高考数学微专题集专题6：有关距离问题(原卷版+解析)

专题6：有关距离问题专题6：有关距离问题专题阐述：利用导数研究距离问题，通常有两种不同的问题：相异曲线上两点间的距离问题及利用切线求两点间的距离问题，研究此类问题通常需要将所求问题进行等价转化，构造函数，结合函数性质与图象，给出判断.考法一：相异曲线上两点间距离[规律方法]此类问题通常可以借助两种解决方法解决问题：①通过观察，结合反函数及其性质，构造函数，通过求函数最值解决问题；②通过函数作差，或等量代换，构造函数，通过求函数最值解决问题.例1．设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为（）A．B．C．D．答案：D【解析】与互为反函数，它们图象关于直线对称；又，由直线的斜率，得，，所以切线方程为，则原点到切线的距离为，的最小值为．故选：D．例2．设动直线与函数，的图象分别交于点M、N，则的最小值为（）A．B．C．D．答案：A【解析】画图可以看到就是两条曲线间的垂直距离．设，求导得：．令得；令得，所以当时，有最小值为，故选：A．例3．已知直线分别与直线、曲线交于点、，则线段长度的最小值为______.（其中常数，是自然对数的底数）答案：【解析】由直线分别与直线、曲线交于点A、B，得，由，易得恒成立，即曲线在直线的上方，设，则设，则，则，，，当时，，当时，，故函数在为减函数，在为增函数，即.故答案为:【点睛】本题根据题意可得点横坐标，再构造，求出导函数，通过判定函数的单调性，求得线段长度的最小值.主要考查的是导数的应用，考查学生的运算求解能力，考查的而核心素养是数学运算.例4．已知函数，若存在实数满足，且，则的最大值为（

）A．B．1C．D．答案：A【解析】作出的图像如图所示.因为，所以，易知，则.令，则易知函数在上单调递增，所以.故选：A【点睛】本题通过画出的图像，再根据确定，进而将转换为关于的函数，求导分析单调性与最大值，考查学生数形结合、转化与化归的数学思想.【针对训练】1．设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为A． B． C． D．2．设动直线与函数的图象分别交于点M，N，则最小值所在的区间为（

）A． B． C． D．3．设直线与函数，的图像分别交于A，B两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．考法二：利用切线求两点距离[规律方法]此类问题经常表现为曲线上的点与直线上的点间的距离，解决的途径一般为设入直线与曲线的切点，借由表达式进而求最值，与此同时，将所求问题进行等价变形，转化为函数曲线的切线问题也是考虑的关键环节.例4．已知点M在曲线上，点N在直线上，则的最小值为______．答案：【解析】当点M是曲线的切线中与直线平行的直线的切点时，取得最小．故令解得，，故点M的坐标为，故点M到直线的最小值为．例5．若实数a，b，c，d满足，则的最小值为（）A．3B．4C．5D．6答案：C【解析】∵，∴，，分别令，，转化为两个函数与的点之间的距离的最小值，，设与直线平行且与曲线相切的切点为，则，，解得，可得切点，切点到直线的距离，∴的最小值．故选：C．【点睛】本题通过已知条件的等价转化，将问题转化为函数与图象上点之间的距离的最小值，由导数几何意义，设与直线平行且与曲线相切的切点为，进而求出切点，得出的最小值.【针对训练】4．实数满足：，则的最小值为________5．若实数a、b、c、d满足，则的最小值为______．【强化训练】6．设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．已知直线分别与函数和交于、两点，则、之间的最短距离是A． B． C． D．8．已知函数若且，则的取值范围是A． B． C． D．9．已知直线y＝b与函数f（x）＝2x+3和g（x）＝ax+lnx分别交于A，B两点，若AB的最小值为2，则a+b＝_______.10．已知点在圆上，点在曲线上，则线段的长度的最小值为____________．11．已知函数,,实数,若使得对,都有成立,则的最大值为__________.12．已知函数，若使得成立则的最小值是__________.13．已知实数、、、满足，则的最小值为______．专题6：有关距离问题专题6：有关距离问题专题阐述：利用导数研究距离问题，通常有两种不同的问题：相异曲线上两点间的距离问题及利用切线求两点间的距离问题，研究此类问题通常需要将所求问题进行等价转化，构造函数，结合函数性质与图象，给出判断.考法一：相异曲线上两点间距离[规律方法]此类问题通常可以借助两种解决方法解决问题：①通过观察，结合反函数及其性质，构造函数，通过求函数最值解决问题；②通过函数作差，或等量代换，构造函数，通过求函数最值解决问题.例1．设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为（）A．B．C．D．答案：D【解析】与互为反函数，它们图象关于直线对称；又，由直线的斜率，得，，所以切线方程为，则原点到切线的距离为，的最小值为．故选：D．例2．设动直线与函数，的图象分别交于点M、N，则的最小值为（）A．B．C．D．答案：A【解析】画图可以看到就是两条曲线间的垂直距离．设，求导得：．令得；令得，所以当时，有最小值为，故选：A．例3．已知直线分别与直线、曲线交于点、，则线段长度的最小值为______.（其中常数，是自然对数的底数）答案：【解析】由直线分别与直线、曲线交于点A、B，得，由，易得恒成立，即曲线在直线的上方，设，则设，则，则，，，当时，，当时，，故函数在为减函数，在为增函数，即.故答案为:【点睛】本题根据题意可得点横坐标，再构造，求出导函数，通过判定函数的单调性，求得线段长度的最小值.主要考查的是导数的应用，考查学生的运算求解能力，考查的而核心素养是数学运算.例4．已知函数，若存在实数满足，且，则的最大值为（

）A．B．1C．D．答案：A【解析】作出的图像如图所示.因为，所以，易知，则.令，则易知函数在上单调递增，所以.故选：A【点睛】本题通过画出的图像，再根据确定，进而将转换为关于的函数，求导分析单调性与最大值，考查学生数形结合、转化与化归的数学思想.【针对训练】1．设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为A． B． C． D．2．设动直线与函数的图象分别交于点M，N，则最小值所在的区间为（

）A． B． C． D．3．设直线与函数，的图像分别交于A，B两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．考法二：利用切线求两点距离[规律方法]此类问题经常表现为曲线上的点与直线上的点间的距离，解决的途径一般为设入直线与曲线的切点，借由表达式进而求最值，与此同时，将所求问题进行等价变形，转化为函数曲线的切线问题也是考虑的关键环节.例4．已知点M在曲线上，点N在直线上，则的最小值为______．答案：【解析】当点M是曲线的切线中与直线平行的直线的切点时，取得最小．故令解得，，故点M的坐标为，故点M到直线的最小值为．例5．若实数a，b，c，d满足，则的最小值为（）A．3B．4C．5D．6答案：C【解析】∵，∴，，分别令，，转化为两个函数与的点之间的距离的最小值，，设与直线平行且与曲线相切的切点为，则，，解得，可得切点，切点到直线的距离，∴的最小值．故选：C．【点睛】本题通过已知条件的等价转化，将问题转化为函数与图象上点之间的距离的最小值，由导数几何意义，设与直线平行且与曲线相切的切点为，进而求出切点，得出的最小值.【针对训练】4．实数满足：，则的最小值为________5．若实数a、b、c、d满足，则的最小值为______．【强化训练】6．设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．已知直线分别与函数和交于、两点，则、之间的最短距离是A． B． C． D．8．已知函数若且，则的取值范围是A． B． C． D．9．已知直线y＝b与函数f（x）＝2x+3和g（x）＝ax+lnx分别交于A，B两点，若AB的最小值为2，则a+b＝_______.10．已知点在圆上，点在曲线上，则线段的长度的最小值为____________．11．已知函数,,实数,若使得对,都有成立,则的最大值为__________.12．已知函数，若使得成立则的最小值是__________.13．已知实数、、、满足，则的最小值为______．参考答案：1．B【详解】由题意知函数y＝ex与y＝ln(2x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，两曲线上点之间的最小距离就是y＝x与y＝ex上点的最小距离的2倍．设y＝ex上点(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行．则，∴x0＝ln2，y0＝1，∴点(x0，y0)到y＝x的距离为＝(1－ln2)，则|PQ|的最小值为(1－ln2)×2＝(1－ln2)．2．C分析：根据给定条件，求出，构造函数，利用导数探讨最小值即可判断作答.【详解】由函数的图象可知，令，求导得，为增函数，且，则存在，使得，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，因此，，而，，于是得，，所以最小值所在的区间为.故选：C【点睛】思路点睛：涉及已知函数的最值求参数或其范围的问题，合理应用函数的单调性，借助导数探讨函数的单调性进行求解、判断．3．D分析：由题意得到，，，其中，且，表示，构造函数，确定函数的单调性，即可求出的最小值．【详解】直线与函数，的图象分别交于，两点，，，，其中，且，，设函数，，，令，解得，当，即时，函数在，单调递增，当，即时，函数在单调递减，故时，函数有最小值，最小值为，故线段的长度的最小值为．故选：D．【点睛】本题考查最值问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4．##4.5分析：利用代数式的几何意义结合导数可求最小值.【详解】由题设可得，，故，设，，则，即函数的图象的点与直线上的点的连线段的平方，而，令，则，此时对应的函数值为1，故函数的图象在处的切线为，的最小值即为平行线，之间的距离，此距离为，故的最小值为，故答案为：5．分析：将题目所给方程，转化为点是曲线上的点，是直线上的点，而题目所求表示为最小值，利用平移切线的方法，结合点到直线的距离公式，即可求出最小值.【详解】∵，∴点是曲线上的点，是直线上的点，∴．∵，由得，；由得．∴当时，取得极小值为1．如图，要使最小，当且仅当过曲线上的点且与线平行时．∵，直线的斜率，∴，∴或（由于，故舍去）．∴．设点到直线的距离为d，则．∵，∴的最小值为．故答案为：.6．B分析：做出两个函数草图，易得当点处的切线斜率为，且垂直时，最小．【详解】，，令，解得，所以，故的最小值为到的距离，．故选：B．7．D【详解】分析：求出两点的横坐标，作差后用导数可求得最小值．详解：由得，由得，其中，设，，在时，由得，且当时，，当时，，∴时，取极小值也是最小值．故选D．点睛：本题考查用导数求最值，解题时，需把两点的横坐标用表示出来，然后求出，再由导数求最小值．本题难度一般，应该是导数应用的基础题．8．B【详解】分析：作出函数的图象，由题意可得，求得，可得，求出导数和单调区间，可得极大值且为最大值，考虑的大小，即可得到所求范围.详解：作出函数的图象，如图所示，由，且，可得，即为，可得，令，，当时，递增；当时，递减，则在处取得极大值，也为最大值，由，可得的范围是，故选B.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.9．2.分析：设A（x1，b），B（x2，b），则2x1+3＝ax2+lnx2＝b，表示出x1，求出|AB|，利用导数，结合最小值也为极小值，可得极值点，求出最小值，解方程可得a＝1，再求得b和a+b．【详解】设A（x1，b），B（x2，b），可设x1＜x2，则2x1+3＝ax2+lnx2＝b，∴x1（ax2+lnx2﹣3），∴|AB|＝x2﹣x1＝（1a）x2lnx2，令y＝（1a）xlnx，则y′＝1•（x＞0），由|AB|的最小值为2，可得2﹣a＞0，函数在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴x时，函数y取得极小值，且为最小值2，即有（1a）•ln2，即得ln0解得a＝1，由x2＝1，则b＝ax2+lnx2＝1+ln1＝1，可得a+b＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了两函数图象间的距离最小值的应用问题，也考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，是综合题．10．分析：由题可得，圆的半径．设，令，首先求得的最小值，然后求解线段的长度的最小值即可.【详解】由题可得，圆的半径．设，令，则，所以．令，易知函数在上单调递增，且，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，