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文档简介
2021年中考数学总复习:专题17全等三角形判定与性质定理
1.基本概念
(1)全等形:能够完全重合的两个图形叫做全等形.
(2)全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.(注意对应的顶点写在对应的位置上)
(3)对应顶点:全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.
(4)对应边:全等三角形中互相重合的边叫做对应边.
(5)对应角:全等三角形中互相重合的角叫做对应角.
2.全等三角形的表示
全等用符号“名”表示,读作“全等于"。如aABC丝ADEF,读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
注:记两个全等三角形时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3.全等三角形的性质:全等三角形的对应角相等、对应边相等。
4.三角形全等的判定定理
(1)边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)
(2)角边角定理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”)
(3)边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。
(4)角角边定理:两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成AAS).
5.直角三角形全等的判定:
HL定理:有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边"或“【IL”)
【例题1】(2020•甘孜州)如图,等腰△NBC中,点、D,£分别在腰NC上,添加下列条件,不能判定
△ABE注"CD的是()
第1页共25页
A
A.AD=AEB.BE=CDC.NADC=NAEBD.NDCB=NEBC
【答案】B
【解析】利用等腰三角形的性质得AB=AC,然后根据全等三角形的判定方法对各选项进
行判断.
为等腰三角形,
:.NABC=NACB,AB^AC,
.•.当■时,则根据“SZS”可判断△/8£四八48;
当NAEB=NADC,则根据“4/S”可判断△N8E会△NCZ);
当NDCB=NEBC,则/根据“/S/”可判断△/BEgZUCD.
【对点练习】如图,已知/ABC=NDCB,添加以下条件,不能判定△ABCWZXDCB的是()
A.ZA=ZDB.ZACB=ZDBCC.AC=DBD.AB=DC
【答案】C.
【解析】全等三角形的判定方法有SAS,ASA,AAS,SSS,根据定理逐个判断即可.
A.ZA=ZD,ZABC=ZDCB,BC=BC,符合AAS,即能推出△ABCgZXDCB,故本选项错误;
B.ZABC=ZDCB,BC=CB,ZACB=ZDBC,符合ASA,即能推出AABCgADCB,故本选项错误;
第2页共25页
C.ZABC=ZDCB,AC=BD,BC=BC,不符合全等三角形的判定定理,即不能推出AABC也△口□?,本选项正确;
D.AB=DC,ZABC=ZDCB,BC=BC,符合SAS,即能推出AABC岭Z^DCB,故本选项错误。
【例题2】(2020•北京)如图,在△N8C中,AB=AC,点。在上(不与点8,C重合).只需添加一个
条件即可证明△N8Z)丝△4CZ),这个条件可以是(写出一个即可).
【答案】BD=CD.
【解析】由题意可得N/8C=NZC。,AB=AC,即添加一组边对应相等,可证与△/CD全等.
':AB=AC,
:.ZABD=ZACD,
添加BD=CD,
...在与中
AB=AC
乙ABD=Z.ACD,
BD=CD
.'.△ABD会"CD(SAS),
【对点练习】(2019齐齐哈尔)如图,已知在回和△比尸中,/6=/区BF=CE,点、B、F、C、£在同
一条直线上,若使△/比二△龙五,则还需添加的一个条件是(只填一个即可).
【答案】AB=DE.
第3页共25页
【解析】添加AB=DE;
':BF=CE,
:.BC=EF,
'AB=DE
在△/比和△应7;'中,<ZB=ZE-
,BC=EF
:.XABC会XDEF(5215)
【例题3】(2020•荷泽)如图,在△NBC中,/ZC8=90°,点E在/C的延长线上,ED上4B于点、D,若
BC=ED,求证:CE=DB.
【答案】见解析。
【解析】由"/4T可证△/尤g△/9,可得4E=/8,AC=AD,由线段的和差关系可得结论.
证明:'JEDLAB,
:.N4DE=NACB=90°,ZA=ZA,BC=DE,
.,•△ABC/LAED(AAS),
.'.AE=AB,AC=AD,
:.CE=BD.
【对点练习】如图,点A、I)、C、F在同一条直线上,AD=CF,AB=DE,BC=EF.
(1)求证:△ABC丝DEF;
(2)若NA=55°,NB=88°,求NF的度数.
第4页共25页
BE
【答案】见解析。
【解析】求出AC=DF,根据SSS推出AABC丝ADEF.由(1)中全等三角形的性质得到:ZA=ZEDE,进而得
出结论即可.
证明:(1)VAC=AD+DC,DF=DC+CF,且AD=CF
/.AC=DF
'AB=DE
在aABC和aDEF中,BC=EF
AC=DF
A△ABCDEF(SSS)
(2)由(1)可知,ZF=ZACB
VZA=55°,ZB=88°
/.ZACB=180°-(ZA+ZB)=180°-(55°+88°)=37°
ZF=ZACB=37°
一、选择题
1.(2020•鄂州)如图,在△/08和△CO。中,04=OB,OC=OD,OA<OC,NAOB=NCOD=36".连
接/C,8。交于点M,连接。下列结论:
@ZAMB=36°,(2)AC=BD,③OA/平分N/OD,④A/O平分/ZA/0.其中正确的结论个数有()
个.
第5页共25页
A.4B.3C.2D.1
【答案】B
【分析】由&4s证明△/OC部△80。得出/OC4=NOO8,AC=BD,②正确:
由全等三角形的性质得出NOC4=/OD8,由三角形的外角性质得:ZCMD+ZOCA-ZCOD+ZODB,得
出/CMZ)=NCO£>=36°,NAMB=NCMD=36°,①正确;
作OGJ_4H于G,04_LDM于,,如图所示:则NOG4=NOHB=90°,由44s证明△0G/0
得出OG=OH,由角平分线的判定方法得出。用平分//MA,④正确;
假设0/0平分NZOZ),则/。。加=//。河,由全等三角形的判定定理可得△4M0且△OAfD得4O=OD,
而OC=OD,所以OA=OC,而OA<OC,故③错误:即可得出结论.
【解析】•.•//O8=/COZ)=36°,
,ZAOB+ZBOC=ZCOD+ZBOC,
即/N0C=/2。。,
在△40C和△80。中,
0A=0B
/.AOC=4BOD
0C=0D
:.△AOgXBOD(SAS),
:.NOCA=NODB,AC=BD,故②正确;
•:NOCA=NODB,
由三角形的外角性质得:
第6页共25页
ZCMD+ZOCA=ZCOD+ZODB,
得出NC"O=NCOD=36°,ZAMB=ZCMD=36a,故①正确;
作0GL4〃于G,OHLDM于H,如图所示,
则NOG4=NO〃B=90°,
在△OGZ和△OHB中,
(ZOGA=NOHB=90°
^\/.OAG=Z.0BH,
(。4=OB
:•△OGAqAOHB(A4S),
:,OG=OH,
・・・OM平分N/MQ,故④正确;
假设OM平分N4。。,则/。OA/=NZOM,
在△4MO与△Z)MO中,
(ZA0M=ND0M
\0M=0M,
{/.AMD=乙DM0
:./XAMO^/XOMD(4SZ),
:.AO=ODf
•:OC=OD,
:.OA=OC,
而。力VOC,故③错误;
第7页共25页
正确的个数有3个.
2.如图,若AABC丝ZXDEF,ZA=45°,ZF=35°,则NE等于()
A.35°B.45°C.60°D.100°
【答案】D.
【解析】VAABC^ADEF,ZA=45°,ZF=35°
,/D=NA=45°
AZE=180°-ZD-ZF=100°.
3.(2020安顺模拟)如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于0点,已知AB=AC,现添加以下
的哪个条件仍不能判定△ABEg/\ACD()
A.ZB=ZCB.AD=AEC.BD=CED.BE=CD
【答案】D.
【解析】欲使△ABEZ^ACD,已知AB=AC,可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件,逐一证明
即可.
VAB=AC,NA为公共角,
A.如添加NB=NC,利用ASA即可证明4ABE也4ACD;
B.如添AD=AE,利用SAS即可证明△ABE^^ACD;
第8页共25页
C.如添BD=CE,等量关系可得AD=AE,利用SAS即可证明AABE丝△ACD;
D.如添BE=CD,因为SSA,不能证明△ABEW^ACD,所以此选项不能作为添加的条件.
4.如图,AB_LCD,且AB=CD.E、F是AD上两点,CE±AD,BF±AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为
()
A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c
【答案】D.
【解析】只要证明△ABFgZ\CDE,可得AF二CE=a,BF=DE=b,推出AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c;
VAB1CD,CE1AD,BF±AD,
/.ZAFB=ZCED=90°,NA+ND=90°,NC+ND=90°,
AZA=ZC,VAB=CD,
AAABF^ACDE,
AAF=CE=a,BF=DE=b,
VEF=c,
AAD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c
5.如图,ZACB=90°,AC二BC.AD±CE,BE1CE,垂足分别是点D、E,AD=3,BE=1,则DE的长是()
第9页共25页
E、
/
Ac
A.-1-B.2C.2A/2D.-\/10
【答案】B.
【解析】根据条件可以得出/E=/ADC=90°,进而得出△CEBgZ\ADC,就可以得出BE=DC,就可以求出DE的
值.
VBE±CE,AD1CE,
AZE=ZADC=90°,
AZEBC+ZBCE=90°.
VZBCE+ZACD=90°,
二ZEBC=ZDCA.
在ACEB和AADC中,
'/E=/ADC
<ZEBC=ZDCA.
BC=AC
.1△CEBg△ADC(AAS),
/.BE=DC=1,CE=AD=3.
;.DE=EC-CD=3-1=2
6.如图,AABC丝Z\AEF,AB=AE,ZB=ZE,则对于结论①AC=AF,②/FAB=/EAB,③EF=BC,©ZEAB=Z
FAC,其中正确结论的个数是()
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E
A
BFC
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C.
【解析】VAABC^AAEF,
,AC=AF,故①正确;
ZEAF=ZBAC,
,/FAC=NEAB#/FAB,故②错误;
EF=BC,故③正确;
NEAB=/FAC,故④正确;
综上所述,结论正确的是①③④共3个.
二、填空题
7.(2020•齐齐哈尔)如图,已知在△N8D和△N8C中,NDAB=NCAB,点、A、B、E在同一条直线上,若
使△A8D岭△/8C,则还需添加的一个条件是.(只填一个即可)
【答案】AD^AC(/。=/。或//8。=/718。等).
【解析】利用全等三角形的判定方法添加条件.
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■:/DAB=NCAB,AB=AB,
,当添加/D=/C时,可根据“SAS”判断丝△Z8C;
当添加N£»=NC时,可根据“44S”判断丝△/BC;
当添加/力时,可根据“4SZ”判断△48。g△/8C.
8.(2020•辽阳)如图,在△Z8C中,M,N分别是和4c的中点,连接MM点£是CN的中点,连接
M£并延长,交8c的延长线于点D若BC=4,则CZ)的长为.
【答案】2
【解析】依据三角形中位线定理,即可得到MN=48C=2,MN//BC,依据△A/NE丝△£)(“(44S),即可得
到CD=MN=2.
,:M,N分别是Z8和/C的中点,
MN是△/BC的中位线,
:・MN=1$C=2,MN//BC,
:"NME=4D,ZMNE=ZDCE,
・・,点E是CN的中点,
:・NE=CE,
:.AMNEQADCE(AAS)f
:・CD=MN=2.
第12页共25页
9.(2020•黑龙江)如图,RtZXNBC和中,NB=ND,在不添加任何辅助线的情况下,请你添加
一个条件,使RtAABC和RtAEDF全等.
【答案】AB=ED.
【解析】本题是一道开放型的题目,答案不唯一,可以是或8C=Z>/或/C=E/或等,
只要符合全等三角形的判定定理即可.
添加的条件是:AB=ED,
理由是::在△NBC和尸中
\AB=ED>
■=4DEF
:./\ABgAEDF(ASA)
10.(2019四川成都)如图,在中,AB=AC,点〃,£都在边回上,ZBAD-ZCAE,若5庐9,则B的长
为.
【答案】9
【解析】此题考察的是全等三角形的性质和判定,因为是等腰三角形,所以有/斤/C,NBAF/CAE,
AABD-£ACE,所以△4®=△4四(454),所以的二次,EC=9.
11.(2019•湖南邵阳)如图,己知志=幽请你添加一个条件,使得你添加的条件是__.(不
添加任何字母和辅助线)
第13页共25页
A
【答案】AB=AC或/ADC=NA必或N/班1=N/5。
【解析】根据图形可知证明屋△/!旗已经具备了一个公共角和一对相等边,因此可以利用ASK.SAS.
44S证明两三角形全等.
VZA=ZA,AD=AE,
...可以添加此时满足S4S;
添加条件而,此时满足4必;
添加条件/4跖=AACD,此时满足AAS,
故答案为力6=4。或乙似7=NAEB或NABE=NACD。
12.(2019•山东临沂)如图,在△力比■中,ZJCS=120°,BC=4,〃为的中点,DCVBC,则△/欧的面
积是—.
【答案】8M.
【解析】根据垂直的定义得到/风力=90°,得到长切到〃使加=或,由线段中点的定义得到/〃=即,根
据全等三角形的性质得到/〃=8C=4,N〃=/8(N=90°,求得5=2我,于是得到结论.
':DCLBC,
VZJG?=120°,AZJG?=30°,
第14页共25页
延长a?到〃使DH=CD,
•"为四的中点,
:.AD=BD,
<CD=DH
在与△式»中,,ZADH=ZBDC)
AD=BD
:./\ADIi^/\BCD(5215),
:.AH=BC=4,NH=NBCD=9Q°,
VZJG7=30°,
:.CH=y/3AH=4yf3,
:.CD^243,
•e•△/8C的面积=25^JW»=2X/X4X2,^=8A/"^,
故答案为:8a.
三、解答题
13.(2020•南充)如图,点C在线段8。上,且DELBD,ACA.CE,BC=DE.求证:AB=CD.
第15页共25页
BD
【答案】见解析。
【解析】证明(ASA\可得出结论.
证明:9:ABLBD,EDLBD,ACLCE,
:・NACE=/ABC=/CDE=90。,
AZACB+ZECD=90°,ZECD+ZCED=90o,
・•・ZACB=ZCED.
在△/BC和△COE中,
(/ACB=NCED
、BC=DE,
{/-ABC=Z.CDE
:.△ABSACDE(ASA)f
:.AB=CD.
14.(2020•矫口区模拟)如图,点。在48上,点£在力。上,AB=AC,/B=/C,求证:BD=CE.
A
s
第16页共25页
【答案】见解析。
【解析】要证6O=CE只要证明力。=力后即可,而证明则可得力。=4K
证明:在△Z5E与△4C。中
(ZA=ZA
\AB=AC,
UF=ZC
J△ABE//\ACD.
:・AD=AE.
:・BD=CE.
15.(2020•铜仁市)如图,/B=/E,BF=EC,AC//DF.求证:/XABC^/XDEF.
【答案】见解析。
【解析】首先利用平行线的性质得出N4C8=N。照,进而利用全等三角形的判定定理4S4进而得出答案.
证明:U:AC//DF,
:.ZACB=ZDFE,
*:BF=CE,
:・BC=EF,
/B=NE
BC=EF,
{乙ACB=乙DFE
/\ABC^△£>£产(ASA).
第17页共25页
16.(2020•无锡)如图,已知/8〃CZ),AB=CD,BE=CF.
求证:(1)△4B%ADCE;
(2)AF//DE.
【答案】见解析。
【分析】(1)先由平行线的性质得NB=/C,从而利用S/S判定△48/WZkOCE;
(2)根据全等三角形的性质得由等角的补角相等可得/。跖,再由平行线的判定
可得结论.
【解答】证明:(1),JAB//CD,
:.NB=NC,
':BE=CF,
:.BE-EF=CF-EF,
即BF=CE,
在△/8F和△OCE中,
(AB=CD
Vzfi=zC,
[BF=CE
:./XABF^/XDCE(S/S);
(2);AABFgADCE,
ZAFB=ZDEC,
第18页共25页
,/AFE=/DEF,
:.AF//DE.
17.(2020•温州)如图,在△N8C和△QCE中,AC=DE,ZB=ZDCE=90°,点/,C,。依次在同一直
线上,S.AB//DE.
(1)求证:AABgADCE.
(2)连结当8c=5,NC=12时,求4E1的长.
【答案】见解析。
【分析】(1)由uAAS,f可证△NBC也△£)(“;
(2)由全等三角形的性质可得CE=8C=5,由勾股定理可求解.
【解答】证明:(1)':AB//DE,
,NBAC=ZD,
又•:NB=NDCE=90°,AC=DE,
:.XABCmXDCE(AAS);
(2),:[\ABgl\DCE,
:.CE=BC=5,
VZACE=90Q,
AE=7AC2+CE2=V25+144=13.
18.(2020•常德)已知。是RtZ!\N8C斜边48的中点,ZACB=90°,//8C=30°,过点。作
第19页共25页
使NDEF=90°,NDFE=30°,连接CE并延长CE到P,使EP=CE,连接BE,FP,BP,设8c与DE
交于A/,PB与EF交于N.
(1)如图1,当。,B,尸共线时,求证:
①EB=EP;
②/£7乎=30°;
(2)如图2,当。,B,尸不共线时,连接8F,求证:NBFD+NEFP=30°.
DBD
图1图2
【答案】见解析。
【分析】(1)①证明ACB尸是直角三角形,根据直角三角形斜边中线可得结论;
②根据同位角相等可得8C〃ER由平行线的性质得8尸,EF,可得“•是线段8P的垂直平分线,根据等
腰三角形三线合一的性质可得/PFE=/8FE=30°;
(2)如图2,延长OE到。,使EQ=DE,连接CDPQ,FQ,证明△QEP四△DEC(S/S),则尸。=OC
=DB,由。E=OE,NDEF=90:知E尸是。。的垂直平分线,证明△尸。「丝/\五。8(S/S),再由EF是
。。的垂直平分线,可得结论.
【解答】证明(1)①,N/8C=30°,
,4=90°-30°=60°,
同理/皮>尸=60°,
:.NA=NEDF=60°,
第20页共25页
:・AC//DE,
:・/DMB=/ACB=90°,
是RtZkZBC斜边48的中点,AC//DM,
.BMBD1
“BC~AB~2
即例是5C的中点,
♦:EP=CE,即E是尸C的中点,
:・ED〃BP,
:.ZCBP=ZDMB=90°,
:./\CBP是直角三角形,
1
:.BE=^PC=EP;
②•;/ABC=/DFE=30°,
C.BC//EF,
由①知:ZCBP=90°,
:・BPLEF,
♦:EB=EP,
:.EF是线段BP的垂直平分线,
:・PF=BF,
:./PFE=/BFE=30°;
(2)如图2,延长。E到。,使EQ=DE,连接CO,P。,FQ,
第21页共25页
ADB
图2
,:EC=EP,NDEC=NQEP,
:.AQEP9XDEC(SAS),
则PQ=DC=DB,
,:QE=DE,NDEF=90°
是。。的垂直平分线,
:.QF=DF,
,:CD=AD,
:.ZCDA=ZA=60°,
・・・NCQ8=120°,
:.ZFDB=\20°-ZFDC=\20°-(60°+NEDC)=60°-Z£Z)C=60°-NEQP=NFQP,
:ZQP经XFDB(SAS),
:・/QFP=/BFD,
・・・族是。。的垂直平分线,
:・/QFE=NEFD=3O0,
:.ZQFP+ZEFP=3O°,
:・/BFD+/EFP=3G°.
第22页共25页
19.(2020•黔东南州)如图1,△N8C和
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