空间向量的数量积运算 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册_第1页
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新授课1.1.2空间向量的数量积第一章空间向量与立体几何温故知新1、空间向量的相关概念2、空间向量的性线运算3、空间向量的共线、共面(1)空间任意两个向量是共面的.(2)

温故知新知识点1：空间向量的夹角及其表示思考：类比平面向量的数量积，你能得出空间向量的数量积相关知识吗？

已知两个非零向量a，b,在空间任取一点O、作=a，=b,则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作<a，b>.

baba如果<a，b>=,那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b.

0≤<a,b>≤π.知识点2：空间向量的数量积

知识点3：空间向量的投影向量到平面的投影向量到向量的投影向量到直线的投影

向量的数量积运算类似于多项式运算，平方差公式、完全平方公式、十字相乘的均成立.(λa)・b=λ(a・b)，λ∈Ra・(b+c)=a・b+a・c(分配律)a・b=b・a(交换律)知识点4：空间向量数量积的运算律

思考总结例1、(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)已知直线m，n是平面α内的两条相交直线，如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α.题型讲解因为直线m与n相交,所以向量m,n不平行.由向量共面的充要条件可知,存在唯一的有序买数对(x,y),使g=xm+yn.将上式两边分别与向量l作数量积运算,得l·g=xl·m+yl·n.因为l·m=0,l·n=0,所以l·g=0.所以l⊥g.这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线,所以l⊥α.变式1、(课本P8练习T1)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若

，则AB1与BC1所成角的大小为()A.60°B.90°C.105°D.75°

ABCC1A1B1利用数量积证明垂直问题：归纳总结(3)利用数量积运算完成判定．(2)用已知向量表示未知向量．(1)将所证明垂直的线段设为向量．

归纳总结利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：角转化取向量求余弦值定结果异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量的夹角求分弦值应将余弦值加上绝对值，继而求角的大小．利用数量积求向量夹角的余弦值或夹角的大小；异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；

归纳总结利用空间向量求线段的长度或两点的距离：(2)用已知模和夹角的向量表示该向量；(1)结合图形将所求线段用向量表示；(3)利用，通过计算求出，即得所求线段的长度或两点间的距离．

1、如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．

(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；

(2)求MN的长；

(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．巩固练习2、如图所示，在平行四边

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