2021年中考数学总复习：17 全等三角形判定与性质定理（解析版）

2021年中考数学总复习：专题17全等三角形判定与性质定理

1.基本概念

(1)全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.

(2)全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.(注意对应的顶点写在对应的位置上)

(3)对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.

(4)对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.

(5)对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.

2.全等三角形的表示

全等用符号“名”表示，读作“全等于"。如aABC丝ADEF,读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。

注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3.全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。

4.三角形全等的判定定理

(1)边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)

(2)角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”)

(3)边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。

(4)角角边定理：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成AAS).

5.直角三角形全等的判定：

HL定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边"或“【IL”)

【例题1】(2020•甘孜州)如图，等腰△NBC中，点、D,£分别在腰NC上，添加下列条件，不能判定

△ABE注"CD的是()

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A

A.AD=AEB.BE=CDC.NADC=NAEBD.NDCB=NEBC

【答案】B

【解析】利用等腰三角形的性质得AB=AC,然后根据全等三角形的判定方法对各选项进

行判断.

为等腰三角形，

:.NABC=NACB,AB^AC,

.•.当■时，则根据“SZS”可判断△/8£四八48；

当NAEB=NADC,则根据“4/S”可判断△N8E会△NCZ）；

当NDCB=NEBC,则/根据“/S/”可判断△/BEgZUCD.

【对点练习】如图，已知/ABC=NDCB,添加以下条件，不能判定△ABCWZXDCB的是（）

A.ZA=ZDB.ZACB=ZDBCC.AC=DBD.AB=DC

【答案】C.

【解析】全等三角形的判定方法有SAS,ASA,AAS,SSS,根据定理逐个判断即可.

A.ZA=ZD,ZABC=ZDCB,BC=BC,符合AAS,即能推出△ABCgZXDCB,故本选项错误；

B.ZABC=ZDCB,BC=CB,ZACB=ZDBC,符合ASA,即能推出AABCgADCB,故本选项错误;

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C.ZABC=ZDCB,AC=BD,BC=BC,不符合全等三角形的判定定理，即不能推出AABC也△口□?,本选项正确；

D.AB=DC,ZABC=ZDCB,BC=BC,符合SAS,即能推出AABC岭Z^DCB,故本选项错误。

【例题2】（2020•北京）如图，在△N8C中，AB=AC,点。在上（不与点8,C重合）.只需添加一个

条件即可证明△N8Z）丝△4CZ）,这个条件可以是（写出一个即可）.

【答案】BD=CD.

【解析】由题意可得N/8C=NZC。，AB=AC,即添加一组边对应相等，可证与△/CD全等.

'：AB=AC,

：.ZABD=ZACD,

添加BD=CD,

...在与中

AB=AC

乙ABD=Z.ACD,

BD=CD

.'.△ABD会"CD（SAS）,

【对点练习】（2019齐齐哈尔）如图，已知在回和△比尸中，/6=/区BF=CE,点、B、F、C、£在同

一条直线上，若使△/比二△龙五，则还需添加的一个条件是（只填一个即可）.

【答案】AB=DE.

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【解析】添加AB=DE；

'：BF=CE,

：.BC=EF,

'AB=DE

在△/比和△应7；'中，＜ZB=ZE-

,BC=EF

：.XABC会XDEF(5215)

【例题3】(2020•荷泽)如图，在△NBC中，/ZC8=90°,点E在/C的延长线上，ED上4B于点、D,若

BC=ED,求证：CE=DB.

【答案】见解析。

【解析】由"/4T可证△/尤g△/9，可得4E=/8,AC=AD,由线段的和差关系可得结论.

证明：'JEDLAB,

:.N4DE=NACB=90°,ZA=ZA,BC=DE,

.,•△ABC/LAED(AAS),

.'.AE=AB,AC=AD,

:.CE=BD.

【对点练习】如图，点A、I)、C、F在同一条直线上，AD=CF,AB=DE,BC=EF.

(1)求证：△ABC丝DEF；

(2)若NA=55°,NB=88°,求NF的度数.

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BE

【答案】见解析。

【解析】求出AC=DF,根据SSS推出AABC丝ADEF.由(1)中全等三角形的性质得到：ZA=ZEDE,进而得

出结论即可.

证明:(1)VAC=AD+DC,DF=DC+CF,且AD=CF

/.AC=DF

'AB=DE

在aABC和aDEF中，BC=EF

AC=DF

A△ABCDEF(SSS)

(2)由(1)可知，ZF=ZACB

VZA=55°,ZB=88°

/.ZACB=180°-(ZA+ZB)=180°-(55°+88°)=37°

ZF=ZACB=37°

一、选择题

1.（2020•鄂州）如图，在△/08和△CO。中，04=OB,OC=OD,OA<OC,NAOB=NCOD=36".连

接/C,8。交于点M,连接。下列结论：

@ZAMB=36°,（2）AC=BD,③OA/平分N/OD,④A/O平分/ZA/0.其中正确的结论个数有（）

个.

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A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】由&4s证明△/OC部△80。得出/OC4=NOO8,AC=BD,②正确：

由全等三角形的性质得出NOC4=/OD8,由三角形的外角性质得：ZCMD+ZOCA-ZCOD+ZODB,得

出/CMZ)=NCO£>=36°,NAMB=NCMD=36°,①正确；

作OGJ_4H于G,04_LDM于，，如图所示：则NOG4=NOHB=90°,由44s证明△0G/0

得出OG=OH,由角平分线的判定方法得出。用平分//MA,④正确；

假设0/0平分NZOZ),则/。。加=//。河，由全等三角形的判定定理可得△4M0且△OAfD得4O=OD,

而OC=OD,所以OA=OC,而OA<OC,故③错误：即可得出结论.

【解析】•.•//O8=/COZ)=36°,

,ZAOB+ZBOC=ZCOD+ZBOC,

即/N0C=/2。。，

在△40C和△80。中，

0A=0B

/.AOC=4BOD

0C=0D

:.△AOgXBOD(SAS),

：.NOCA=NODB,AC=BD,故②正确；

•：NOCA=NODB,

由三角形的外角性质得:

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ZCMD+ZOCA=ZCOD+ZODB,

得出NC"O=NCOD=36°,ZAMB=ZCMD=36a，故①正确;

作0GL4〃于G,OHLDM于H,如图所示，

则NOG4=NO〃B=90°,

在△OGZ和△OHB中，

(ZOGA=NOHB=90°

^\/.OAG=Z.0BH，

(。4=OB

:•△OGAqAOHB(A4S),

：,OG=OH,

・・・OM平分N/MQ,故④正确；

假设OM平分N4。。，则/。OA/=NZOM,

在△4MO与△Z)MO中，

(ZA0M=ND0M

\0M=0M，

{/.AMD=乙DM0

：./XAMO^/XOMD(4SZ),

：.AO=ODf

•：OC=OD,

：.OA=OC,

而。力VOC,故③错误;

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正确的个数有3个.

2.如图，若AABC丝ZXDEF,ZA=45°,ZF=35°,则NE等于（）

A.35°B.45°C.60°D.100°

【答案】D.

【解析】VAABC^ADEF,ZA=45°,ZF=35°

，/D=NA=45°

AZE=180°-ZD-ZF=100°.

3.（2020安顺模拟）如图，点D,E分别在线段AB,AC上，CD与BE相交于0点，已知AB=AC,现添加以下

的哪个条件仍不能判定△ABEg/\ACD（）

A.ZB=ZCB.AD=AEC.BD=CED.BE=CD

【答案】D.

【解析】欲使△ABEZ^ACD,已知AB=AC,可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明

即可.

VAB=AC,NA为公共角，

A.如添加NB=NC,利用ASA即可证明4ABE也4ACD；

B.如添AD=AE,利用SAS即可证明△ABE^^ACD；

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C.如添BD=CE,等量关系可得AD=AE,利用SAS即可证明AABE丝△ACD；

D.如添BE=CD,因为SSA,不能证明△ABEW^ACD,所以此选项不能作为添加的条件.

4.如图，AB_LCD,且AB=CD.E、F是AD上两点，CE±AD,BF±AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为

()

A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c

【答案】D.

【解析】只要证明△ABFgZ\CDE,可得AF二CE=a,BF=DE=b,推出AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c；

VAB1CD,CE1AD,BF±AD,

/.ZAFB=ZCED=90°,NA+ND=90°,NC+ND=90°,

AZA=ZC,VAB=CD,

AAABF^ACDE,

AAF=CE=a,BF=DE=b,

VEF=c,

AAD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c

5.如图，ZACB=90°,AC二BC.AD±CE,BE1CE,垂足分别是点D、E,AD=3,BE=1,则DE的长是()

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E、

/

Ac

A.-1-B.2C.2A/2D.-\/10

【答案】B.

【解析】根据条件可以得出/E=/ADC=90°,进而得出△CEBgZ\ADC,就可以得出BE=DC,就可以求出DE的

值.

VBE±CE,AD1CE,

AZE=ZADC=90°,

AZEBC+ZBCE=90°.

VZBCE+ZACD=90°,

二ZEBC=ZDCA.

在ACEB和AADC中，

'/E=/ADC

<ZEBC=ZDCA.

BC=AC

.1△CEBg△ADC(AAS),

/.BE=DC=1,CE=AD=3.

；.DE=EC-CD=3-1=2

6.如图，AABC丝Z\AEF,AB=AE,ZB=ZE,则对于结论①AC=AF,②/FAB=/EAB,③EF=BC,©ZEAB=Z

FAC,其中正确结论的个数是()

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E

A

BFC

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C.

【解析】VAABC^AAEF,

，AC=AF,故①正确；

ZEAF=ZBAC,

，/FAC=NEAB#/FAB,故②错误；

EF=BC,故③正确；

NEAB=/FAC,故④正确；

综上所述，结论正确的是①③④共3个.

二、填空题

7.（2020•齐齐哈尔）如图，已知在△N8D和△N8C中，NDAB=NCAB,点、A、B、E在同一条直线上，若

使△A8D岭△/8C,则还需添加的一个条件是.（只填一个即可）

【答案】AD^AC（/。=/。或//8。=/718。等）.

【解析】利用全等三角形的判定方法添加条件.

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■:/DAB=NCAB,AB=AB,

，当添加/D=/C时，可根据“SAS”判断丝△Z8C；

当添加N£»=NC时，可根据“44S”判断丝△/BC；

当添加/力时，可根据“4SZ”判断△48。g△/8C.

8.（2020•辽阳）如图，在△Z8C中，M,N分别是和4c的中点，连接MM点£是CN的中点，连接

M£并延长，交8c的延长线于点D若BC=4,则CZ）的长为.

【答案】2

【解析】依据三角形中位线定理，即可得到MN=48C=2,MN//BC,依据△A/NE丝△£）（“（44S）,即可得

到CD=MN=2.

,：M,N分别是Z8和/C的中点，

MN是△/BC的中位线，

:・MN=1$C=2,MN//BC,

:"NME=4D,ZMNE=ZDCE,

・・,点E是CN的中点，

:・NE=CE,

:.AMNEQADCE（AAS）f

:・CD=MN=2.

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9.（2020•黑龙江）如图，RtZXNBC和中，NB=ND,在不添加任何辅助线的情况下，请你添加

一个条件，使RtAABC和RtAEDF全等.

【答案】AB=ED.

【解析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，可以是或8C=Z>/或/C=E/或等，

只要符合全等三角形的判定定理即可.

添加的条件是：AB=ED,

理由是：：在△NBC和尸中

\AB=ED>

■=4DEF

：./\ABgAEDF（ASA）

10.（2019四川成都）如图，在中，AB=AC,点〃，£都在边回上，ZBAD-ZCAE,若5庐9,则B的长

为.

【答案】9

【解析】此题考察的是全等三角形的性质和判定，因为是等腰三角形，所以有/斤/C,NBAF/CAE,

AABD-£ACE,所以△4®=△4四（454）,所以的二次，EC=9.

11.（2019•湖南邵阳）如图，己知志=幽请你添加一个条件，使得你添加的条件是__.（不

添加任何字母和辅助线）

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A

【答案】AB=AC或/ADC=NA必或N/班1=N/5。

【解析】根据图形可知证明屋△/!旗已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASK.SAS.

44S证明两三角形全等.

VZA=ZA,AD=AE,

...可以添加此时满足S4S；

添加条件而，此时满足4必；

添加条件/4跖=AACD,此时满足AAS,

故答案为力6=4。或乙似7=NAEB或NABE=NACD。

12.（2019•山东临沂）如图，在△力比■中，ZJCS=120°,BC=4,〃为的中点，DCVBC,则△/欧的面

积是—.

【答案】8M.

【解析】根据垂直的定义得到/风力=90°,得到长切到〃使加=或，由线段中点的定义得到/〃=即，根

据全等三角形的性质得到/〃=8C=4,N〃=/8（N=90°,求得5=2我，于是得到结论.

'：DCLBC,

VZJG?=120°,AZJG?=30°,

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延长a?到〃使DH=CD,

•"为四的中点，

：.AD=BD,

<CD=DH

在与△式»中，，ZADH=ZBDC)

AD=BD

：./\ADIi^/\BCD(5215),

:.AH=BC=4,NH=NBCD=9Q°,

VZJG7=30°,

：.CH=y/3AH=4yf3,

：.CD^243,

•e•△/8C的面积=25^JW»=2X/X4X2，^=8A/"^,

故答案为：8a.

三、解答题

13.（2020•南充）如图，点C在线段8。上，且DELBD,ACA.CE,BC=DE.求证：AB=CD.

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BD

【答案】见解析。

【解析】证明(ASA\可得出结论.

证明：9：ABLBD,EDLBD,ACLCE,

:・NACE=/ABC=/CDE=90。,

AZACB+ZECD=90°,ZECD+ZCED=90o,

・•・ZACB=ZCED.

在△/BC和△COE中，

(/ACB=NCED

、BC=DE，

{/-ABC=Z.CDE

:.△ABSACDE(ASA)f

：.AB=CD.

14.(2020•矫口区模拟)如图，点。在48上，点£在力。上，AB=AC,/B=/C,求证：BD=CE.

A

s

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【答案】见解析。

【解析】要证6O=CE只要证明力。=力后即可，而证明则可得力。=4K

证明：在△Z5E与△4C。中

(ZA=ZA

\AB=AC，

UF=ZC

J△ABE//\ACD.

：・AD=AE.

:・BD=CE.

15.(2020•铜仁市)如图，/B=/E,BF=EC,AC//DF.求证：/XABC^/XDEF.

【答案】见解析。

【解析】首先利用平行线的性质得出N4C8=N。照，进而利用全等三角形的判定定理4S4进而得出答案.

证明：U：AC//DF,

：.ZACB=ZDFE,

*：BF=CE,

:・BC=EF,

/B=NE

BC=EF，

{乙ACB=乙DFE

/\ABC^△£>£产(ASA).

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16.（2020•无锡）如图，已知/8〃CZ）,AB=CD,BE=CF.

求证：（1）△4B%ADCE；

（2）AF//DE.

【答案】见解析。

【分析】(1)先由平行线的性质得NB=/C,从而利用S/S判定△48/WZkOCE；

(2)根据全等三角形的性质得由等角的补角相等可得/。跖，再由平行线的判定

可得结论.

【解答】证明：(1),JAB//CD,

：.NB=NC,

'：BE=CF,

：.BE-EF=CF-EF,

即BF=CE,

在△/8F和△OCE中，

(AB=CD

Vzfi=zC,

[BF=CE

：./XABF^/XDCE(S/S)；

(2)；AABFgADCE,

ZAFB=ZDEC,

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，/AFE=/DEF,

：.AF//DE.

17.(2020•温州)如图，在△N8C和△QCE中，AC=DE,ZB=ZDCE=90°，点/,C,。依次在同一直

线上，S.AB//DE.

(1)求证：AABgADCE.

(2)连结当8c=5,NC=12时，求4E1的长.

【答案】见解析。

【分析】(1)由uAAS,f可证△NBC也△£)(“；

(2)由全等三角形的性质可得CE=8C=5,由勾股定理可求解.

【解答】证明：(1)'：AB//DE,

，NBAC=ZD,

又•：NB=NDCE=90°,AC=DE,

:.XABCmXDCE(AAS)；

(2),:[\ABgl\DCE,

：.CE=BC=5,

VZACE=90Q,

AE=7AC2+CE2=V25+144=13.

18.(2020•常德)已知。是RtZ!\N8C斜边48的中点，ZACB=90°,//8C=30°,过点。作

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使NDEF=90°,NDFE=30°,连接CE并延长CE到P,使EP=CE,连接BE,FP,BP,设8c与DE

交于A/,PB与EF交于N.

(1)如图1,当。，B,尸共线时，求证：

①EB=EP；

②/£7乎=30°；

(2)如图2,当。，B,尸不共线时，连接8F,求证：NBFD+NEFP=30°.

DBD

图1图2

【答案】见解析。

【分析】(1)①证明ACB尸是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论；

②根据同位角相等可得8C〃ER由平行线的性质得8尸，EF,可得“•是线段8P的垂直平分线，根据等

腰三角形三线合一的性质可得/PFE=/8FE=30°；

(2)如图2,延长OE到。，使EQ=DE,连接CDPQ,FQ,证明△QEP四△DEC(S/S),则尸。=OC

=DB,由。E=OE,NDEF=90：知E尸是。。的垂直平分线，证明△尸。「丝/\五。8(S/S),再由EF是

。。的垂直平分线，可得结论.

【解答】证明(1)①,N/8C=30°,

，4=90°-30°=60°,

同理/皮＞尸=60°,

:.NA=NEDF=60°,

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:・AC//DE,

:・/DMB=/ACB=90°,

是RtZkZBC斜边48的中点，AC//DM,

.BMBD1

“BC~AB~2

即例是5C的中点，

♦：EP=CE,即E是尸C的中点，

:・ED〃BP,

：.ZCBP=ZDMB=90°,

：./\CBP是直角三角形，

1

：.BE=^PC=EP；

②•；/ABC=/DFE=30°,

C.BC//EF,

由①知：ZCBP=90°,

:・BPLEF,

♦：EB=EP,

：.EF是线段BP的垂直平分线，

:・PF=BF,

:./PFE=/BFE=30°；

(2)如图2,延长。E到。，使EQ=DE,连接CO,P。,FQ,

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ADB

图2

,:EC=EP,NDEC=NQEP,

：.AQEP9XDEC(SAS),

则PQ=DC=DB，

,:QE=DE,NDEF=90°

是。。的垂直平分线，

：.QF=DF,

,:CD=AD,

：.ZCDA=ZA=60°,

・・・NCQ8=120°,

：.ZFDB=\20°-ZFDC=\20°-(60°+NEDC)=60°-Z£Z)C=60°-NEQP=NFQP,

:ZQP经XFDB(SAS),

:・/QFP=/BFD,

・・・族是。。的垂直平分线，

:・/QFE=NEFD=3O0,

：.ZQFP+ZEFP=3O°,

：・/BFD+/EFP=3G°.

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19.(2020•黔东南州)如图1,△N8C和