A. B. C. D.3.(2022·全国·高三专题练习)(多选)已知点G是三角形的重心,以下结论正确的是(
)A.B.若,则三角形是等腰三角形C.三角形的面积等于,则D.若,则4.(2022·全国·高三专题练习)(多选)在中,,,其中,均为边上的点,分别满足:,,则下列说法正确的是(
)A.为定值3B.面积的最大值为C.的取值范围是D.若为中点,则不可能等于5.(2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习)在中,若,,则面积的最大值为___________.6.(2022·河南·高三阶段练习(文))已知是的内接正三角形,D是劣弧的中点,动点E,F同时从点A出发以相同的速度分别在AB,AC边上运动到B,C.若的半径为,则的最大值与最小值之和等于______.7.(2022·全国·高三专题练习)如图,平面四边形中,,对角线相交于.(1)设,且,(ⅰ)用向量表示向量;(ⅱ)若,记,求的解析式.(2)在(ⅱ)的条件下,记△,△的面积分别为,,求的取值范围.8.(2022·全国·高三专题练习)三角形ABC中,,点E是边BC上的动点,当E为BC中点时,(1)求和;(2)是延长线上的点,,当在上运动时,求的最大值.题组六题组六正余弦定理与其他知识综合运用1.(2022·贵州·模拟预测(理))已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上一点,且,,则椭圆C的离心率为(
)A. B. C. D.2.(2022·陕西陕西·二模)在中,三边长组成公差为1的等差数列,最大角的正弦值为,则这个三角形的外接圆的直径为___________.3.(2021·全国·高三专题练习)设是椭圆的两个焦点,为椭圆上任意一点,当
取最大值时的余弦值为.则(Ⅰ)椭圆的离心率为___;(Ⅱ)若椭圆上存在一点,使(为坐标原点),且,则的值为____.4.(2022·云南·昆明一中高三阶段练习(理))已知双曲线的左、右焦点分别为,过点的直线与双曲线的左右支分别交于A,B两点,,向量与向量的夹角为,则双曲线的离心率为___________.5.(2022·甘肃武威)《后汉书·张衡传》:“阳嘉元年,复造候风地动仪.以精铜铸成,员径八尺,合盖隆起,形似酒尊,饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱,傍行八道,施关发机.外有八龙,首衔铜丸,下有蟾蜍,张口承之.其牙机巧制,皆隐在尊中,覆盖周密无际.如有地动,尊则振龙,机发吐丸,而蟾蜍衔之.振声激扬,伺者因此觉知.虽一龙发机,而七首不动,寻其方面,乃知震之所在.验之以事,合契若神.”如图,为张衡地动仪的结构图,现要在相距200km的A,B两地各放置一个地动仪,B在A的东偏北60°方向,若A地动仪正东方向的铜丸落下,B地东南方向的铜丸落下,则地震的位置在A地正东________________km.6.(2022·重庆一中高三阶段练习)函数,点S是f(x)图像上的一个最高点,点M,N是f(x)图像上的两个对称中心,且三角形SMN面积的最小值为.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)函数,三角形ABC的三边a,b,c满足,求g(A)的取值范围.7.(2022·上海·高三专题练习)如图某公园有一块直角三角形的空地,其中,,长千米,现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区,其中、、分别在、、上.设.(1)若,求的边长;(2)当多大时,的边长最小?并求出最小值.8.(2022·福建·三模)的内角,,所对的边分别为,,.(1)求的大小;(2)为内一点,的延长线交于点,________,求的面积.请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上,使存在,并解决问题.①为的外心,;②为的垂心,;③为的内心,.5.4正、余弦定理(精练)(提升版)题组一题组一判断三角形额形状1.(2022·四川省峨眉第二中学校)在中,已知,且,则的形状为(
)A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】B【解析】由题意,,则,又,则,由可得,即,所以,由,知,综上可知即的形状是等边三角形.故选:B2.(2022·全国·高三专题练习)在中,角,,所对的边分别为,,,若,则的形状是(
)A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形【答案】A【解析】因为,由正弦定理可得:,整理可得:,即,所以或者,所以或,而当时则,所以三角形为直角三角形,所以,则中,这时,分母为0无意义所以,选:A.3.(2022·全国·高三专题练习)在中,已知,则的形状一定是(
)A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰或直角三角形【答案】B【解析】由正弦定理得,整理得:即,又因为,所以,所以,移项得:,所以三角形一定为直角三角形.故选:B4.(2022·西藏·拉萨中学高三阶段练习(理))在中,,,,则为(
)A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形C.等边三角形 D.等腰三角形【答案】B【解析】由正弦定理得,即,解得,又,故或,当时,,为直角三角形;当时,,为等腰三角形.故选:B.5.(2022·全国·高三专题练习)(多选)已知的三个内角,,所对的边分别为,,,则下列条件能推导出一定是锐角三角形的是(
)A. B.C. D.【答案】BD【解析】对于,若,由余弦定理可知,即角为锐角,不能推出其他角均为锐角,故错误;对于,因为,可得,可得,设,,,,可得为最大边,为三角形最大角,根据余弦定理得,可得为锐角,可得一定是锐角三角形,故正确;对于,因为,可得,整理可得,由正弦定理可得,可得为直角,故错误;对于,因为由于,整理得,故,由于,故,故,,均为锐角,为锐角三角形,故正确.故选:BD.6.(2022·浙江·高三专题练习)已知内角,,所对的边分别为,,,面积为.若,,则的形状是(
)A.等腰三角形 B.直角三角形C.正三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】因为,所以,即,由正弦定理可得:,因为,所以,因为,所以,所以,可得,所以,解得,因为,所以,即,所以,可得,所以,所以的形状是正三角形,故选:C.7.(2022·湖南·长沙一中)(多选)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,以下说法中正确的是(
)A.若,则B.若,则为钝角三角形C.若,则符合条件的三角形不存在D.若,则一定是等腰三角形【答案】AC【解析】若,则,所以由正弦定理可得,故A正确;若,,,则,即,所以角为锐角,即为锐角三角形,故B错误;若,,,根据正弦定理可得所以符合条件的三角形不存在,即C正确;若,则,即,因为,所以或,即或,所以为等腰或直角三角形,故D错误.故选:AC题组二题组二最值问题1.(2021·安徽)已知四边形ABCD是圆内接四边形,,则ABCD的周长取最大值时,四边形ABCD的面积为(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】△ABD中,因AB2+BD2=25=AD2,则,,而四边形ABCD是圆内接四边形,如图:则,,,在中,由余弦定理得,,即,当且仅当时取“=”,而,所以时,四边形ABCD的周长取最大值,四边形ABCD的面积.故选:A2.(2021·全国·高三专题练习(文))在中,角,,的对边分别是,,,且,,成等差数列,,则的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】在中,由,,成等差,可得,由,得,.由余弦定理,可得,又,当且仅当时等号成立,即,即,解得所以的取值范围是.故选:A3.(2022·陕西·武功县普集高级中学)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,的面积为2,则当取得最小值时(
)A. B. C. D.20【答案】C【解析】,,由正弦定理可得,当且仅当,即,时等号成立,此时.故选:C4.(2022·全国·高三专题练习)在锐角中,为最大角,且,则实数的最小值是(
)A. B.2 C.3 D.【答案】A【解析】由于为最大角,则的对边最长,则,得出.,得,由于为锐角三角形,则,,则.即,整理得,解得.则实数的最小值是1.故选:A.5.(2022·全国·高三专题练习)在中,是边上一点,且,,若是的中点,则______;若,则的面积的最大值为_________.【答案】
【解析】若是的中点,则,在中,由余弦定理可得即,整理得,即,所以在中,由余弦定理得即,所以若,,,由上述知作于点E,由,知,作于点F,所以在边上的高为,所以因为,,,所以由余弦定理得即当时,有最大值,即,则所以故答案为:,6(2022·山东)如图,设的内角、、的对边分别为、、,,且.若点是外一点,,,则当______时,四边形的面积的最大值为____________【答案】
【解析】,由正弦定理可得,所以,,,,可得,,,所以,为等边三角形,设,则,由余弦定理可得,,,所以,四边形的面积为,,,所以,当时,即当时,四边形的面积取最大值.故答案为:;.7.(2021·上海市进才中学)在锐角中,,则的取值范围为________.【答案】【解析】,利用余弦定理可得:,即,由正弦定理可得:,,即,即又为锐角三角形,,即,,又,令,则由对勾函数性质知,在上单调递增,又,,故答案为:8.(2022·河南)如图所示,在平面四边形中,已知,则的最大值为_______.【答案】56【解析】中,,中,由得,所以,当且仅当时等号成立,所以的最大值为56.故答案为:56.9.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(1)求角A;(2)若△ABC是锐角三角形,且c=4,求b的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)∵,∴,,∵,∴,,;(2)∵,∴,∴,∵△ABC是锐角三角形,∴,同理,根据正弦定理得,,﹒10.(2022·宁夏石嘴山·一模(理))在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,D为的中点,若.(1)求;(2)若,求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】(1)解:由,利用正弦定理可得:,,
∵,∴,∴;(2)由D为的中点,∴,∴,,又∵,∴
,
∴,∴,
当且仅当时,取最小值.题组三题组三三角形解的个数1.(2022·全国·高三专题练习)(多选)下列在解三角形的过程中,只能有1个解的是(
)A.,, B.,,C.,, D.,,【答案】BCD【解析】根据题意,在A条件下,因为,所以角B在和上各有一个解,并且这两个解与角A的和都小于,所以A不满足;在B条件下,,,,根据余弦定理可得,即,解得或(舍),所以只有1个解,满足题意;在C条件下,条件为边角边,所以有唯一解;在D条件下,,因为,所以角A在和上各有一个解,当解在时,角B与角A的和大于,所以只有1个解,满足题意,故选:BCD.2.(2022·全国·高三专题练习)(多选)中,角A,B,C所对的三边分别是a,b,c,以下条件中,使得无解的是(
)A.;B.;C.D.,【答案】ABD【解析】对于A,大边对大角,而a<b,无解;对于B,由正弦定理得,无解;对于C,由可得,正弦定理求出,再由正弦定理或余弦定理可求出,有解;对于,由和,通过余弦定理可得,与矛盾,无解.故选:ABD3.(2022·全国·高三专题练习)已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,,则满足条件的(
)A.无解 B.有一个解C.有两个解 D.不能确定【答案】C【解析】因为,,由正弦定理可得,,所以,因为为三角形内角,所以,因此或,若,则符合题意;若,则,符合题意;因此有两个解;故选:C.4.(2022·全国·高三专题练习)在中,,,若角有唯一解,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】在中,,,若有唯一解,则有唯一解,设内角,,所对应的边分别为,,,由,则为一确定的锐角且,所以,如图以为圆心,为半径画圆弧,当圆弧与边有1个交点时满足条件,如图示:即圆弧与边相切或与圆弧与边相交有2个交点,其中一个交点在线段的反向延长线上(或在点处),故或,由,即,得或,解得或.故选:.5.(2022·全国·高三专题练习)在中,已知:,,,如果解该三角形有两解,则(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】如图:,因为三角形有两解,所以,所以,所以,得.故选:D6.(2022·全国·高三专题练习)在中,角所对的边分别为,下列条件使得无法唯一确定的是(
)A. B.C. D.【答案】C【解析】对于A:∵,∴A=140°,由正弦定理得:,∴∴唯一确定;故A正确.对于B:∵,由余弦定理,可得:由正弦定理:,有:可以求出角A、B,∴唯一确定;故B正确.对于C:∵由正弦定理:,有:,∴,∵∴∴,这样的角B有2个,所以不唯一,故C错误.对于D:∵由正弦定理:,有:,∴,∵∴∴,这样的角A有唯一一个,∴角C唯一,所以唯一,故D正确.故选:C7.(2022·河南·许昌高中高三开学考试)在三角形ABC中(A点在BC上方),若,,BC边上的高为h,三角形ABC的解的个数为n,则以下错误的是(
)A.当时, B.当时,C.当时, D.当时,【答案】C【解析】作出外接圆如图所示,因为,所以的外接圆半径为因为,所以,,所以当时,最大为3,此时是唯一的,所以B正确,A正确,当时,由圆的对称性可知,此时,所以C错误,D正确,故选:C8.(2022·云南师大附中高三阶段练习(文))的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,若有两解,写出a的一个可能的值为__________.【答案】(满足均可,答案不唯一)【解析】由于满足条件的有两个,则,即.故答案为:(满足均可,答案不唯一).题组四题组四几何中的正余弦定理1.(2022·湖南株洲·一模)如图,在四边形中,,且,.(1)求的长;(2)若,求的面积.从①,②,这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.【答案】(1)(2)选①时:;选②时:【解析】(1)由,得,,,在中,由余弦定理得:,,(2)选①时:由(1)可知,,,在中,,,;选②时:由(1)可知,,在中,由余弦定理得,,即,,.2.(2022·山西)在中,,分别在线段上,且,.()(1)若,求证:;(2)设,且,求的最大值.【答案】(1)证明见解析;(2)最大值为28.【解析】(1)由可得.由余弦定理可得,∴.∴,∴,即;(2)在中,由正弦定理可得,即,故,同理,,由条件可得与的面积之比恰好等于,即,即,∴,∵,∴,∴的最大值为28.3.(2022·全国·高三专题练习)如图,在梯形中,,,,.(1)若,求梯形的面积;(2)若,求.【答案】(1);(2).【解析】(1)设,在中,由余弦定理得:,即,而x>0,解得,所以,则的面积,梯形中,,与等高,且,所以的面积,则梯形的面积;(2)在梯形中,设,而,则,,,,在中,由正弦定理得:,在中,由正弦定理得:,两式相除得:,整理得,即解得或,因为,则,即.4.(2022·云南)如图,△ABC中,点D在AB上且满足:,.在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在题设中,求△ABC的面积(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)【答案】6.【解析】在中,由正弦定理得,,在中,由正弦定理得,,∵,∴,即,则,即是的角平分线;,,,在中,由及正弦定理得,,∴,即.若选①:.在中,由余弦定理得,,在中,由余弦定理得,cosA=,∴=,则,,∴,∴.若选②:.在中,设,由正弦定理得,则,∵是的角平分线,故,在中,由余弦定理得,,解得,,BC=,故,∴,则.若选③:.设,则,,在中,由余弦定理得,,解得,BC=,则.5.(2022·山东聊城·一模)如图,在四边形中,.(1)求;(2)若,求四边形的面积.【答案】(1);(2).【解析】(1)因为,所以,所以可化为,由二倍角公式可得:因为BD<AD,所以,所以,所以,解得.(2)在△ABD中,,,由余弦定理得:,即所以.在△BCD中,由正弦定理得,所以.又因为∠C=2∠CBD,所以.又因为,所以,从而,所以,.因此四边形ABCD的面积.6.(2022·全国·高三专题练习)如图,四边形ABCD中,,,.(1)求的值;(2)若,,求CD的长.【答案】(1);(2).【解析】(1)由余弦定理,,则,所以,又,且,所以.(2)过作于,,又,所以,,令,则,故,在△中,即,所以,即CD的长为.7.(2022·全国·模拟预测)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(1)求B;(2)如图,若D为外一点,且,,,,求AC.【答案】(1)(2)【解析】(1)由,得,即,由正弦定理,得,整理,得,∴,又,∴,∴,又,∴;(2)连接BD,因为,,,所以,,所以,所以.又,所以,在中,由正弦定理可得,即,所以.在中,由余弦定理可得,所以.8.(2022·江苏常州·高三期末)已知在四边形中,,,,且,.(1)求;(2)求.【答案】(1)(2)7【解析】(1)在中,则,又在中,,故(2)设,,,,则,由即可知,即在中,,又,则有故在中,即,解之得,即的长为79.(2022·全国·高三专题练习)已知中,内角、、的对边分别为、、,为的角平分线.(1)求证:;(2)若且,求的大小.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明:由题意可得,因为为的角平分线,则,在中,,则,同理可得,因此,故.(2)解:设,则,因为,即,因为,则,则,,即,可得,由(1)可得,则,在中,,整理可得,所以,,因此,.10.(2022·甘肃酒泉·高三期中)在四边形中,∥,.(1)若,求;(2)若,求.【答案】(1)(2)【解析】(1)在三角形中,根据余弦定理可得,,由题得:,所以,在三角形中,根据余弦定理可得,,所以,(2)设,在三角形中,根据余弦定理可得,,在三角形中,根据余弦定理可得,,所以,得:或(舍),则题组五题组五正余弦定理与平面向量的综合运用1.(2022·全国·高三专题练习)四边形为梯形,且,,,点是四边形内及其边界上的点.若,则点的轨迹的长度是(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】,即.设向量与的夹角为,则,因为,所以,由向量投影定义得,向量在向量上的投影为2,即动点在过点且垂直于的直线上.在中,,,,由余弦定理得,所以;则,所以.因为是四边形内及其边界上的点,所以点的轨迹为线段.所以点的轨迹的长度为.故选:B.2.(2022·全国·高三专题练习)(多选)如图,已知点G为的重心,点D,E分别为AB,AC上的点,且D,G,E三点共线,,,,,记,,四边形BDEC的面积分别为,,,则()A. B. C. D.【答案】ABC【解析】连接AG并延长交BC于点M,如图,因G为的重心,则M是BC边的中点,且,又D,G,E三点共线,即,则有,而,,又,于是得,而与不共线,因此,,,A正确;边AD上的高为,边AB上的高为,则,B正确;由A可知,,当且仅当时取“=”,则有,即,而,于是得,C正确,D错误.故选:ABC3.(2022·全国·高三专题练习)(多选)已知点G是三角形的重心,以下结论正确的是(
)A.B.若,则三角形是等腰三角形C.三角形的面积等于,则D.若,则【答案】AB【解析】如图,M、N分别为BC、AB的中点,由重心的性质及向量的运算知,,故A正确;因为为中线,所以,由,知即,所以三角形是等腰三角形,故B正确;三角形的面积等于即,解得,所以,故C不正确;由A知,所以,故D不正确.故选:AB4.(2022·全国·高三专题练习)(多选)在中,,,其中,均为边上的点,分别满足:,,则下列说法正确的是(
)A.为定值3B.面积的最大值为C.的取值范围是D.若为中点,则不可能等于【答案】ABD【解析】设.对于A:因为,所以D为BC的中点.因为,所以,即,所以.因为,所以,所以.故A正确;对于B:,又,当且仅当“"时,取“=”此时,所以.故B正确;对于C:因为,所以,所以.当时,D、E重合,取得最大值3.可知为锐角,当最大锐角时,最大,但无法取到.故C错误;对于D:若为中点,则.故D正确.故选:ABD.5.(2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习)在中,若,,则面积的最大值为___________.【答案】【解析】由条件可知,即,,因为,即,得,当且仅当b=c时等号成立所以,即面积的最大值为.故答案为:6.(2022·河南·高三阶段练习(文))已知是的内接正三角形,D是劣弧的中点,动点E,F同时从点A出发以相同的速度分别在AB,AC边上运动到B,C.若的半径为,则的最大值与最小值之和等于______.【答案】【解析】由已知,的半径为,,由正弦定理可得,连接AD,如图,由条件可知,,,.设,,∴,∴.所以的最大值与最小值之和等于.故答案为:.7.(2022·全国·高三专题练习)如图,平面四边形中,,对角线相交于.(1)设,且,(ⅰ)用向量表示向量;(ⅱ)若,记,求的解析式.(2)在(ⅱ)的条件下,记△,△的面积分别为,,求的取值范围.【答案】(1)(ⅰ);(ⅱ),;(2).【解析】(1)(ⅰ)因为,,所以,即,所以,(ⅱ)因为,,所以,因为且,所以,即,所以,整理可得:,
即,.(2)由(1)知:,由三角形面积公式可得:,记,所以,所以在上单调递减,所以,所以的取值范围为.8.(2022·全国·高三专题练习)三角形ABC中,,点E是边BC上的动点,当E为BC中点时,(1)求和;(2)是延长线上的点,,当在上运动时,求的最大值.【答案】(1);(2).【解析】(1)当为中点时,设,则由余弦定理得,解得,此时,由余弦定理得,所以,所以,所以,所以,所以;(2)由得,,所以,所以,当取最小即时上式最大,此时,所以,所以的最大值为.题组六题组六正余弦定理与其他知识综合运用1.(2022·贵州·模拟预测(理))已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上一点,且,,则椭圆C的离心率为(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】设,,,,则,因为,所以由余弦定理得,所以解得,所以所以.故选:B2.(2022·陕西陕西·二模)在中,三边长组成公差为1的等差数列,最大角的正弦值为,则这个三角形的外接圆的直径为___________.【答案】【解析】设三角形的三边长分别a,,,最大角为,由已知,∵,∴或.当时,因为最大角为,所以由三角形内角和可知,这样不构成三角形,故舍去;当时,由余弦定理可知:.解得或(舍去).设外接圆半径为R,则,即,∴.故答案为:3.(2021·全国·高三专题练习)设是椭圆的两个焦点,为椭圆上任意一点,当
取最大值时的余弦值为.则(Ⅰ)椭圆的离心率为___;(Ⅱ)若椭圆上存在一点,使(为坐标原点),且,则的值为____.【答案】
或【解析】设分别为椭圆的长轴长,虚轴长,(Ⅰ)在中,,,当且仅当时,等号成立,即当点位于短轴端点时,的余弦值最大,,即,则离心率(Ⅱ)取中点,由,即,可得,利用中位线性质可得,设,,则解得,或,或故答案为:;或4.(2022·云南·昆明一中高三阶段练习(理))已知双曲线的左、右焦点分别为,过点的直线与双曲线
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