二重积分的第某中学值定理

目录

1引言.....................................................1

2微分中值定理.............................................1

2.1微分中值定理的基本内容....................................2

2.1.1罗尔中值定理..........................................2

2.1.2拉格朗日中值定理......................................2

2.1.3柯西中值定理..........................................3

2.1.4微分中值定理的二元函数定义............................4

2.2微分中值定理的应用........................................6

2.2.1证明零点存在性........................................6

2.2.2导数的中值估计........................................6

2.2.3证明有关等式..........................................8

2.2.4证明不等式............................................9

2.2.5函数的单调性........................................9

2.2.6证明函数在区间上的一致连续..........................10

2.2.7用来判定级数的敛散性.................................11

3积分中值定理.............................................11

3.1积分中值定理的基本内容...................................11

3.1.1积分中值定理.........................................11

3.1.2积分第一中值定理.....................................12

3.1.3积分第二中值定理.....................................13

3.1.4积分中值定理的二元函数的三种形式......................15

3.2积分中值定理的应用........................................18

3.2.1用于确定数列的极限...................................18

3.2.2确定函数的极限.......................................19

3.2.3用于判别级数的敛散性.................................19

3.2.4用于确定函数零点的分布...............................20

3.2.5用于证明积分不等式...................................20

3.2.6估计定积分的值.......................................21

4积分第二中值定理的证明..................................22

结束语......................................................25

参考文献...................................................26

致谢......................................................28

二重积分的第二中值定理

XXX

摘要：本文阐述了一元函数微分中值定理、积分中值定理的基本内容

及其证明，并通过典型例题，深入探讨正确理解和应用一元函数中值定理的

方法.最后将一元函数微积分理论推广到了二元函数的情形，给出了二元函

数中值定理的形式，并进行了严格地证明.

关键词：微分中值定理；积分中值定理；一元函数微积分理论

Thesecondmeanvaluetheoremofdoubleintegrals

xxx

Abstract:ThispaperexpoundsthebasiccontentsandtheproofoftheUnary

functionDifferentialmeanvaluetheoremandtheIntegralmeanvaluetheorem.

HowtounderstandandusetheUnaryfunctionMeanvaluetheoremcorrectlyis

discussedthroughthetypicalexamples.Finally,theUnaryfunctioncalculustheory

isextendedtothecaseofabinaryfunction.Thentheformofbinaryfunctionvalue

theoremisgivenandarigorousproofisalsoproved.

Keywords:theDifferentialmeansvaluetheorem;theIntegralmeanvalue

theorem;theUnaryfunctioncalculustheory

1引言

通过对数学分析的学习我们知道，微积分学在数学分析中具有举足轻重的地位，它

是组成数学分析的不可缺失的部分.对于整块微积分学的学习，我们可以知道中值定理在

它的所有定理里面是最基本的定理，也是构成它理论基础知识的一块非常重要的内容.由

此可知，深入的了解中值定理，可以让我们更好的学好数学分析.通过对中值定理的研

究，我们可以得到它不仅揭示了函数整体与局部的关系，而且也是微积分学理论应用的

基础。

随着科技时代的发展，数学也随之大步前进.其中，微积分的创立，为数学的发展奠

定了不可磨灭的基础.积分中值定理是作为微积分中的一个重要性质，而且在数学分析的

学习过程占有很重要的地位，对于后续课程的学习也起着较大作用，在此我就把积分中

值定理及其应用简单清晰论述一下.

通常情况下，积分中值定理包含第一积分中值定理、第二积分中值定理.而在此我们

既讨论了在特殊情况下的积分中值定理，即在一个区间上的情形.还讨论了在几何形体上

二重、三重积分的情形的积分中值定理.并且这两个定理在各个方面的应用都较为广泛，

比如物理学和数学.我们将积分中值定理加以应用，把微积分体系中比较基础的东西找出

更为简单的解决方式：数学中一些定理的证明，数学定理、命题，几何应用，含定积分

的极限应用，确定积分符号，比较积分大小，证明函数单调性，估计积分值.虽然有时第

一积分中值定理在处理一些积分极限问题上显得很繁琐，但是我们仍然可以把它当作一

个基础定理，解决一些现实问题.

本课题的研究过程为：讨论和分析积分中值定理，然后将其加以推广，讨论各个积

分中值定理中的中间点的渐进性质，最后论述了积分中值定理在各方面的应用问题.

课题研究的主要目标则是通过研究和分析积分中值定理、推广、渐进性，将各方面

的应用如：估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数

的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明总结出积分中值定理

并把其以论文的形式整理出来。

2微分中值定理

1

2.1微分中值定理的基本内容

2.1.1罗尔中值定理

定理2.1（罗尔中值定理）若函数“X）满足如下条件：

（1）4X）在闭区间a切上连续；

（2）/（x）在开区间（a,Z?）内可导；

（3）于（a）=f3）.

则在开区间（a,6）内至少存在一点使得

/©=。.

证明由⑴知/（九）在［a,可上连续，故/（尤）在［a,可上必有最大值〃和最小值相，

此时，分两种情况来谈论：

（a）若M=*即"％）在［a,可上得最大值和最小值相等，此时为常数,

/（£）="=加，所以（（力=0,因此，可知J为（a,。）内任意一点都有广（4=0；

（b）若/＞加，因为/（a）=/他），使得最大值/和最小值加至少有一个在（a,。）内

某点J处取得，从而J是/的极值点，由条件⑵/在点J处可导，故由费马定理推知，

r（^）=o.

2.1.2拉格朗日中值定理

定理2.2（拉格朗日中值定理）若函数/（x）满足如下条件：

（1）4X）在闭区间a切上连续；

（2）/（x）在开区间（a,6）内可导.

则在开区间（a,b）内至少存在一点看，使得

广©=胃…

b-a

证明（利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理）上式又可以写为

r©_于⑻-/⑷=0

b-a

2

作辅助函数

F(x)=/(%)-于(b「)于⑷(%_。)

显然，尸⑴在［a,可上连续，在(a,上可导，且

F(a)=f(a)------------(a—a)=/(a)

b-a

F⑹=/3)-$—a)=/(a)

b-a

=^>F(t7)=F(Z?).

所以由罗尔中值定理知，在(〃力)内至少存在一点使得9(3=0,即

尸⑷

b-a

2.1.3柯西中值定理

定理2.3(柯西中值定理)若函数/(x),g(x)满足如下条件：

(1)在闭区间切上连续；

(2)在开区间(a,6)内可导；

(3)f'(x),g'(x)不同时为零；

(4)g(a)丰g(b).

则在开区间(a,b)内存在一点二，使得

尸©/(»-/(/

g'C)g(b)-g(a),

证明作辅助函数

Mx)=/(x)-f(b)--曾(g(x)—g(a)).

g［b)-g［a)

易见R在［a力］上满足罗尔定理条件，故存在Je(a力)，使得

/6)=/0一喏乜*gM)=o.

g\b)-g\a)

因为g'(J)wO(否则由上式/‘⑥也为零)，所以可把上式改成

3

-(a)

g'仔)g(")-g(a)'

2.1.4微分中值定理的二元函数定义

定理2.4(二元函数的罗尔定理)设二元函数了在有界闭域方上连续，在开区域。

内可微分，且在的边界S上函数值相等，即对任意弘)GS,(z，y2)eS,有

/(七,％)=/(%％)，则在。内至少有一点3使.4(%,y)|&")=0.

证明因为/'(x,y)在有界闭区域方上连续，根据多元函数的最大值最小值定理

f(x,y)在万上取得最大值M和最小值m,分两种情形证之：

(1)如果则/(x,y)在万上取得相同的数值/(x,y)=",(对任意

(x,y)eD).故可在£>内任意取一点作为C，〃),使中(x,y)|e，〃)=O.

(2)如果则M,“7中至少有一个不等于/(x,y)在方的边界S上的数值，不

妨设(对任意(x,y)eS),则在。内必定至少存在一点(,〃)，使

.这表明©〃)eD,由费尔玛定理便得到df(x,y)|/㈤=0.

定理2.5(二元函数的柯西中值定值)如果函数/(x,y),g(x,y)在闭凸区域。上连

续，在开区域。内可微,且dg(x,y)w0.(x,y)为。内任一点.

贝U对D内任意两点Af(x。,yo),N(x。+/z,»+左)，至少存在一点(J,〃)wACV(联结MN的线

段，加u£)),使得

/(%+丸，％+丸)-/(%，%)=/.,旬值力

g(x0+h,y0+h)-g(x0,y0)g(x,y)''

证明为了利用一元函数的柯西中值定理，作代换

x=Xo+th,y=yo+tk(0<t<1).

引入

(p(t)=/(xo+th,yo+tk),。⑺=g(xo+th,yo+tk).

易见，由连续、可微、复合而成的函数9⑺，。⑺在［0』上连续，在(0,1)内可微，

且

“⑺w0(/<0,1)).

4

则根据一元函数柯西中值定理，至少存在一点2G(O,1)使下式成立.

/(xo+A,y+k)-f(x,yo)夕⑴一"(0)夕’(「)(p'(t)dt

00-——\t-P

g(%o+h,yo+k)~/(xo,yo)--。⑴一。(0)。'(夕)--“⑺力

df(xo+th,+tk)df(xo+ph,y+pk)

~\—p~0•

dg(%o+th,yo+tk)dg(xo+ph,yo+pk}

取

=Xo+ph,77=/+pk,(J,〃)GMN,

由于。是凸域，故有

记力)eD.

则

/(Xo+h,次+左)—/(Xo,yo)df{x,y)

--------------------------------=-----------1(f,必.

g(xo+h,y»+k)-y(Xo,yo)dg(x,y)

定理2.6(二元函数的拉格朗日中值定理)设/(x,y)在有界闭凸区域方上连续，在

开区域。内可微，M(xo,y»)eD,则对。内任意一点N(x°+〃,y0+Q,有

/(xo+h,y«+k)-f(x«,yo)=hfic(xo+ph,y»+pk)+kfy(x«+ph,y0+pk)(O<p<l).

证明令

x-x(>+ph,y=yo+pk.

构造新的函数

(p(t)—f{xo+th,y+tk),0<Z<1.

由/(x,y)的连续性，可微性及复合关系，易见。⑺在［0』上连续，(0,1)内可微，

由一元函数的拉格朗日中值定理，至少存在一点2e(O,l),使得

吗—：(0)=叭0=。，⑺।。

1-U

又由于

0(D=f(x0+h,y»+k),0(0)=f(%o,y0),

且

夕'(力=hfi(xo+th,yo+tk)+kfy(xo+th,yo+t,k).

而。是凸域，故有

5

f(xo+/z,+左)一/(xo,%)=hfx(xo+ph.+pk)+kfy(xo+ph.yo+pk)

成立.

2.2微分中值定理的应用

2.2.1证明零点存在性

例2.1设qeR且满足4+幺+&+...+/工=0,证明方程

23n+1

2

a0++o2x+...+4%"=0在(0,1)内至少有一个实根.

证明引进辅助函数

X2X3xn+1

厂(%)—U-QX+-------F%----F...+C1-----,

23n〃+1

显然

尸(0)=/⑴=0.

砥X)又是多项式函数，在［0,1］上连续，在(0,1)可导，即砥X)满足罗尔中值定理的条件，

故存在

会(0,1),

使

F©=0.

而

2

F'(x)=a0+a2x+...+anx",

故方程

l2n

a0+axx+a2x+...+anx=0

在(0,1)内至少有一个实根之

2.2.2导数的中值估计

例2.2设“X)在［a,切上二次可微，尸3)=/(加=0,则至少存在一点。€3力),使得

6

2

,钻）127r高⑷卜

（。一CZ）

证明因为函数/（X）在与［等力］上可导，所以由中值定理有

/亭）-/⑷a+b

r（q）=F^--------,qe（a，T）,（2.1）

------Cl

2

—a+b

rc）=jqe（亍⑨，（2.2）

b-----

2

（2.1）+（2.2）,并整理得

2

r（c）+r（）=-­[/（&）-/（^）].（2.3）

2C1b-a

又fXa）=f'（b）=0,且/（x）在［a,b］上二次可微,则分别在（a,q）与©㈤内至少存在。与乙，

使

=/〃©）©e（a,q）（2.4）

cx-a

〃），髀（。2力）

^^=/6（2.5）

c.~b

（2.4）+（2.5）,并整理得

（2-6）

r（c2）+r（q）=n^）（q-a）+m）（c2-&）.

将（2.6）式代入（2.3）式得

2

--—3）-f（a）\=I-1一a）+f"^2）（c2-b）\.

b-ci

令

|_fG）|=max{夕（到""④）|},

则

--『3）7（砌八翻©）|付临-“/④心-4

0—（1

即

2

|/（打>-~~^1/3）-/囱，e3,3.

（b—a）

7

2.2.3证明有关等式

例2.3设函数“X)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且/(0)=0,/⑴=1.试证：对任意给

定的正数a1在(0,1)内不同的。，〃使

ab7

------1------=〃+/?.

r©八〃)

证明由于a力＞0所以0＜，＜1.

a+b

又由于“X)在［0,1］上连续且/(0)=0,/(1)=1.由介值性定理,三w(0,1)使得

a

/«)=

a+b

/(x)在［0,7］,忆1］上分别用拉格朗日中值定理有

/(7)-/(O)"CL，

即

/⑺=(0"),

/(I)-f3=(l-r)/,(7)，7e0,1)•

即

1-f3=(1-7)尸①),7e(r,l).

于是由上面两式有

1「=—«)_b

f'(n)(a+〃)/'(〃)’

,：/(r)a

—fg)(a+b)fg)'

将两式相加得

1ab

I=+.

(a+b)f解)(a+b)f'(rj)

即

ab7

I—〃+/?.

rofw

8

2.2.4证明不等式

例2.4设0<bWa,证明

abb

证明显然等式当且仅当。=b>0时成立.

下证当OvbVQ时，有

a-b1aa-b

------<ln—<------.（2.7）

abb

作辅助函数

f（x）=inx.

则f（x）在［b,a］上满足拉格朗日中值定理，则遮w（瓦a）使

］na-］nb_1

（2.8）

a-b4

由于所以

111

（2.9）

ab

由（2.8）,（2.9）有

1Ina-inb1

—<-------<—.

aa-bb

即

a-biaa-b

------<In—<------.

abb

2.2.5函数的单调性

例2.5证明：若函数/（x）在［O,a）可导，/（x）单调增加，且"0）=0,则函数△^在

X

（O,a）也单调增加.

证明对任意和％2G（0,。）,且占<%2,则/（X）在［0,占］与［西,尤2］均满足拉格朗日中值定

理条件，于是分别存在Ge（0,X1）,c2€（石,々）,使

/（Ci）=/（^Z（o）

Xj-0

9

广⑷J区）TQJ

々7］

由于f\x）单调增加，且/（0）=0,所以

/（西）＜/区）一/（西）

Xi

从而

f（xj</区）

X]x2

2.2.6证明函数在区间上的一致连续

例2.6设函数/（x）在（0,1］内连续且可导，有lim&r（x）=0,证明：/（x）在（0,1］内

一致连续.

证明由函数极限的局部有界性知，存在M＞0和ce（0,l）,使

^/xf（x^＜M,xe（0,c］.

于是€（0,。］,且工产％2不妨设花＜%2由柯西中值定理，26（和12），有

/5）-/（芯）/©标尹（八

。旧一乐石巡

即

故

Ve>0,38=min{（—）2,c}.

2M

当玉e（O,c］,且k2-玉|＜方时，由上面两式得到

<£.

由于/（x）在（0,1］上连续，所以“X）在［c,l］上一致连续.

10

2.2.7用来判定级数的敛散性

例2.7设函数/(x)在点x=0的某邻域内有二阶连续导数，且lim△皿=0,证£/(-)绝

7xZ1n

对收敛.

证明由lim△立=0且/(x)在x=0可导，知/(0)=0,尸(0)=0.

X-0X

故了(%)在点％=0处的一阶泰勒公式为：

/(x)=/(0)+/(0)x+，e(0,x).

因/故

|/(X)|=lfW<yX2.

取x」有

n

卜|n斗|Q2n

由于二£丝A/f(与1收敛，由比较判别知产£./(1-)绝对收敛.

n=l2Yl«=1〃

3积分中值定理

3.1积分中值定理的基本内容

3.1.1积分中值定理

定理3.1(积分中值定理)：如果函数"X)在闭区间［a,可上连续，则在区间［a,可上

至少存在一个点3使下式

eb

［f(x)dx=f(^)(b-a),(a<^<b)

Ja

11

成立.

证明由于5-〃>0,同时除以可得

1rb

m<----［f{x)dx<M.

b-aJa

此式表明----f/(x)力:介于函数/(x)的最大值Af和最小值机之间.

b-aJa

由闭区间上连续函数的介值定理可得，在闭区间［a,可上至少存在一点使得函数

"X)在点J处的值与这个数相等，即应该有

12

----J于(x)dx=于0

b-aJa

成立，将上式两端乘以6-〃即可得到

rb

f/(x)dx=/G)(5—a),(aw占Wb)

Ja

命题得证.

3.1.2积分第一中值定理

定理3.2(积分第一中值定理)如果函数/(x)在闭区间［a,可上连续，g(x)在(a,。)

上不变号，并且g(x)在［a,可上是可积的，则在［a,可上至少存在一点使得

［/(x)g(x)dx=/G)［g(x)公，(a<^<b)

JaJa

成立.

证明由于g(x)在［a,可上不变号，我们不妨假设g(x)20,并且记/(x)在［a,可上的

最大值和最小值为M和m，即

将不等式两边同乘以g(x)可知，此时对于任意的x^［a,b］都有

mg(x)<g(x)f(x)<Mg(x)

成立.

对上式在［a,可上进行积分，可得

m\g{x}dx<\f(x)g(x)dx<Mg(x)dx

JaJaJa

此时在私M之间必存在数值〃，使得即有

12

/(x)g(x)公=〃g(x)dx

JaJa

成立.

由于/(x)在区间［上可上是连续的，则在［a,可上必定存在一点自，使/《)=〃成立.此

时即可得到

(*brb

f/(x)g(x)dx=/e)Jg(x)dx

JaJa

命题得证.

3.1.3积分第二中值定理

定理3.3(积分第二中值定理)/(九)在区间加上可积，°(九)在区间加上单

调，那么在勿上存在内点使得

j/(x.(x)tZr=°(a+0)协+。仅一0)j.

特别的，当o(x)在区间［a/］两端连续时，有

jf{x}(p{x}dx=(p{a}^f(x)dx+f(x)dx.

证明用T表示区间［a,万)上的一个划分天,玉,％2…Z，4表示划分的最大长度，设

火龙)非负且单调不增.

将得到

、2工『b

Z。©)1f(x)dx->J/(x)(p(x)dx，其中.T一短V/.

''JXn1Ja

k=l&T

用〃表示I/(%)|在区间[a,回的上确界,令

A=J：f{x}cp{x}dx-20©)J：f^x)dx,

则

|A|=|2L[Vfc[^(^)-^(x)]/(x)tZx|

_72_

v-0(xQ]4(¥t-Xj)

k=\

W[卬(a)—0(。)]

13

因为7rf0,则Af。，即(刍)「f{x}dxff{x}(p{x}dx-

WJ"J。'

下面将用Abel引理变换上面的式子.

令

4=\Xkf{x}dx,伏=0,1,2,..,〃)，

2a

那么

〃rxn

t/(X)。X=Z0(4)A-A"1)

k=l4Tk=l

n—1

=z4[。砥)-0(盘+1)]+AM口

k=l

分别用M和机来表示J”f(u)du的在区间［a,b］的上下确界，显然有m<4tWM,

令

n—1

S=£AS©)—0©+。］+A。©)，

k=l

由于9(%)单调不增且非负，则有：

m(p{^<S<M(p{^,

当/7­()时，有

a

°&)—°(a+0),SfJf(x)(p(x)dx.

不等式可写为

nup(a+0)<jf{x}(p{x}dx<M(p(a+0).

根据f的连续性，区间［a,勿存在内点J,使得

Ja

ff(x)(p(x)dx=(p(a+0)f(x)dx.

JaJa

如果"(%)非负且单调不减，令

x=b-y,

则

14

cbeb-a

£f(x)(p(x)dx=£f(b-y)(p3-y)dy=(p(b-0)£f(b-y)dy

=(p(b—0)\：J(x)dx.

其中

a<<^=b-r/<b.

因此

fZ?rb

Jf{x}(p{x}dx=(p(b-0)jEf(x)dx.

综合可得，当9(%)在区间勿上单调，积分第二中值定理可表述为

jf{x}(p{x}dx=(p{a+0)f(x)dx+(p(b-0)Jf{x}dx,

特别地，若9(%)在区间［a,4上单调且连续，则

Jf{x}(p{x}dx=(p{d}^f(x)dx+(p(b)\_f(x)dx.

3.1.4积分中值定理的二元函数的三种形式.

定理3.4(二元函数中值定理的第一种形式)若二元函数/(x,y)在点%(%,%)的邻域

G存在两个偏导数，则V(x()+Ax,%+Ay)eG,全改变量

M=/(x0+Ax,y0+Ay)-f(x0,%)

=f\(/+y0+Ay)Ar+f'y(x0,y0+

其中o<q<i,o<%<L

证明显然，若点(%0+Ax,%+Ay)eG,则点(x。,%+Ay)与(%+Ax,%)eG,

且连接两点(x0+Ax,y0+Ay)与(x0,y0+Ay)或(x0+Ax,y0+Ay)与(x0+Ax,y0)的线段也属

于G,如图3.1

15

图3.1

为此，将全改变量Az改写为如下形式

△z=/Oo+Ax,y0+Ay)-/(x0,y0)

=lf(x0+Ax,y0+Ay)-f(x0,y0+Ay)］+［f(x0,y0+Ay)-f(x0,y0)］

上述等式右端第一个方括号内，y=%+Ay是常数，只是x由%变到%+Ax；第二

个方括号内x=X。是常数，只是y由为变到为+Ay

根据一元函数中值定理，有

Az=/(x0+Ax,y0+Ay)-f(x0,y0),

=A(尤()+y0++f\(%，%+•

其中o<q<i,o<%<L

定理3.5(二元函数中值定理的第二种形式)设二元函数/在凸区域。uR2上连续，

在D所有的内点都可微，则对。内任意两点尸(a/),Q(a+〃力+幻e存在某，(0<夕<1)

使得

f(a+h,b+k)-f(a,b)-f'x(a+0h,b+0k)h+f'y(a+0h,b+0k)k.(3.1)

证明令

帕)=f(a+th,b+tk).

它是定义在［0,1］上的一元函数，由定理中的条件知。⑺在［0,1］上连续，在［0,1］可微，

于是根据一元函数中值定理，存在仇0<。<1)使得

0⑴-0(0)=〃，).(3.2)

由复合函数的求导法则可得

^'(^)=f'x+Oh,b+0k}h+f'y(a+Oh,b+3k)k.(3.3)

由于。是凸区域，所以

(a+0h,b+0k)GD.

故由(3.2)、(3.3)即得所要证的(3.1)式.

16

定理3.6（二元函数中值定理的不等式形式）设二元函数/（x,y）在凸区域。6露内

任取一点，沿任意方向的方向导笠存在一致有界，即存在私"使得机42则对。内

81dl

任意两点尸（。力），Q（a+/z,b+k）有

f

m＜（Q[;呼）＜n,其中p（P,Q）=^h2+k2.（3.4）

P（P,Q）

为证这个定理，先叙述一个引理.

引理3.1设二元函数/■（工,、）在凸区域。的内点与（a力）沿方向L的方向导数存在，

图3.2

证明对任意加,“'，加＜根,〃'＜几先证

（3.5）

P（P,Q）

然后在（3.5）式取极限加—私4一九（先固定P,Q）

用反证法（3.5）式，假设存在。内点P,Q使

（3-6）

P（P,Q）'

则

FQ）＞〃力（耳。1）+〃耳＞

把线段4。1上各点按到点A的距离大小排列，线段＜0上任意两点4小，当。到A的

距离小于G到《的距离时，就记为乙＜小从而可令

。0=inf{Q"⑺>rfp(t,Pl)+)=g(t),Q<t<Ql].

由引理得f（x,y）沿方向片。i连续,

故有

17

4一。0<0,且—〃力（片,。1）+/（片）.

如图3.2

对Qo<Q<Qi，

于⑼一于（Q。）「力@用+/（即-[〃》（Q。,<）+/（[）]

P（2，Q）夕（2,Q）

则/在为沿耳0方向导数〃矛盾.

dl

所以

----------------<n.

P（P,Q）

类似可证（3.5）式左边，从而（3.4）式成立.

3.2积分中值定理的应用

3.2.1用于确定数列的极限

例3.1证明lim『'一dx=0.

n—>ooJO]+1

证明应用推广的积分第一中值定理，有

ixnId/

limfr-----dx=lim------\x的

n—>ooJ。]+1n—>co]+J*0

=limf1------------二0.

coJo1+羡〃+1

例3.2证明lim「"包匕&=0,〃为某实数.

n—>ooJnJQ

证明由积分第一中值定理，有

为介于〃与〃+夕之间的某值，则

111.111g-1,

—<=<------^—>—>-------，而卜injjwi.

n0n+pn荔n+p

18

由无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量及迫敛性得

•n+psinx.八

lim-ax=0.

00nx

3.2.2确定函数的极限

例3.3设函数/（x）连续，且〃0户0,求极限期

解令

x—t=u,

则

［卜一垃=（-M）=@,

因为所求函数为型不定式，有洛必达法则及积分中值定理有

=lim--------------------=lim-----——

…J；/⑺力+犷⑺⑷x++V（x）

二um———----------=—

^/（0）+/（0）2

此处专为介于0与龙之间，由/（X）连续有lim/（^）=/（O）.

3.2.3用于判别级数的敛散性

800

例3.4设“X）单调下降且非负，a〉l.证明与有相同的敛散性.

k=lk=l

n+100Jl+100

证明f/（%炉=工”短乂六-〃）

k=0k=0

8

k=0

19

因为八％)递减非负，

故

(C_1A

----泛n/(一)产V［n+\〃加三("1法./(办卜、

ak=ok=o

这表明「"X协与有相同的敛散性；

k=0

另一方面，根据积分法判别『7(”公与之/㈤有相同的敛散性，

&=0

由此既得所要结论.

3.2.4用于确定函数零点的分布

例3.5设函数/(%)在［a,可上连续，(a,。)内可导，且