2025届新高考数学冲刺突破复习 二项式定理

2025届新高考数学冲刺突破复习二项式定理高考

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二项式定理题型1二项展开式中的特定项和特定项的系数题型2二项式系数和与各项系数和考点二项式定理1.二项式定理:(a+b)n=

an+

an-1b+…+

an-kbk+…+

bn(n∈N*).2.二项式系数:

(k=0,1,2,…,n).3.二项展开式的通项:Tk+1=

an-kbk,它表示展开式的第k+1项.4.二项式系数的性质(1)对称性:与首末两端等距离的两个二项式系数相等,即

=

.(2)增减性与最大值①增减性:(i)当k<

(n∈N*)时,

随k的增加而增大;(ii)当k>

(n∈N*)时,

随k的增加而减小.②最大值:(i)当n为偶数时,中间的一项

取得最大值;(ii)当n为奇数时,中间的两项

与

相等,且同时取得最大值.(3)各二项式系数的和①(a+b)n展开式的各二项式系数的和等于2n,即

+

+

+…+

=2n;②在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即

+

+

+…=

+

+

+…=2n-1.即练即清判断正误(对的打“√”,错的打“✕”)(1)已知

的展开式中各项系数的和为243,则这个展开式中x3项的系数是80.(

)(2)若(x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a4-a3+a2-a1+a0=16.

(

)(3)

的展开式中所有二项式系数和为64,且展开式中的常数项为-160,则a=2.(

)(4)(1-2x)5(1+3x)4的展开式中含x2项的系数为-26.

(

)√√√(a=1)×题型1二项展开式中的特定项和特定项的系数1.求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式的特定项(或其系数)的方法求通项Tk+1=

an-kbk→令字母的指数符合要求→解k的值→代回通项即可得特定项(或其系数).2.求形如(a+b)n(c+d)m(n,m∈N*)的展开式的特定项(或其系数)的方法求通项Tk+1Tr+1=

an-kbk·

cm-rdr=

an-k·bkcm-rdr→令字母的指数符合要求→解k和r的值→代回通项即可得特定项(或其系数).例1

(1)(2023北京,5,4分)在

的展开式中,x的系数为

(

)A.-40

B.40

C.-80

D.80(2)(2023湖北武汉四调,13)(x-1)(2x+1)6的展开式中含x2项的系数为

.

解析

(1)

的展开式的通项为Tk+1=

(2x)5-k

=(-1)k25-k

x5-2k,令5-2k=1,得k=2.所以

的展开式中,x的系数为(-1)2×25-2×

=80.故选D.(2)(2x+1)6的展开式的通项为Tk+1=

×(2x)6-k×1k=26-k×

×x6-k,所以(x-1)(2x+1)6的展开式中含x2项为-

·(2x)2+

(2x)·x=(12-60)x2=-48x2,所以(x-1)(2x+1)6的展开式中含x2项的系数为-48.

答案

(1)D

(2)-48即练即清1.(2020课标Ⅰ理,8,5分)

(x+y)5的展开式中x3y3的系数为

(

)A.5

B.10

C.15

D.20C2.(2023湖北八市联考,13)已知二项式(2x-a)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大,

且展开式中x3项的系数为20,则实数a的值为

.答案-

题型2二项式系数和与各项系数和1.(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n.可由展开式求二项式系数的和或已知

二项式系数的值反求n.2.赋值法求各项系数的和(1)对形如(ax+by)n(a、b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,只需令x=y=1即可.(2)一般地,对于(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令g(x)=(a+bx)n,则(a+bx)n的展开式中各项的

系数的和为g(1),奇数项的系数和为

[g(1)+g(-1)],偶数项的系数和为

[g(1)-g(-1)].例2

(2022北京,8,4分)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=

(

)A.40

B.41

C.-40

D.-41

解析

∵(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,∴令x=1,得a4+a3+a2+a1+a0=1,令x=-1,得a4-a3+a2-a1+a0=34,∴a0+a2+a4=

×(1+34)=41.故选B.

答案

B即练即清3.(多选)(2024届重庆七校联考,11)已知(1-2x)2024=a0+a1x+a2x2+…+a2023x2023+a2024x2024,则

(

)A.展开式中二项式系数最大项为第1012项B.展开式中所有项的系数和为1C.

+

+

+…+

+

=-1D.a1+2a2+3a3+…+2023a2023+2024a2024=4048BCD