2023年全国乙卷数学（理科）高考真题（含答案）

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）

理科数学

一、选择题

2+i

I.设1+『+/，则』=（）

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

2.设集合U=R,集合用={中<1},N={x[—l<x<2},则{x|xN2}=()

A.2(MN)B.N2M

C.①(必N)D.

3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1,则该零件的表面积为（)

A.24B.26C.28D.30

xex

4.已知/。）=等一［是偶函数，则（）

A-2B.-1C.1D.2

5.设。为平面坐标系的坐标原点，在区域｛（%丁）［1«一+丁2〈4｝内随机取一点，记该点为A,则直线OA的

倾斜角不大于△的概率为（)

4

1]_£

A.-B.D.

8642

6.已知函数/（了）=§皿（8+9）在区间（2，=］单调递增，直线x=色和x=@

为函数y=/（x）的图像的两

V63）63

条相邻对称轴，则/)

1

A.-立B.--C.1D.在

2222

7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）

A.30种B.60种C.120种D.240种

8.已知圆锥尸O的底面半径为有，。为底面圆心，PA,PB为圆锥的母线，ZAOB=\2G°,若，Q43的面积

等于唯，则该圆锥的体积为（）

4

A.nB.瓜兀C.3nD.3瓜兀

9.已知一ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角C—AB—。为150。，则直

线C。与平面4BC所成角的正切值为（）

A1B6c也D-

5555

10.已知等差数列｛凡｝的公差为与，集合S=｛cosa,JneN*｝,若5=｛。,可，贝物。=（）

A.-1B.--C.0D.4

22

11.设A,B为双曲线/-5=1上两点，下列四个点中，可为线段A8中点的是（）

A.（1,1）B.（-1,2）C.（1,3）D.（-1,-4）

12.己知：O半径为1,直线必与（。相切于点A,直线PB与，。交于B,C两点，。为8c的中点，若

1Poi=&,则PA.p。的最大值为（）

A1+0n1+2V2

22

C.1+72D.2+72

二、填空题

13.已知点A0,石）在抛物线C：y2=2px1.,则A到C准线的距离为.

x-3y<-1

14.若x,y满足约束条件<x+2y<9,则z=2x—y的最大值为.

3x+y>l

15.已知｛。“｝为等比数列，％。4a5=%。6，4汹0=-8,则%=.

16.设aw（O,l）,若函数〃6="+（1+*在（0,+。）上单调递增，则〃的取值范围是.

2

三、解答题

17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相

同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩

率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为X：,y(i=l,2,…,10).试验结果如下：

试验序号

12345678910

i

伸缩率七545533551522575544541568596548

伸缩率yt536527543530560533522550576536

记Zj=Xj-y(i=l,2,3,10),记ZE，…,丁的样本平均数为l样本方差为s?.

(1)求I,$2；

(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果

z>2^)则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则

不认为有显著提高)

18.在JSC中，已知ZR4c=120°,AB=2，AC=1.

(1)求sinNABC：

(2)若D为BC上一点,且N84Z)=90。，求ZVIPC的面积.

19.如图，在三棱锥。一48。中，ABJ.BC,43=2，BC=2五,PB=PC=®BP,AP,BC的中

点分别为D,E,O,AD=y[5DO.点尸在AC上，BFLAO.

A

(1)证明：瓦7/平面A。。；

(2)证明：平面ADO_L平面BEF；

3

(3)求二面角O—AO—C的正弦值.

20.已知椭圆C：¥+/=l(a>匕>0)的离心率是逝，点A(—2,0)在。上.

(1)求C的方程；

(2)过点(-2,3)的直线交。于P,。两点，直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明：线段MN的中

点为定点.

21.己知函数/(x)=(：+a]ln(l+x).

(1)当a=-1时，求曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)是否存在mb,使得曲线>=)关于直线x=b对称，若存在，求a,b的值，若不存在，说明理由.

(3)若/(力在(0,+。)存在极值，求a的取值范围.

四、选做题

【选修4-4】(10分)

22.在直角坐标系直内中，以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

.(71-兀、[x=2cosaJi

p=2sin^-<0<—\,曲线C,：<为参数，一<a<7t).

(42)[y=2sina2

(1)写出G直角坐标方程；

(2)若直线y=x+〃?既与a没有公共点，也与G没有公共点，求加的取值范围.

【选修4-5】(10分)

23.已知/1(%)=2国+,一2|.

(1)求不等式/(x)W6—x的解集；

/(x)<y

(2)在直角坐标系M9)，中，求不等式组，二八所确定平面区域的面积.

[x+y-6<0

4

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）

理科数学参考答案

一、选择题

l.B2.A3.D4.D5.C6.D7.C8.B9.C10.B

ll.D12.A

二、填空题

9

13.4

14.8

15.-2

三、解答题

,、_545+533+551+522+575+544+541+568+596+548….

17.(1)x=---------------------------------------------=552.3,

10

_536+527+543+530+560+533+522+550+576+536

y=---------------------------------------------=541.3,

10

z=x-y=552.3-541.3=11,

4=%一%的值分别为:9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,

故(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-1)2+0+(19-11)2+(18-11尸+(20-11)2+(12-11)2

2j—=2y/6A=y/24A>故有222」；

(2)由(1)知：5=11，

VioVio

所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.

18.(1)由余弦定理可得：

BC2=。之=/+-2Z?ccosA

=4+l-2x2xlxcos120=7,

n“〃厂na2+c2-b27+4-15币

2ac2x2x«14

5

.p_「I-----/.25_V21

sinB—A/1—cosB—/1---=-----

AV2814

S—xABxADxsin90

(2)由三角形面积公式可得合2=年------------------------=4,

SAACDxACxADxsin30

2

则Leo=1%4BC=[x]；x2xlxsinl20卜*.

19.(1)连接DE,。/7,设AF=zAC,则BF=a4+AF=(l-f)3A+/5C,AO^-BA+^BC,BF±AO，

则BF•AO=[(l-Z)BA+tBC]-(-BA+-BC)=+-tBC2=4。—1)+4r=0,

22

解得r=_L,则F为AC的中点，由力,E,O,E分别为P&PABC,AC的中点，

2

于是DE//AB,DE=LAB,OF//AB,OF=-AB,即DE//OF,DE=OF,则四边形ODEE为平行四

22

边形，

EFIIDO,EF=DO,又0z平面ADO,DOu平面ADO,

所以跖//平面A。。.

(2)由(1)司知EF//OD,则AO=«,OO=逅，得AD=J?OO=30

22

因此Or>2+AO2=A£>2="，则OD_LAO,有所_LAO,

2

又AO±BF,BFEF-F,BF,EFu平面BEF，

则有AO_L平面班F，又AOu平面A。。，所以平面AZ)O_L平面BER.

(3)过点。作OH//B/交AC于点〃，设ADBE=G,

由得HO_LAO,且

3

又由(2)知，OD1AO,则/">”为二面角O—AO—C的平面角，

6

因为RE分别为的中点，因此G为，A4B的重心,

1113

即有。G=—AO,GE=—BE,又FH=—AH,即有。H=—GF,

3332

315

4+o4+6-PA?r

cosZABD^—a义2义瓜,解得PA=内,同理得=

2x2x——xx2

2

（i/zV（后Y

于是8七2+石尸2=5尸2=3,即有BE_LEE,则G/7?=-x—+——

132）12）

瓜而「口715八口3岳岳

从in]GF=-----，DH=-x----------=---------,

3232

=BF=^,OD=旦,DH=叵,

在△OO”中，0H

2222

6315

-+-------

444721（交T交

于是cosZDOHsin乙DOH=

2又见心212广2

22

h=2。二3

20.（1）由题意可得〈a2=h2+c2,解得《h=2,

cy/5c=Vs

e=—=——

a3

22

所以椭圆方程为二+二=1.

94

（2）由题意可知：直线PQ的斜率存在，设PQ:y=Mx+2）+3,P（%,y）,Q（w，y2），

7

y=A（x+2）+3

22

联立方程1vx,消去y得：（4攵~+9）x?+8Z（2Z+3）x+16（%-+3Z）=0,

I94

则A=645（2k+3）2-64（4公+9）（/+3'=7728k>0,解得％<0,

8M2Z+3）_16（公+3%）

可得玉+%

4炉+9，X，%2-4公+9

因为A（-2,0）,则直线AP：y=:夫（x+2）,

令x=o,解得y=一^,即Mo,T,

X]+2IX1+2J

同理可得

IX2+2J

2y12%

则芭+2£+2_[M.+2）+3][MW+2）+3]

2+2尤2+2

_[g+（24+3）]（w+2）+[如+（2&+3）]（$+2）_2gx2+（44+3）（内+卜2）+4（2攵+3）

（%+2）（/+2）XZ+2（玉+%）+4

32守+3火网4组）侬+叽

=4^+94&2+9''=I。8=3

16仁+3&）16氏（24+3）+436''

4^^+94-+9+

所以线段2。的中点是定点（0,3）.

8

21.(1)当〃=一1时,

则/(x)=_gxln(x+l)+(-1卜白

人、人•/人,T*1

据此可得/(l)=0,/'(l)=_ln2,

函数在(1,7(1))处的切线方程为y—0=—In2(x—1),

即(ln2)x+y-ln2=0.

(2)由函数的解析式可得/(：)=(x+a)ln［：+l),

1y11

函数的定义域满足一+1=——>0,即函数的定义域为(F,—1)。((),”),

XJC

定义域关于直线尤=一,对称，由题意可得。=-!,

22

由对称性可知+"?)=/—g一g)’

取加、可得/⑴=〃—2),

E|l(a+l)ln2=(a-2)ln；,则Q+1=2-Q,解得〃=

经检验。=工,。=一‘满足题意，故4=工,。=一’.

2222

9

即存在a=，S=—L满足题意.

22

(3)由函数的解析式可得/'(》)=卜｝]111(》+1)+仁+4]；匕

由/(x)在区间(0,+。)存在极值点，则/'(%)在区间(0,+纪)上存在变号零点;

令-扑(川)+*£

=0,

则-(x+l)ln(x+l)+(x+or2)=0,

令g(x)=itx2+x—(x+l)ln(x+l),

/(x)在区间(0,+8)存在极值点，等价于g(x)在区间(0,+。)上存在变号零点,

1

g'(x)=2ax-ln(x+l),^w(x)-2a—

7+T

当aWO时，g'(x)<0，g(x)在区间(0,+。)上单调递减,

此时g(x)<g(O)=O,g(x)在区间(0,+e)上无零点,不合题意；

当aN；,2a»l时，由于」一<1,所以g"(x)>O,g'(x)在区间(0,+向上单调递增,

所以g'(x)>g'(O)=O,g(x)在区间(0,+8)上单调递增,g(x)>g(O)=O,

所以g(x)在区间(0,+e)上无零点，不符合题意；

当0<a<，时，由g"(x)=2a---匚=0可得彳=----1,

2x+12a

当1-一1]时，g"(x)<0,g'(x)单调递减，

当—l,+oo卜寸，g〃(x)>0,g'(x)单调递增，

故g，(x)的最小值为g'((-1)=1-2a+In2a,

令机(x)=l-x+lnx(0vxvl),则=-....>0,

函数m(x)在定义域内单调递增，m[x)<m(l)=0,

据此可得1一%+111]<()恒成立,

10

则g'(^——l)=l-2a+ln2a<0,

令〃(力=lnx-x2+x(x>0),则“(x)=―--------

x

当xe(O,l)时，〃'(x)>O,〃(x)单调递增，

当xw(l,+8)时，单调递减，

故力(x)v〃⑴=0,即lnx〈x2—x(取等条件为》=1),

所以g'(x)=2ar-ln(x+l)>2ax—+-(x+1)]=2ax-^x2+x),

g,(2«-l)>2a(2a-l)-[(2«-l)2+(2a-l)]=0,且注意到g'(O)=0,

根据零点存在性定理可知:g'(x)在区间(0,+。)上存在唯一零点

当工<0,天)时，g'(x)<0,g(x)单调减，

当xe伉,+oo)时，g,(x)>0,g(x)单调递增,

所以g(Xo)<g(O)=O.

令=则"(力」_斗+4)=一(:1)40,

则“(%)单调递减,注意到〃⑴=0,

故当x时,In<0,从而有Inx<——),

所以<?(%)=加+x-(x+l)ln(x+l)

2一(x+l)x：(x+l)一1

>ax+x

x+1

所以函数g(x)区间(0,+8)上存在变号零点，符合题意.

11

综合上面可知:实数a得取值范围是(0,g)

四、选做题

【选修4-4】(10分)

22.(1)因为夕=2sin。，即/2=22sin9,可得f+y2=2y,

整理得f+(y-炉=1,表示以(0,1)为圆心，半径为1的圆，

又因为x=pcos0=2sin6cos8=sin26,y=Psin0=2sin20-1-cos20,

且则]＜28＜兀，则％=$指2夕£[0,1],丁=1-COS2，£[1,2],

故£:12+(y_i)2=]”[o“yqI©

%=2cosa