高考数学一轮复习考点探究与题型突破第60讲事件的相互独立性与条件概率(原卷版+解析)

第60讲事件的相互独立性与条件概率1.相互独立事件(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与eq\o(B,\s\up6(－))__，eq\o(A,\s\up6(－))与B，eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))也都相互独立.2.条件概率(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.(2)两个公式①利用古典概型，P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)；②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).3.全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝eq\a\vs4\al(\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))P（Ai）P（B|Ai）)，我们称上面的公式为全概率公式.考点1相互独立事件的概率[名师点睛]求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积．(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．[典例]1.(2023·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立2.(多选)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是()A．P(B)＝eq\f(2,5)B．P(B|A1)＝eq\f(5,11)C．事件B与事件A1相互独立D．A1，A2，A3是两两互斥的事件[举一反三]1.(2023·福州模拟)投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”．每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分．现有甲、乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口、壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为eq\f(1,3)，投中壶耳的概率为eq\f(1,5).四支箭投完，以得分多者赢．请问乙赢得这局比赛的概率为()A.eq\f(13,75)B.eq\f(3,75)C.eq\f(8,15)D.eq\f(8,75)2.(2023·全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为eq\f(1,2).(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率.考点2条件概率[名师点睛]求条件概率的常用方法(1)定义法：P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).(2)样本点法：P(B|A)＝eq\f(nAB,nA).(3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解．[典例]1.某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示．公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事件A为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件B为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则P(A|B)等于()A.eq\f(1,6)B.eq\f(3,10)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,5)2.(多选)(2023·滨州模拟)为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是()A．P(A)＝eq\f(3,5) B．P(AB)＝eq\f(3,10)C．P(B|A)＝eq\f(1,2) D．P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(1,2)[举一反三]1.已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为()A.eq\f(3,10) B.eq\f(1,3) C.eq\f(3,8) D.eq\f(2,9)2.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是()A.eq\f(3,5) B.eq\f(2,5) C.eq\f(5,9) D.eq\f(2,3)考点3全概率公式的应用[名师点睛]利用全概率公式的思路(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；(3)代入全概率公式计算．[典例]甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率.[举一反三]1.已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为(设男子和女子的人数相等)()A.eq\f(10,11)B.eq\f(20,21)C.eq\f(11,21) D.eq\f(1,12)2.葫芦山庄襟渤海之辽阔，仰天角之雄奇，勘葫芦之蕴涵，显人文之魅力，是渤海湾著名的人文景区，是葫芦岛市“葫芦文化与关东民俗文化”代表地和中小学综合实践教育基地．山庄中葫芦品种分为亚腰、瓢、长柄锤、长筒、异型、花皮葫芦等系列．其中亚腰胡芦具有天然迷彩花纹，果实形状不固定，观赏性强，每株亚腰葫芦可结出果实20～80个.2021年初葫芦山庄播种用的一等亚腰葫芦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5，0.15,0.1,0.05，则这批种子所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率为________．第60讲事件的相互独立性与条件概率1.相互独立事件(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与eq\o(B,\s\up6(－))__，eq\o(A,\s\up6(－))与B，eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))也都相互独立.2.条件概率(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.(2)两个公式①利用古典概型，P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)；②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).3.全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝eq\a\vs4\al(\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))P（Ai）P（B|Ai）)，我们称上面的公式为全概率公式.考点1相互独立事件的概率[名师点睛]求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积．(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．[典例]1.(2023·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立答案B解析事件甲发生的概率P(甲)＝eq\f(1,6)，事件乙发生的概率P(乙)＝eq\f(1,6)，事件丙发生的概率P(丙)＝eq\f(5,6×6)＝eq\f(5,36)，事件丁发生的概率P(丁)＝eq\f(6,6×6)＝eq\f(1,6).事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为eq\f(1,6×6)＝eq\f(1,36)，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为eq\f(1,6×6)＝eq\f(1,36)，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误．2.(多选)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是()A．P(B)＝eq\f(2,5)B．P(B|A1)＝eq\f(5,11)C．事件B与事件A1相互独立D．A1，A2，A3是两两互斥的事件答案BD解析易知A1，A2，A3是两两互斥的事件，P(B|A1)＝eq\f(PBA1,PA1)＝eq\f(\f(5,10)×\f(5,11),\f(5,10))＝eq\f(5,11)，P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝eq\f(5,10)×eq\f(5,11)＋eq\f(2,10)×eq\f(4,11)＋eq\f(3,10)×eq\f(4,11)＝eq\f(9,22).[举一反三]1.(2023·福州模拟)投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”．每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分．现有甲、乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口、壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为eq\f(1,3)，投中壶耳的概率为eq\f(1,5).四支箭投完，以得分多者赢．请问乙赢得这局比赛的概率为()A.eq\f(13,75)B.eq\f(3,75)C.eq\f(8,15)D.eq\f(8,75)答案A解析由题意，若乙要赢得这局比赛，按照乙第三支箭的情况可分为两类：(1)第三支箭投中壶口，第四支箭必须投入壶耳，其概率为P1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,15)；(2)第三支箭投入壶耳，第四支箭投入壶口、壶耳均可，其概率为P2＝eq\f(1,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,5)))＝eq\f(8,75)，所以乙赢得这局比赛的概率为P＝P1＋P2＝eq\f(1,15)＋eq\f(8,75)＝eq\f(13,75).2.(2023·全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为eq\f(1,2).(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率.解(1)甲连胜四场的概率为eq\f(1,16).(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为eq\f(1,16)；乙连胜四场的概率为eq\f(1,16)；丙上场后连胜三场的概率为eq\f(1,8).所以需要进行第五场比赛的概率为1－eq\f(1,16)－eq\f(1,16)－eq\f(1,8)＝eq\f(3,4).(3)丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为eq\f(1,8)；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为eq\f(1,16)，eq\f(1,8)，eq\f(1,8).因此丙最终获胜的概率为eq\f(1,8)＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝eq\f(7,16).考点2条件概率[名师点睛]求条件概率的常用方法(1)定义法：P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).(2)样本点法：P(B|A)＝eq\f(nAB,nA).(3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解．[典例]1.某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示．公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事件A为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件B为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则P(A|B)等于()A.eq\f(1,6) B.eq\f(3,10)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,5)答案D解析根据条件概率的计算公式可得，P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(\f(3,6)×\f(3,5),\f(3,6))＝eq\f(3,5).2.(多选)(2023·滨州模拟)为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是()A．P(A)＝eq\f(3,5) B．P(AB)＝eq\f(3,10)C．P(B|A)＝eq\f(1,2) D．P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(1,2)答案ABC解析P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,5))＝eq\f(3,5)，故A正确；P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq\f(3,10)，故B正确；P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2)，故C正确；P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝1－eq\f(3,5)＝eq\f(2,5)，P(eq\x\to(A)B)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq\f(3,10)，P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(P\x\to(A)B,P\x\to(A))＝eq\f(\f(3,10),\f(2,5))＝eq\f(3,4)，故D错误．[举一反三]1.已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为()A.eq\f(3,10) B.eq\f(1,3) C.eq\f(3,8) D.eq\f(2,9)答案B解析设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B，依题意P(A)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，P(AB)＝eq\f(2×3,10×9)＝eq\f(1,15)，故P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(1,3).2.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是()A.eq\f(3,5) B.eq\f(2,5) C.eq\f(5,9) D.eq\f(2,3)答案D解析记A＝“第一次摸出的是次品”，B＝“第二次摸到的是正品”，由题意知，P(A)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，P(AB)＝eq\f(4,10)×eq\f(6,9)＝eq\f(4,15)，则P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(4,15),\f(2,5))＝eq\f(2,3).考点3全概率公式的应用[名师点睛]利用全概率公式的思路(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；(3)代入全概率公式计算．[典例]甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率.解设B＝“飞机被击落”，Ai＝“飞机被i人击中”，i＝1，2，3，则B＝A1B＋A2B＋A3B，P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1，由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3).为求P(Ai)，设Hi＝{飞机被第i人击中}，i＝1，2，3，且H1，H2，H3相互独立，则P(H1)＝0.4，P(H2)＝0.5，P(H3)＝0.7，故P(A1)＝P(H1eq\o(H,\s\up6(－))2eq\o(H,\s\up6(－))3＋eq\o(H,\s\up6(－))1H2eq\o(H,\s\up6(－))3＋eq\o(H,\s\up6(－))1eq\o(H,\s\up6(－))2H3)＝P(H1)P(eq\o(H,\s\up6(－))2)P(eq\o(H,\s\up6(－))3)＋P(eq\o(H,\s\up6(－))1)P(H2)·P(eq\o(H,\s\up6(－))3)＋P(eq\o(H,\s\up6(－))1)P(eq\o(H,\s\up6(－))2)P(H3)＝0.36，P(A2)＝P(H1H2eq\o(H,\s\up6(－))3＋H1eq\o(H,\s\up6(－))2H3＋eq\o(H,\s\up6(－))1H2H3)＝P(H1)P(H2)P(eq\o(H,\s\up6(－))3)＋P(H1)P(eq\o(H,\s\up6(－))2)P(H3)＋P(eq\o(H,\s\up6(－))1)P(H2)P(H3)＝0.41，P(A3)＝P(H1H2H3)＝P