2021-2022学年北京市西城区七年级下学期数学期末试卷（二）含答案

2021-2022学年北京市西城区七年级下学期数学期末试卷（二）

一、选一选（本大题共12小题，共36.0分）

1.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的

是（）

【答案】B

【解析】

【分析】轴对称图形的概念进行求解即可.

【详解】解：根据轴对称图形的概念可知：

A、没有是轴对称图形，故本选项错误：

B、是轴对称图形，故本选项错误；

C、没有是轴对称图形，故本选项错误；

D、没有是轴对称图形，故本选项正确.

故选：B.

【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后

可重合.

2.下列各运算中，计算正确的是（）

A.（X—2）2=x2—4B.（3/y=9a''C.x6-e-x2=x}D.

x3-x2=x5

【答案】D

【解析】

【详解】分析：根据完全平方公式、积的乘方与塞的乘方、同底数幕的乘除法法则进行计算即

可得解.

详解：A、（X-2）2=X2-4X+4,故该选项错误；

B、（3/）3=27。6,故该选项错误;

C、原式=xt故该选项错误；

D、原式=/,故该选项正确.

故选D.

点睛：本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型.

3.用科学记数法表示0.0000084为（）

A8.4X10-6B.8.4x10-5C.—8.4x10-6D.8.4xl06

【答案】A

【解析】

【详解】分析：值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axio-n,与较大数的

科学记数法没有同的是其所使用的是负指数暴，指数由原数左边起个没有为零的数字前面的0

的个数所决定.

详解：0.0000084=8.4x10-6,

故选A.

点睛：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axlO-n,其中10a|<lO,n为由原数

左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定.

4.如图所示，如果将一副三角板按如图方式叠放，那么/I等于（）

A.120°B.105°C.60°D.45°

【答案】B

【解析】

【分析】先求出N2,再根据三角形的一个外角等于与它没有相邻的两个内角的和列式计算即

可得解.

【详解】解：如图，Z2=900-45°=45°,

2

4夕\

依60。人

由三角形的外角性质得，Zl=Z2+60°,

=45°+60°,

=105°.

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它没有相邻的两个内角的和的性质，解题的关键

是熟记性质.

5.到△NBC的三边距离相等的点是△/BC的()

A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点C.三边上高的交点D.三边垂直

平分线的交点

【答案】B

【解析】

【分析】到三角形三边都相等的点应该在三角形三个内角的角平分线上，可得出答案.

【详解】解：设这个点为点P，

；点2到45、NC两边的距离相等，

；.点P在NB4C的平分线上，

同理可得点P在N/8C、NNC8的平分线上，

...点P为三个内角的角平分线的交点，

故选：B.

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的

关键.

6.如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分

可剪拼成一个矩形(没有重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3,则另一边长是()

B.m+6

D.2m+6

3

【答案】C

【解析】

【分析】由于边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼

成一个矩形（没有重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩

形一边长为3,利用矩形的面积公式即可求出另一边长.

【详解】设拼成的矩形一边长为X,

则依题意得：（m+3）2—m2=3x,

解得，x=（6m+9）+3=2m+3,

故选C.

7.如图，在A/8C中，NB=32°,Z历1C的平分线X。交8C于点。，若。£垂直平分Z8,

则NC的度数为（）

A.90°B.84°C,64°D.58°

【答案】B

【解析】

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB,得到NDAB=NB=32。，根据角平分线的

定义、三角形内角和定理计算即可.

【详解】:DE垂直平分AB,

ADA=DB,

/.ZDAB=ZB=32°,

：AD是ZBAC的平分线，

/.ZDAC=ZDAB=32°,

NC=180°-32°-32°-32°=84°,

故选B.

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义，掌握线段的垂直平分线上

的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

8.若等腰三角形的腰上的高与另一腰上的夹角为56"，则该等腰三角形的顶角的度数为（）

A.56°B.34°C.34°或146°D.56°或34°

4

【答案】C

【解析】

【详解】分析：本题要分情况讨论.当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角

两种情况.

详解：①当为锐角三角形时，如图1,

.,.ZA=90°-56°=34°,

...三角形的顶角为34。；

②当为钝角三角形时，如图2,

VZBAD+ZBAC=180°,

ZBAC=146°

三角形的顶角为146°,

故选C.

点睛：本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必

要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中.

9.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形/5Q是一个筝形，其中

AB=CB,詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：

®ACLBD,®AO=CO=-AC；③"BDNACBD；④四边形力仇力的面积

2

5

其中正确的结论有()

2

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】

【详解】分析：先证明AABD与ACBD全等，再证明AAOD与ACOD全等即可判断.

详解：在AABD与ACBD中，

AD=CD

<AB=BC,

DB=DB

/.△ABD^ACBD(SSS),

故③正确；

/.ZADB=ZCDB,

在AAOD与ACOD中，

AD=CD

<ZADB=ZCDB,

OD=OD

AAAOD^ACOD(SAS),

.,.ZAOD=ZCOD=90°,AO=OC,

AACIDB,

故①②正确；

四边形ABCD的面积=SAADB+SABDC」DBXOA+-DBXOC=-AC«BD,

222

故④正确；

故选D.

点睛:此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS证明AABD与ACBD全等和利用SAS

6

证明AAOD与ACOD全等.

10.如图，在四边形48co中，AC,8。为对角线，AB=BC=AC=BD,则N/QC的大小为

()

A.120°B.135°C.145°D.150°

【答案】D

【解析】

【分析】先判断出AABC是等边三角形，根据等边三角形的每一个内角都是60。可得NABC=

60°,再根据等腰三角形两底角相等表示出NADB、ZBDC,然后根据NADC=/ADB+NBDC

求解即可.

【详解】：AB=BC=AC,

/.△ABC是等边三角形，

AZABC=60°,

VAB=BC=BD,

.".ZADB=y(180°-ZABD),

ZBDC=y(1800-ZCBD),

ZADC=NADB+/BDC,

=j(180°-ZABD)+y(180°-ZCBD),

=y(180°+180°-ZABD-ZCBD),

=y(360°-ZABC),

=1800-yx60°,

=150°.

故选D.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，本题主要利用了等腰三角

形两底角相等，要注意整体思想的利用.

11.如图所示的4x4正方形网格中，Nl+N2+N3+N4+N5+N6+N7=()

7

B.315°C.310°D.320°

【答案】B

【解析】

【分析】根据正方形的轴对称性得/1+/7=90。，Z2+Z6=90°,Z3+Z5=90°,Z4=45°.

【详解】解：由图可知，N1所在的三角形与N7所在的三角形全等，

可得Nl+N7=90°,Z2+Z6=90°,Z3+Z5=90°.N4=45'，

则Nl+N2+N3+N4+N5+N6+N7=315°

故选B.

12.把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：（2）,（4,6,8）,（10,12,14,16,18）,

（20,22,24,26,28,30,32）,…，现用等式=亿/）表示正偶数〃是第/组第/个数（

从左往右数），如4=（2,3）,则4。|8=（）

A.（32,25）B.（32,48）C.（45,39）D.（45,77）

【答案】B

【解析】

【详解】分析：先计算出2018是第1009个数，然后判断第1009个数在第几组，进一步判断是

这一组的第几个数即可.

详解：2018是第1009个数，

设2018在第n组，则1+3+5+7+（2n-l）=-x2nx=n2,

2n

当n=31时，n2=961,

当n=32时，n2=1024,

故第1009个数在第32组，

第32组个数是961x2+2=1924,

2018-1924人却

则nl2018是第-----------+1=48个数，

2

故A2oi8=（32,48）.

8

故选B.

点睛：此题考查数字的变化规律，找出数字之间排列的规律，得出数字的运算规律，利用规律

解决问题是关键.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.在△48C中，若N4NB：NC=2：3：5,则此三角形是__三角形.

【答案】直角

【解析】

【分析】根据三角形的内角和等于180。求出的角NC,然后作出判断即可.

【详解】解：•.•/C=180°x—--=90°,

2+3+5

...△/BC是直角三角形.

故答案为：直角.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，求出的角的度数是解题的关键.

14.已知q-b=5，ab=-4>则/+〃=____.

【答案】17

【解析】

【详解】分析：直接利用完全平方公式将原式变形进而计算得出答案.

详解：*.*a-b=5,ab=-4,

（a-b）2=25,

则a2-2ab+b2=25,

故a2+b2=25+2ab=25-8=17.

故答案为17.

点睛：此题主要考查了完全平方公式，正确记忆完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2是解题关键.

15.如图，要测量河两岸相对两点4、8间的距离，先在过点5的48的垂线上取两点C、D,

使CD=BC,再在过点。的垂线上取点E,使4、C、E三点在一条直线上，可证明△EOC名△/3C,

所以测得EZ）的长就是4、8两点间的距离，这里判定AEOC电△NBC的理由是

【解析】

【分析】根据已知条件分析，题目中给出了三角形的边相等，两条垂线，可得一对角相等，加

上图形中的对顶角相等，条件满足了ASA,答案可得.

【详解】:ABLBD,EDLBD,

：.ZABD=ZEDC=90°,

在AEDC和448c中，

ZBC=NEDC

<BC=DC,

ZACB=NECD

:.XEDgMABCCASA),

：.DE=AB,

故答案为ASA.

【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

16.如图，在心△ZBC中，NC=90°,以顶点4为圆心，适当长为半径画弧，分别交ZC,AB

于点N,再分别以点“，N为圆心，大于衣皿的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线

/P交边8c于点。，若CQ=4,48=15,则的面积是.

【解析】

【分析】作。E1.48于E,如图，利用基本作图得到4尸平分N8/C,根据角平分线的性质得

DC=DE=4,然后根据三角形面积公式.

【详解】作OE1/B于E,如图，

由作法得力「平分NB4C,

DC=DE=4,

io

/.LABD的面积=』x15x4=30.

2

故答案为：30.

【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角

等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）和

角平分线的性质是解题的关键.

17.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里，方程组

是由算筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在我们把它改为横排，如图1、图

2,图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数X、>的系数与相应的常数项，把图1所示

f3x+2j=19

的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来就是｛〃，类似地，图2所示的算

[x+4y=23>

筹图我们可以用方程组形式表述为.

【解析】

【分析】由图1可得1个竖直的算筹数算1,一个横的算筹数算10,每一横行是一个方程，个

数是x的系数，第二个数是y的系数，第三个数是相加的结果：前面的表示十位，后面的表示

个位，由此可得图2的表达式.

【详解】解：个方程x的系数为2,y的系数为1,相加的结果为II；

第二个方程x的系数为4,y的系数为3,相加的结果为27,

2x+y=11

所以可列方程组为L；%

4x+3y=27

【点睛】本题考查了列二元方程组；关键是读懂图意，得到所给未知数的系数及相加结果.

18.如图，下列4个三角形中，均有=则三角形的一个顶点的一条直线没有能够将这

个三角形分成两个小等腰三角形的是（填序号）.

11

A

【答案】②

【解析】

108。

【详解】分析：顶角为：36°,90。，108。，——的四种等腰三角形都可以用一条直线把这四个

7

等腰三角形每个都分割成两个小的等腰三角形，再用一条直线分其中一个等腰三角形变成两个

更小的等腰三角形.

详解：由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，

①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36。，36。，108。和36。，72。72。，能：

②没有能；

③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；

④中的为36。，72,72。和36。，36°,108°,能.

故答案为②

点睛：本题考查了等腰三角形的判定；在等腰三角形中，从一个顶点向对边引一条线段，分原

三角形为两个新的等腰三角形，必须存在新出现的一个小等腰三角形与原等腰三角形相似才有

可能.

三、计算题(本大题共1小题，共6.0分)

19.化简：［(xy+2)(xy-2)-2x2y2+4］-^xy>其中x=10,y=-

2

【答案】-xy,-

【解析】

［详解】原式=(X2/-4-2x2y2+4)+孙=(-》2丁)+孙=-xy.

当x=10,y=--L时，

,25

原式=-孙=-I。X(-

四、解答题(本大题共8小题，共64.0分)

12

|5x+y=2

20.解二元方程组：^x-3y=4.

,5

x=—

8

【答案】＜9

y=—

18

【解析】

【详解】分析：可以先消去y,求得x的值然后代入求得y的值.

'5x+y=2①

详解：：＜x—3y=4(2),

由①x3+②得：16x=10,

解得x=，，③

O

9

把③代入②解得：

8

5

x=—

8

故原方程组的解是：-9.

y=—

C8

点睛：本题考查了解二元方程组.这类题目的解题关键是掌握方程组解法中的加减消元法和代

入法.

21.如图，EB//DC,NC=NE,请证明NZ=NEZX4.

【答案】见解析

【解析】

【分析】先根据两直线平行，同位角相等求出从而求出N4BE=NE,然后根据内

错角相等，两直线平行求出/C〃QE,再根据两直线平行，内错角相等即可证明.

【详解】证明：：砧〃。。，

：.ZC=ZABE,

13

,/ZC=ZE,

/.NABE=NE,

：.AC//DE,

：.ZA=ZADE.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，根据图形准确找出两直线平行的条件是解题的关键.

22.如图，ZDCE=90°,CD=CE,AD±AC,BE±AC,垂足分别为A、B.试说明AD+AB=BE.

【答案】见解析

【解析】

【详解】试题分析：根据题意得出aADC和4BCE全等，从而得出AC=BE,AD=BC,从而得

出答案.

试题解析：VAD±AC,BE1ACAZA=ZEBC=90°ZACD+ZD=90°VZDCE=90°

/.ZACD+ZECB=90°ZD=ZECB又；CD=CEAAADC^ABCE（AAS）

/.AC=BEAD=BC：AC=AB+BC；.BE=AB+AD

考点：三角形全等的证明与应用

23.为了响应和市政府“绿色环保，节能减排”的号召，幸福商场用3300元购进甲、乙两种节

能灯共计100只，很快售完.这两种节能灯的进价、售价如下表：

进价（元/只）售价（元/只）

甲种节能灯3040

乙种节能灯3550

（1）求幸福商场甲、乙两种节能灯各购进了多少只？

（2）全部售完100只节能灯后，商场共计获利多少元？

【答案】（1）商场购进甲种节能灯40只，购进乙种节能灯60只

（2）商场共计获利1300元

【解析】

【分析】（1）设商场购进甲种节能灯x只，购进乙种节能灯V只，根据幸福商场用3300元购

14

进甲、乙两种节能灯共计100只，即可得出关于X、y的二元方程组，解之即可得出结论；

（2）根据总利润=每只甲种节能灯的利润X购进数量+每只乙种节能灯的利润X购进数量,

即可求出结论.

【小问1详解】

解：设商场购进甲种节能灯X只，购进乙种节能灯〉只，

3Ox+35y=3300

根据题意得：｛-.goo

x=40

解得：，

，=60

答：商场购进甲种节能灯40只，购进乙种节能灯60只.

【小问2详解】

40x（40-30）+60x（50-35）=1300（元）.

答：商场共计获利1300元.

【点睛】本题主要考查了二元方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的

条件，找出合适的等量关系，列出方程组求解.

24.如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点4B、C在小正方形的

顶点上.

（1）在图中画出与ANBC关于直线/成轴对称的AZ'3'C'；

（2）求“台。的面积；

（3）在直线Z上找一点P（在答题纸上图中标出），使尸8+PC的长最小.

【答案】（1）见解析；（2）3;（3）见解析

【解析】

【详解】分析：（1）直接利用对称点的性质得出对应点位置进而得出答案;

15

(2)利用割补法即可得出答案；

(3)利用轴对称求最短路线的方法得出答案.

详解：(1)如图所示:

(2卜/3。的面积=2、4-2x2x--2xlx—lx4x—=3

222

(3)如图所示，点P即为所求.

点睛：本题主要考查作图~轴对称变换，解题的关键是根据与轴对称的定义作出变换后的对应点

及割补法求三角形的面积.

25.如图，在等边三角形48c中，点。，E分别在边3C,4c上，且OE〃/18,过点E作

交BC的延长线于点尸.

(1)求/尸的度数；

(2)若8=2,求。尸的长.

【答案】(1)30°；(2)4.

【解析】

【分析】(1)根据平行线的性质可得NEDC=NB=60°,根据三角形内角和定理即可求解;

(2)易证△E0C是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解.

【详解】(1)是等边三角形，

—0°,

'JDE//AB,

：.ZEDC=ZB=60°,

16

:EFLDE,

:.NDEF=90°,

ZF=90°-Z£Z)C=30°；

(2)•:NACB=6Q°,NEDC=6Q°,

:.XEDC是等边三角形.

：.ED=DC=2,

；NDEF=90°,"=30°,

：.DF=2DE=4.

【点睛】本题主要考查了运用三角形的内角和算出角度，并能判定等边三角形，会运用含30°

角的直角三角形的性质.

26.如图1,AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=a,AD、BE相交于点M.

(1)求证：BE=AD；

(2)直接用含a的式子表示NAMB的度数为—

(3)当a=90。时，WAD,BE的中点分别为点P、Q,连接CP,CQ,PQ,如图2,判断ACPQ

的形状，并加以证明.

【答案】(1)见解析；(2)a；(3)ACPQ为等腰直角三角形，证明见解析.

【解析】

【分析】(1)由CA=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=a,利用SAS即可判定AACD学ABCE；

(2)根据AACD丝ABCE,得出NCAD=NCBE,再根据NAFC=NBFH,即可得到

ZAMB=ZACB=a；

(3)先根据SAS判定△ACPg^BCQ,再根据全等三角形的性质，得出CP=CQ,ZACP=ZBCQ,

根据/ACB=90。即可得到/PCQ=90。，进而得到APCQ为等腰直角三角形.

【详解】解：(1)如图1,

17

图1

VZACB=ZDCE=a,

/.ZACD=ZBCE,

在AACD和ZkBCE中，

CA=CB

，ZACD=ZBCE,

CD=CE

/.△ACD^ABCE(SAS),

；.BE=AD；

(2)如图1,VAACD^ABCE,

/.ZCAD=ZCBE,

「△ABC中，ZBAC+ZABC=180°-a,

AZBAM+ZABM=180°-a,

.,.△ABM中，ZAMB=180°-(180°-a)=a；

(3)ziCPQ为等腰直角三角形.

证明：如图2,由(1)可得，BE=AD,

VAD,BE的中点分别为点P、Q,

；.AP=BQ,

VAACD^ABCE,

；.NCAP=NCBQ,

在AACP和ZkBCQ中,

18

CA=CB

<ZCAP^ZCBQ,

AP=BQ

AAACP^ABCQ(SAS),

.,.CP=CQ,且NACP=NBCQ,

又；/ACP+/PCB=90°,

；.NBCQ+NPCB=90°,

ZPCQ=90°,

/.△CPQ为等腰直角三角形.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定以及三角形内角和

定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

27.如图，△Z8C中，AB=BC=AC=T2cm,现有两点M