2021届新高考题型高三数学小题过关二含答案解析

2021届新高考题型高三数学小题过关专练（2）

一、单项选择题.

1.已知集合A={1,3,5,7},3==2x+l,xeA},则AC|B=（）

A.{1,3,5,7,9,11,15}B.{1,3,5,7}c.{3,5,9}D.{3,7}

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，先得到{3,7,11,15},再求交集，即可得出结果.

【详解】因为A={1,3,5,7},

所以3={My=2x+l,xeA}={3,7/L15},

因此Ac3={3,7}.

故选：D.

【点睛】本题主要考查集合交集运算，熟记交集的概念即可，属于基础题型.

2.已知复数Z满足z（2+3i）=13,则在复平面内I对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

首先化简复数z和N,再根据复数的几何意义判断对应的点所在的象限.

1313（2-3z）>

【详解】z=-----=-（-----------------2—3i

2+3/（2+3z）（2-3z）

，5=2+3i,复数5在复平面内对应的点是（2,3）,在第一象限.

故选：A

【点睛】本题考查复数的运算，复数的几何意义，属于基础题型.

3.已知向量同=J5,M=l,+-=1,则向量£与向量B的夹角为（）

兀3712万

A.—B.—D.—

443

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题中条件，求出75,再由向量夹角公式，即可求出结果.

【详解】因为向量同=0，忖=1，（2+办（£-3万）=1,

所以时—2a-S—315|=1,即2-3=1,即a•北=—1,

―7a-b-141__3

因此cos<a/>=p[M=U=--口所以<"，.>=1〃•

故选：B.

【点睛】本题主要考查求向量的夹角，熟记向量夹角公式，以及向量数量积的运算法则即可，属于基础题

型.

4.在某技能测试中，甲乙两人的成绩（单位：分）记录在如下的茎叶图中，其中甲的某次成绩不清晰，用字

母。代替.已知甲乙成绩的平均数相等，那么甲乙成绩的中位数分别为（）

甲乙

886188

84a20048

A.2020B.2120C.2021D.2121

【答案】B

【解析】

【分析】

先由题中数据,根据题意，求出a=4,将甲乙的成绩都从小到大排序，即可得出中位数.

18+18+16+20+24+28+。124+a

【详解】由题中数据可得：甲的平均数为不

66

18+18+20+20+24+28_128

乙的平均数为々=

66

124+a128“口，

因为甲乙成绩的平均数相等，所以一，解得：〃=4,

66

1Q1

所以甲的成绩为：16,18,18,24,24,28,其中位数为与上=21,

2

乙的成绩为：18,18,20,20,24,28,其中位数为竺士包=20.

2

故选：B.

【点睛】本题主要考查由茎叶图计算中位数，属于基础题型.

5.函数y=sin2x+・si"'的图像大致是（）

-2A-1

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数解析式，分别判断xe0,',xe（-］，02sin2x

y=sin2x+的正负,即可得出结果.

2A-1

2sin2x

【详解】当xe0,5时，sin2x>0,2">1，所以y=sin2x+------>0,排除AB选项;

2A-1

当xe（一^,0）时，sin2x<0,0<2v<l.所以y=sin2x+笠广=5皿2片1>0,排除D选项.

故选：C.

【点睛】本题考查函数图像的识别，根据排除法，即可得出结果.

6.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收

录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.其

中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水.已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径

为一尺二寸，盆深一尺八寸.当盆中积水深九寸（注：1尺=10寸）时，平地降雨量是（）

A.9寸B.7寸C.8寸D.3寸

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意求得盆中水的体积，再除以盆口面积即得.

【详解】由已知天池盆上底面半径是14寸，下底面半径上6寸，高为18寸，由积水深9寸知水面半径为

1（14+6）=10寸，

2

则盆中水体积为1万x9x（6?+102+6x10）=588%（立方寸）

所以平地降雨量为篝=3（寸）,

故选：D.

【点睛】本题考查圆台的体积计算公式，正确理解题意是解题关键.本题属于基础题.

7.某部队在演习过程中，用悬挂的彩旗来表达行动信号，每个信号都由从左到右排列的4面彩旗组成，有红、

黄、蓝三种颜色的彩旗.若从所有表达的信号中任选一种，则这种信号中恰有2面红色旗子的概率为（）

82八41

A.—B.—C.-D.一

272793

【答案】A

【解析】

【分析】

首先求彩旗表达信号的所有方法种数，以及信号中恰有2面红色旗子的方法种数，再根据古典概型计算.

【详解】由条件可知悬挂的彩旗表达行动信号，共有34=81种，若恰有2面红色旗子，则有C[22=24种,

所以这种信号中恰有2面红色旗子的概率P=—=—.

8127

故选：A

【点睛】本题考查古典概型，属于基础题型，本题的关键是正确理解题意，并能转化为数学问题.

8.已知线段AB是圆。：/+丫2=4的一条动弦，且若点P为直线x+y—4=0上的任意一

点，则|丽+丽|的最小值为（）

A2V2-IB.2V2+1c.4V2-2D.4&+2

【答案】c

【解析】

【分析】

取A3中点为M，连接PM，OM,根据题意，求出|。叫=1,再由国+而卜2|丽

\PM\+\OM\>\OP\,得至“用+而|取最小值，即是|/网取最小值，所以只需|OP|取最小，根据点到直

线距离公式，求出的最小值，即可得出结果.

【详解】取A3中点为M，连接PM，OM,

因为AB是圆C：/+y2=4的一条动弦，且|A卸=26,

又|苏+丽|=2］而|尸根+|0知以0儿^\PM\>\OP\-\

因此，|丽+丽|取最小值，即是归网取最小值，所以只需|04取最小,

又点P为直线x+y—4=0上的任意一点,

所以点O到直线x+y—4=0的距离，即是10Hmi“，

|-4|「

即|OP|.=修==2垃,

mmVf+F

因此归"L=3*7=2夜7,

即|西+网=2\PM\=472-2,

IminIImin

故选：C.

【点睛】本题主要考查求向量模的最值问题，将其转化为直线上任意一点与圆心距离的最值问题，是解决

本题的关键，属于常考题型.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.设集合A={xg<2'<7>下列集合中，是A的子集的是（）

A.1x|-l<%<11B.{x[l<x<3}C,{x[l<x<2}D.0

【答案】ACD

【解析】

【分析】

解不等式,<2、<7,利用集合的包含关系可得出结论.

2

【详解】解不等式<<2*<7,即2T<2'<7,解得-l<x<log27,则A={+1<x<log?7},

v2=log24<log27<log28=3,所以，A、C、D选项中的集合均为集合A的子集.

故选：ACD.

【点睛】本题考查集合包含关系的判断，同时也考查了指数不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.

10.定义在R上的奇函数/(X)满足/(x—3)=—/(x),当xe[0,3]时，f(x)=x2-3x,下列等式成立的

A./(2019)+/(2020)=/(2021)B.,/(2019)+/(2021)=/(2020)

C.2/(2019)+/(2020)=/(2021)D./(2019)=/(2020)+/(2021)

【答案】ABC

【解析】

【分析】

由已知可得/(幻是周期为6的函数，结合奇偶性和已知解析式，即可求出函数值，逐项验证即可.

【详解】由/。-3)=一/(x)知/(x)的周期为6,

/(2019)=/(336x6+3)=/(3)=0,

/(2020)=/(337x6-2)=/(-2)=-/(2)=2,

/(2021)=/(337x6-1)=/(-1)=-/(I)=2.

故选:ABC.

【点睛】本题考查函数的周期性、奇偶性求函数值，属于基础题.

11.下列函数中，定义域是R且为增函数的是()

A.y=B.y=x3

C.y=lnxD.)'=x

【答案】BD

【解析】

【分析】

利用基本初等函数的基本性质可得结论.

【详解】对于A选项，•.・0<一<1,所以，函数y=是定义域为R的减函数；

对于B选项，函数y=d是定义域为R的增函数；

对于C选项，函数y=Inx是定义域为（0,+。）的增函数；

对于D选项，函数>是定义域为R的增函数.

故选：BD.

【点睛】本题考查基本初等函数定义域和单调性判断，属于基础题.

12.下列命题中是真命题的是（）

x

A.3x,yC（0,+co）,lg—=lgx—Igy

y

B.Xfx&R,N+x+i>。

C.Vxe/?,25

D.3x,y^R,2"2>'=2个

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据全称命题和特称命题真假的判断方式逐一判断即可.

【详解】对于A,由对数的运算性质可知，Bx,yG（0,4w）,lg-=lgx-lgy,故正确;

对于8,b2-4ac=1-4=-3<0>故正确；

对于C,当x=T时，2T>31故错误:

对于。，由同底数累乘积可得x=y=2时，2,2、'=2冲'，故正确.

故选：ABD.

【点睛】本题主要考查了全称命题和特称命题真假的判断，属于基础题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

2"—,x<1

2

13.已知函数/(x)=/z，若f(a)=2,则。=________.

logjx+-j,x>l

7

【答案】-

2

【解析】

【分析】

根据a<1时，f(a)<2,可知再解方程/(a)=log2(a+}=2即可得到答案.

113

【详解】因为当。<1时，/3)=2"——<2——

222

所以ail,所以/(a)=log2(a+；)=2,

所以。+—=22=4,所以。=一.

22

故答案为：:7

2

【点睛】本题考查了由分段函数的函数值求参数，考查了对数式化指数式，属于基础题.

2

14-83+Ig5+lg20-eln2=---------

【答案】2

【解析】

【分析】

根据对数的运算公式和性质即可求出结果.

【详解】8?+lg5+lg20-eln2=2+lgl00-2=2+2-2=2-

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查了对数的运算公式和性质，属于基础题.

X+4,-1<X<0

15.设是定义在R上且周期为2的函数，在区间［TD上，/（%）=］2_其中aeR,

5

若=则/（5a）的值是

【答案】一士2

5

【解析】

【分析】

利用函数的周期性得/，列方程求出。值，再代入计算/（5a）即可.

x+a,-