高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)23三角恒等变换(原卷版+解析)

常考题型23三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式①两角和与差的正弦公式②两角和与差的余弦公式③两角和与差的正切公式2.二倍角公式①②；；③3.降幂公式4.辅助角公式：(其中)5.半角公式（1）.（2）.（3）.6.常用结论①两角和与差的正切公式的变形：②③④1.万能公式（1）（2）（3）其中2.和差化积公式3.积化和差公式4.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．5.常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(α－β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))等6.凑角基本思路先判断角是否是2倍关系：（1）若是2倍关系，则单倍角乘以2变成同倍角；（2）若不是2倍关系，则为同倍角，则采用诱导公式或两角和差公式，将两角进行相加减（异号相加，同号相减）7.三角函数的简单恒等变换(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点探究一：两角和与差的三角函数若，，且，是方程的两个根，则（

）A． B． C．或 D．或思路分析：思路分析：根据根与系数之间的关系，结合两角和差的正切公式进行化简求解即可．【变式练习】1．已知䌼角满足，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．8 D．182．已知函数．设，则的值为（

）A． B． C． D．探究二：二倍角公式和半角公式的应用已知，且，则等于（

）A．0 B． C． D．2思路分析：思路分析：根据余弦的二倍角公式以及可得，进而可得，代入即可求值.【变式练习】1．，则（

）A． B． C． D．2．已知，则（

）A． B． C． D．探究三：万能公式的应用已知锐角满足，则（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：求出，由两角和的正切公式展开，结合已知求得和，然后求得，再由两角差的正弦公式计算．【变式练习】1．已知，，则（

）A．3 B． C． D．2．已知直线的倾斜角为，则的值是．A． B． C． D．探究四：降幂公式的应用已知函数，则的最小正周期为（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：利用平方关系、降幂及辅助角公式可得，根据三角函数性质求最小正周期.【变式练习】1．已知，，则=（

）A．2 B．-2 C． D．2．若，，则（

）A． B． C． D．探究五：三角恒等式的化简与求值问题已知，均为锐角，，则＝______．思路分析：思路分析：由，都是锐角，得出的范围，由和的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出和的值，然后把所求式子的角变为，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即可求出值．【变式练习】1．已知，则的值是____.2．已知，，均为锐角，则___．一、单选题1．已知锐角、满足，，则等于（

）A． B．或C． D．2．已知，则（

）A． B．1 C． D．23．已知，则的值为（

）A．0 B．C． D．0或±4．已知，则等于（

）A． B．C． D．5．若，则（

）A． B． C． D．6．已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．8．已知，为锐角，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．若，且，则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．10．已知函数，则下列说法中正确的是（

）A．的最大值为2 B．的最小正周期为C．的图像关于直线对称 D．的图像关于点对称11．已知函数，则（

）A．图象的对称中心为B．图象的对称轴方程为C．的增区间为D．的最大值是，最小值是12．已知函数，下列结论正确的是（

）A．是周期函数B．的图象关于原点对称C．的值域为D．的单调递减区间为，三、填空题13．函数的最大值和最小值是、，则________.14．已知函数，则下列结论中正确的是___________．①函数的最小正周期为

②时，取得最大值③在上单调递增

④的对称中心坐标是15．若，则___________.16．数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关.黄金分割常数也可以表示成，则_________.四、解答题17．求解下列问题：(1)已知，为第二象限角，求和的值；(2)已知，，，为锐角，求的值.18．已知，．求：(1)的值．(2)的值．19．（1）若，求的值；（2）求的值；（3）在中,，求角.20．已知，(1)求和的值(2)若，，求的大小．21．已知函数．(1)求方程在上的解集；(2)求证：函数有且只有一个零点，且22．设函数.(1)设，在处取得最大值，求；(2)关于x的方程在区间上恰有12个不同的实数解，求实数k的取值范围.常考题型23三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式①两角和与差的正弦公式②两角和与差的余弦公式③两角和与差的正切公式2.二倍角公式①②；；③3.降幂公式4.辅助角公式：(其中)5.半角公式（1）.（2）.（3）.6.常用结论①两角和与差的正切公式的变形：②③④1.万能公式（1）（2）（3）其中2.和差化积公式3.积化和差公式4.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．5.常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(α－β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))等6.凑角基本思路先判断角是否是2倍关系：（1）若是2倍关系，则单倍角乘以2变成同倍角；（2）若不是2倍关系，则为同倍角，则采用诱导公式或两角和差公式，将两角进行相加减（异号相加，同号相减）7.三角函数的简单恒等变换(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点探究一：两角和与差的三角函数若，，且，是方程的两个根，则（

）A． B． C．或 D．或思路分析：思路分析：根据根与系数之间的关系，结合两角和差的正切公式进行化简求解即可．答案：B【详解】解：、是方程的两个根，，，，，即、,，则，则，故选：B．【变式练习】1．已知䌼角满足，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．8 D．18答案：C【详解】，，、均为锐角，则，，，当且仅当时，等号成立．的最小值为8．故选：C2．已知函数．设，则的值为（

）A． B． C． D．答案：B【详解】因为，，所以，，所以，，所以，因为，所以，，所以，故选：B探究二：二倍角公式和半角公式的应用已知，且，则等于（

）A．0 B． C． D．2思路分析：思路分析：根据余弦的二倍角公式以及可得，进而可得，代入即可求值.答案：C【详解】由得，因为，所以，进而得，故，所以，故选：C【变式练习】1．，则（

）A． B． C． D．答案：D【详解】．故选：D.2．已知，则（

）A． B． C． D．答案：A【详解】由，得，，，，所以.故选：A.探究三：万能公式的应用已知锐角满足，则（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：求出，由两角和的正切公式展开，结合已知求得和，然后求得，再由两角差的正弦公式计算．答案：C【详解】由得，所以，又，所以，由，解得，或（舍去，此时不是锐角），，是锐角，，，则，所以．故选：C．【变式练习】1．已知，，则（

）A．3 B． C． D．答案：A【详解】由①，，所以②，由①②可得③，由①③得，，所以角为第二象限角，所以为第一、三象限角，，故选A.2．已知直线的倾斜角为，则的值是．A． B． C． D．答案：C【详解】试题分析：，选C.探究四：降幂公式的应用已知函数，则的最小正周期为（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：利用平方关系、降幂及辅助角公式可得，根据三角函数性质求最小正周期.答案：B【详解】由题设，，所以最小正周期为.故选：B【变式练习】1．已知，，则=（

）A．2 B．-2 C． D．答案：D【详解】因，，则，所以.故选：D2．若，，则（

）A． B． C． D．答案：C【详解】∵所以，又因为，，所以，即，所以，又因为，所以，．故选：C．探究五：三角恒等式的化简与求值问题已知，均为锐角，，则＝______．思路分析：思路分析：由，都是锐角，得出的范围，由和的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出和的值，然后把所求式子的角变为，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即可求出值．答案：【详解】，都是锐角，，又，，所以，，则．故答案为：.【变式练习】1．已知，则的值是____.答案：【详解】，两边平方，可得，可得，．故答案为：2．已知，，均为锐角，则___．答案：【详解】因为为锐角，且，则有，，又，则，又为锐角，所以．故答案为：一、单选题1．已知锐角、满足，，则等于（

）A． B．或C． D．答案：C【详解】，为锐角，，，所以，，，所以的值等于.故选：C．2．已知，则（

）A． B．1 C． D．2答案：D【详解】∵，∴.故选：D.3．已知，则的值为（

）A．0 B．C． D．0或±答案：C【详解】因为两式相加可得，即.故选：C.4．已知，则等于（

）A． B．C． D．答案：D【详解】解：，即，解得（舍去）.故选：D.5．若，则（

）A． B． C． D．答案：D【详解】因为，所以，所以，故选：D6．已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：A【详解】，因为，所以，又因为函数在内恰有个最值点和4个零点，由图像得：，解得：，所以实数的取值范围是.故选：A7．已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．答案：B【详解】因为，所以，因为，所以，于是，所以．故选：B8．已知，为锐角，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：A【详解】因为，又所以.∵，为锐角，且，∴，即，∴，∴，∴，∴的取值范围为.故选：A二、多选题9．若，且，则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．答案：BC【详解】解：因为，所以，因为，，所以，从而，于是，所以，从而．故选：BC.10．已知函数，则下列说法中正确的是（

）A．的最大值为2 B．的最小正周期为C．的图像关于直线对称 D．的图像关于点对称答案：ABC【详解】因为，所以的最大值为2，故A正确.最小正周期是，故B正确.将代入，可得，则其图像关于直线对称，故C正确.当时，，所以的图像关于点对称．故D错误.故选:ABC.11．已知函数，则（

）A．图象的对称中心为B．图象的对称轴方程为C．的增区间为D．的最大值是，最小值是答案：ACD【详解】；对于A，令，解得：，此时，的对称中心为，A正确；对于B，令，解得：，的对称轴为，B错误；对于C，令，解得：，的增区间为，C正确；对于D，，，最大值是，最小值是，D正确.故选：ACD.12．已知函数，下列结论正确的是（

）A．是周期函数B．的图象关于原点对称C．的值域为D．的单调递减区间为，答案：AC【详解】对于A选项，因为，故函数为周期函数，A对；对于B选项，，为偶函数，B错；对于C选项，由A选项可知，函数是周期函数，且周期为，不妨考虑函数在上的值域即可，当时，则，，因为函数为偶函数，故函数在上的值域也为，因此，函数的值域为，C对；对于D选项，考虑函数在上单调递减区间，当时，，且，由可得，由可得，由可得，所以，函数在上的递减区间为，递增区间为、，由于函数为偶函数，故函数在上的减区间为、、，因此，函数的单调递减区间为、、，D错.故选：AC.三、填空题13．函数的最大值和最小值是、，则________.答案：1【详解】设，即，即，即，所以，两边平方并化简得，设关于的方程的两根是，则，而不等式的解为：，即分别是函数的最小值和最大值，所以.故答案为：1.14．已知函数，则下列结论中正确的是___________．①函数的最小正周期为

②时，取得最大值③在上单调递增

④的对称中心坐标是答案：①③【详解】；对于①，的最小正周期，①正确；对于②，当时，，此时不取最大值，②错误；对于③，当时，，此时单调递增，③正确；对于④，令，解得：，此时，的对称中心为，④错误.故答案为：①③.15．若，则___________.答案：【详解】解：因为，即，所以.故答案为：.16．数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关.黄金分割常数也可以表示成，则_________.答案：2【详解】.故答案为：2.四、解答题17．求解下列问题：(1)已知，为第二象限角，求和的值；(2)已知，，，为锐角，求的值.答案：(1)，(2)【详解】（1）由于，为第二象限角，所以，所以.（2）由于，为锐角，所以，由于，，所以，所以.18．已知，．求：(1)的值．(2)的值．答案：(1)．(2)．【详解】（1）依题意，，则，，，