2021年人教A版必修2数学第2章-点、直线、平面之间的位置关系单元测试卷含答案

2021年人教A版必修2数学第2章点、直线、平面之间的位置

关系单元测试卷含答案

学校：班级：姓名：考号：

一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分，）

1.m,n是空间两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，则下列命题中正确的是

（）

A.若m〃a,n//p,a//p,则m〃n

B.若mua,nu£,al口，则m_Ln

C.若mJ.n,m1a.n/",则a10

D.若mJLa,n1m//n,则a〃/?

,2.x-y+2>0,

2.已知平面区域G：/+y2w9,%x+y<0,则点P（x,y）e4是P（x,y）6出

.y+2>0,

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.某几何体的三视图如图所示，记底面的中心为E,贝UPE与底面所成的角为（）.

4.已知平面a,直线m,n满足m<ta,nua,则"m〃n"是"m//a"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知九分别是两条不重合的直线，a,b分别垂直于两不重合平面a,B，有以下

四个命题：

①若mJLa,n//b,且a_L?,则7n〃n；②若？n〃a,n//b,且a_LS，则

③若m〃a,n//b,且&〃£,则m_Ln；④若m_La,nib,且a_L£,则?n〃n.

其中真命题的序号是（）

A.①②B.③④C.①④D.②③

6.已知不重合的直线a,b和平面a,/?,ala,bl/?,则"alb"是"al口"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.设a,0为两个平面，则a〃/?的充要条件是（）

A.a内有一条直线与伊平行

B.a内有无数条直线与口平行

C.a内有两条相交直线分别与夕平行

D.a内有一条直线与口内的一条直线平行

8.已知四棱锥S-/lBCD的底面是边长为2的正方形，ADit]ffi-SCD,zSDC=120°,E

是线段4B上的点（不含端点），若侧面SAB,直线SE,侧面S4D与平面4BCD所成角大

小分别为a，氏K，则下列结论成立的是（注：a指二面角S—4B-C的大小，y指二

面角S—4。—C的大小）（）

A.a<P<yB.0<y<aC.y<P<aD.0<a<y

9.设直线小，n是两条不同的直线，a,£是两个不同的平面，下列事件中是必然事件

的是（）

A.若？n//a,n〃B，mln,则Q1/?

B.若?n〃a,九1/7,m//n,则a〃/?

C.若？nla,n///?,mln,则a〃/?

D.若mJLa,几JL£,m//n,则a〃£

10.已知？n,n,1是三条不同的直线，a,/?是两个不同的平面，则下面说法中正确的

是（）

A.若mua,nca,且Z_L?n,I1n,则Z1a

B.若Iua,nuB，且21九，贝〃13

C若tn1a且11m,则〃/a

D.若m1Q,nA.。,且1〃?n,Z//n,则a〃/?

试卷第2页，总21页

11.以下命题正确的是()

A.若3是平面a的一个法向量，直线b上有不同的两点4,B,则b〃a的充要条件是

AB=0

B.已知4B,C三点不共线，对于空间任意一点。，若茄=(力+"而+(后，则P,

4,B,C四点共面

C.已知la=(—1,1,2),b=(0,2,3),若ka+b与2a—b垂直，则k=—：

D.已知AABC的顶点坐标分别为4(-1,1,2),8(4,1,4),C(3,—2,2),则4c边上的高8。

的长为

12.若I,m,n是不相同的空间直线，a,0是不重合的两个平面，则下列命题正确的

是()

A.Z1a,m1p,11m=>a1pQ.l//m,mQa=^l//a

CIUa,mQa,I///?,m〃。今a〃£D.l1n,m1n=>///a

二、填空题(本题共计4小题，每题5分，共计20分，)

13.如右图所示的几何体48C0EF中，ABCO是平行四边形且4E〃。入六个顶点任意

两点连线能组成异面直线的对数是

14.图为一个正方体表面的平面展开图，则在这个正方体中：

(1)EF和4B平行；(2)GH和AB是异面直线；

(3)GH和EF成60°角；(4)EF和。C是异面直线以上四个命题中，所有正确命题的序号是

15.

一个正四面体木块如图所示，点P是棱IM的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱

和4C,若木块的棱长为a,则截面面积为.

16.四面体P-ABC中，PA=PB=PC,底面A4BC为等腰直角三角形，AC=BC,0

为48中点，请从以下平面中选出两个相互垂直的平面.（只填序号）

①平面P4B②平面4BC③平面P4C④平面PBC⑤平面POC

三、解答题（本题共计6小题，每题11分，共计66分，）

17.已知：如图所示，平面a、B、y满足an£=a,0Cy=b,aCiy=c,aC\b=

A.求证：a、b、c三线交于一点.

18.如图，在直三棱柱ABC-ABiG中，D,E分别为BC,AC的中点，AB=BC.求证:

试卷第4页，总21页

(1)4当〃平面。EG；

(2)BE1GE.

19.如图，在正方体48CD—AiBiG。［中，4B=2,点P为。5的中点.

(1)证明：直线3D1〃平面P4C:

(2)求异面直线BO】与力P所成角的正弦值.

20.如图，空间四边形ABCD中，E,尸分别是48,4。的中点，G,“分别在BC,CD上，且

BG:GC=DH:HC=1:2.

(1)求证：E,F,G,H四点共面.

(2)判断直线EG与直线4c的交点是否在直线HF上，并证明你的结论.

21.如图，正方体4BCD-中，E,尸分别是4B,4冬的中点.求证:

CE,£M,D/三线共点.

H

22.如图，在四棱锥P—4BCD中，^ABC=/.BCD=90°,/.BAD=60°,△4OP是等边

三角形，AB=AP=2CD=2,BP=3.

(1)求证：AD1BP：

(2)求直线BC与平面4DP所成的角的正弦值.

试卷第6页，总21页

参考答案与试题解析

2021年人教A版必修2数学第2章点、直线、平面之间的位置

关系单元测试卷含答案

一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分）

1.

【答案】

D

【考点】

空间中直线与直线之间的位置关系

空间中直线与平面之间的位置关系

空间中平面与平面之间的位置关系

命题的真假判断与应用

【解析】

根据选项中的条件依次判断各个选项的正误即可.

【解答】

解：若m〃a,n//p,a//fi,则?n〃n,或异面，故4不正确；

若mua,nu0,则m1n或7n,ri相交，或m〃7i,故B不正确；

若m_Ln,m1.a,n〃。，则a10或a〃氏故C不正确；

若mJLa,n1/?,m//n,则&〃£,故D正确.

故选D.

2.

【答案】

B

【考点】

简单线性规划

必要条件、充分条件与充要条件的判断

【解析】

画出两个平面区域，然后判断充要条件即可.

【解答】

2%—y+2N0r

%+y工0,的可行域如图三角形区域：

（y+2>0

4：%2+y2<9表示圆以及内部部分；

则点P(x,y)G0］是P(x,y)G02的必要不充分条件•

故选B.

3.

【答案】

A

【考点】

直线与平面所成的角

由三视图还原实物图

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：由三视图可知该几何体的直观图如图所示，

NPE4为PE与底面所成的角，

•••PA=V6,AE=y/2,PA_L于底面ABC。，

tan"£4=—=V3,4PEA=

AE3

故选A

4.

【答案】

A

【考点】

必要条件、充分条件与充要条件的判断

直线与平面平行的判定

【解析】

本题考查空间中线面位置关系以及充分条件、必要条件的判断.

试卷第8页，总21页

【解答】

解：若m<ta,nua,m//n,由线面平行的判定定理知?n〃a.

若m〃a,ma,nca,不一定推出?n〃n,直线m与n可能异面，

故"m〃n"是"m〃a”的充分不必要条件.

故选力.

5.

【答案】

D

【考点】

平面的基本性质及推论

【解析】

①由nIIb,可得n1根据m1a,且a10,可知7nln；②，根据a,b

分别垂直于两不重合平面a,p,a1p,可得aJLb,利用m〃a,n//b,可得mln；

③，由题意可得Til夕，利用m〃a,a〃夕，可知znln；④，根据mla,bl£,

a1p,可得mJLb,由于nJ.b,从而m〃n或m1n或m,n相交，故可得结论.

【解答】

解：对于①bl£,n//b,n_L0,m1a,且aJLS，r.mln,①错误;

对于②，；a,b分别垂直于两不重合平面a,B，al/?,alb,'：m//a,

n//b,mln,②正确；

对于③，n//b,blp,nip,m//a,a//p,mln,③正确;

对于④'mJLa,b10,a1氏r.ml/?,nib,?71〃《或m_171或讥,

ri相交，④不正确

所以②③正确

故选D.

6.

【答案】

C

【考点】

直线与平面垂直

充分条件、必要条件、充要条件

【解析】

根据面面垂直的性质可知a1b,两平面的法向量垂直则两平面垂直，最后根据"若pn

q为真命题且qnp为真命题，则命题p是命题q的充要条件"即可得到结论.

【解答】

ala,alp

a〃B或auB

又bt0,a0/?

aLb

反之a1b则a16也成立，

7.

【答案】

C

【考点】

必要条件、充分条件与充要条件的判断

平面与平面平行的判定

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：A,a内有一条直线与口平行，平面a,/?可能相交，故本选项错误；

B,当a内有无数条直线与。平行时，平面a,6可能相交，故本选项错误：

C,a内有两条相交直线分别与0平行，根据面面平行的判定定理，可以推出a〃出故

本选项正确；

D,a内有一条直线与S内的一条直线平行，平面a,夕可能相交，故本选项错误.

故选C.

8.

【答案】

D

【考点】

二面角的平面角及求法

【解析】

作出二面角的平面角，再根据正切的三角关系，比较大小，最后得到结论.

【解答】

ADiffilJffiSCD,

AD1CD,AD1SD,

：.NSDC是面SAC与底面4BCD所成的二面角，

•••NSOC=120。，侧面S4B,直线SE,SA。与底面ABC。所成的二面角分别为a,0,y,

y=120°,

过S作S。1CO于。，贝1S。，

SOJL平面ABC。，

•••4SCD为平面SBC与底面4BCD所成角，

£<60。，tan0=*

过。作OE14B于E,则ZSE。为直线SE与平面4BCD所成的二面角，

S。SO、SO40

tana=—=—>—=tan。,

EO2co产

/.O<0<a<y,

9.

【答案】

D

【考点】

空间中平面与平面之间的位置关系

【解析】

对4个命题分别进行判断，即可得出结论.

试卷第10页，总21页

【解答】

若m〃a,n〃£,mln,则a、0位置关系不确定，故不正确；

若m〃a,则a中存在直线c与ni平行，m//n,n上£,则c1S，cua,；.a_L?,

不正确；

若m_La,n///?,mln,则a、/?可以相交，不正确：

若mla,m//n,则n1a,nl(i,a///?>正确，

10.

【答案】

D

【考点】

空间中直线与平面之间的位置关系

命题的真假判断与应用

【解析】

由直线与平面垂直的判定判断4举实例判断B；根据直线与平面平行的判定判断C；

由平行公理，线面垂直的性质判断D.

【解答】

解：A,若?nua,nca,I1m,I1n,添加条件Tn与n相交，11a才正确，故4错

误；

B,如图所示，把久久看作E,CQ看作n,平面4声道道1看作a,平面88道停看作氏

此时""，故B错误；

C,若7711。且1_1瓶，则〃/a或，在a内，故(；错误；

D,因为“"1,l//n,所以m〃n,若mJ.a,n10,则&〃0,故D正确.

故选D.

11.

【答案】

B,C,D

【考点】

共线向量与共面向量

用向量证明垂直

直线与平面平行的判定

数量积表示两个向量的夹角

正弦定理

【解析】

利用空间向量判断向量与平面的关系、向量垂直、四点共面等问题.

【解答】

解：A,当bua时，9•ZB=0,但b与平面a不平行，故4错误；

T2T1T2T

B,由。「=：。4+：。8+(。。可知，P,AfB,C四点共面，故B正确;

TTTT

Cfka+b=(—k,k+2,2k+3),2a—b=(-2,0,1),

若ka+b与2a—b垂直，

则(kN+I).(22-5)=0,

即2k+0+2k+3=0,

解得k=-3,故C正确；

4

—>

D,•:AC=(4,-3,0),48=(502),BC=(-1,-3,-2),

・・・MC|=142+(-3)2+0=5,\AB\=V29,AB-AC=20,

ABAC204

cosZ-CAB—

\AB\\AC\画X5回'

则sin4a4B=V1-cos2ACAB

1TT1T

S&ABC=l\AB\-\AC\sin^CAB=^\AC\•h,

即内x5x=5/i,

解得/i=vn,故。正确.

故选BCD.

12.

【答案】

A

【考点】

空间中直线与平面之间的位置关系

【解析】

从空间中的线、面间的位置关系及平行垂直的判定定理和性质定理入手，判断四个命

题的真假，可以借助于图形.

【解答】

对于4,11a,ml/?,Z1m=>a1/?.故正确；

对于8,l〃m,mUan1〃a或Iua,故错；

对于C,I£a,mUa,I//P，m〃3=a与0平行或相交，故错；

对于。，l_Ln,m1nn2与a位置关系不定，故错.

二、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分）

13.

【答案】

39

【考点】

异面直线的判定

【解析】

根据三棱锥的结构特征可得：每个三棱锥中有三对异面直线，因为六个点一共形成

盘-2=13个三棱锥（计算三棱锥的个数时应该做到不重不漏），所以得到答案为

试卷第12页，总21页

3(以-2)=39.

【解答】

解：由题意可得：因为题中共有六个点，所以一共形成弓-2=13个三棱锥，

又因为每个三棱锥中有三对异面直线，

所以异面直线的对数是3(量-2)=39.

故答案为：39.

14.

【答案】

⑵⑶

【考点】

空间中直线与直线之间的位置关系

异面直线及其所成的角

异面直线的判定

【解析】

将展开图还原为正方体，然后找出各点对应的正确位置，然后利用正方体的形状特征

进行判断.

【解答】

解：将展开图还原为正方体，如图，

由图可知，EF与4B相交，故(1)错误；

GH与4B异面，故(2)正确；

GH与EF所成的角即GH与GD所成的角，

连接HD,

/.HD=GH=GD,

△GHD为等边三角形,

4HGD=60°,即GH与EF所成的角为60。，故(3)正确;

EF//DC,故(4)错误；

故答案为：(2)(3).

15.

【答案】

a2

T

【考点】

直线与平面平行的性质

直线与平面平行的判定

【解析】

利用线面平行的判定定理可得四边形PDEF为所求的截面，易知四边形PDEF为边长为

的正方形，问题得以解决.

【解答】

解：如图，在平面匕4c内作直线PD〃4C,交UC于D,

在平面VB4内作直线PF〃VB,交4B于F,

过点。作直线DE〃/1C,交BC于E,

•••PF//DE,

P,D,E,F四点共面，且面尸DEF与和ZC都平行，

则四边形PDEF为边长为的正方形，

2

故其面积为十n.

4

2

故答案为：jn

4

16.

【答案】

②⑤或①⑤

【考点】

空间点、线、面的位置

平面与平面垂直的判定

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：•••四面体P2BC中，PA=PB=PC,

底面△ABC为等腰直角三角形，

AC=BC,。为AB中点，

CO1AB,POLAB,COC\PO=0,

ABJL平面POC,

•••48u平面ABC,力Bu平面R4B,

平面POCJ■平面ABC,

平面PAB_L平面POC,

两个相互垂直的平面为②⑤或①⑤，

故答案为：②⑤或①⑤.

三、解答题（本题共计6小题，每题11分，共计66分）

17.

【答案】

证明：如图，

若a、b、c中存在两条直线相交，不妨设anb=4,

则AGa,Aeb,

试卷第14页，总21页

；anp=a,aaa,则46a,

ar\y=b,buy,则Aey,

P在a与y的交线上，即4Gc.

a、b、c交于一点

【考点】

平面的基本性质及推论

【解析】

证明时可从三条交线是否存在两条相交入手，假若有两条相交，可以证明两条直线的

交点一定经过第三条直线.

【解答】

证明：如图，

若a、b、c中存在两条直线相交，不妨设anb=4,

则46a,Aeb,

aC0=a,：.aua,则46a,

aC\y=b,buy,则4ey,

P在a与y的交线上，即Aec.

a、b、c交于一点

18.

【答案】

证明：（1）；。，E分别是BC,4c的中点，

ED//AB,

在直三棱柱ABC-&81cl中，AB“A\B[,

]ED,

又；EDu平面DEC],必为＜t平面DEG，

&Bi〃平面DEG.

（2）-/AB=BC,E为4c的中点，

BEA.AC,

•••三棱柱4BC-&8道1是直三棱柱，

/.GC1平面ABC,

文:BEu平面ABC,

GC1BE,

-：C]Cu平面4遇CC「ACu平面AiACCi，CrCC\AC=C,

：.BEl¥fSA^CCi，

ClEu平面a遇cCi，

BE1JE.

【考点】

两条直线垂直的判定

直线与平面平行的判定

【解析】

此题暂无解析

【解答】

证明：（I）：D,E分别是BC,AC的中点，

ED//AB,

在直三棱柱4BC-&BiCi中，AB〃A、B\,

：.A、B\HED,

又；EDu平面DEC】，&BiC平面DEG，

公当〃平面。EC].

(2)-/AB=BC,E为AC的中点，

BELAC,

1••三棱柱ABC-aB1G是直三棱柱，

QC1平面4BC,

又；BEu平面/BC,

CXC1BE,

1--GCu平面4ACC1，ACu平面ZiACCi，GCnAC=C,

BE

■：的£'(=平面414。。1，

BE1C】E.

【答案】

(1)证明：如图，连接BD,设4C和BD交于点。，则。为BD的中点.

连接P。，因为P是。。［的中点，所以PO〃B。］.

,，夕.：亡一一、、士I'、疗、、C

又因为P。u平面P4C,BDj_，平面P4C,

所以直线3D1〃平面P4C.

(2)解:由(1)知,PO//BD、,

所以异面直线BO1与4P所成角即为P。与4P所成角，

故乙4P。为BA与4P所成角.

因为。4=。。=遍，AO=^AC=>/2,且P0J.4。,

所以sin®"冷湖手

故BL)］与AP所成角的正弦值为日.

【考点】

直线与平面平行的判定

异面直线及其所成的角

【解析】

【解答】

(1)证明：如图，连接BD,设AC和BD交于点0,则。为的中点.

连接P0,因为P是。久的中点，所以P0〃BDr

试卷第16页，总21页

D\

G

又因为POu平面PAC,BD1仁平面PAC,

所以直线BO1〃平面R4C.

(2)解：由(1)知，PO//BDX,

所以异面直线BO1与4P所成角即为P0与4P所成角,

故44P。为BDi与4P所成角.

因为P4=PC=V5,AO=^AC=\[2,且P014。,

AOV2V10

所以sin〃P。—=—=-

APy[55

故BO1与4P所成角的正弦值为当.

20.

【答案】

(1)证明：E,F分别是4B,4D的中点，

EF//BD,

■：BG-.GC=DH-.HC=1:2,

GH//BD,

：.EF//GH,

E,F,G,"四点共面.

(2)判断：EG与4c交点在直线HF上，

证明:由(1)知E,F,G,H共面,

EF平行且等于三GH,

4

设EG与AC交点为P.

•••P£EG,EGu面EFHG,

又•••PeAC,ACu面ACC,

P在面EFHG与面4DC交线上，

PGFH,

：.EG与4C交点在直线”尸上.

【考点】

空间点、线、面的位置

两条直线平行的判定

空间中直线与直线之间的位置关系

【解析】

(1)利用三角形的中位线平行于第三边；平行线分线段成比例定理，得到EF、GH都

平行于BD,利用平行线的传递性得到EF//GH

据两平行线确定以平面得证.

(2)利用分别在两个平面内的点在两个平面的交线上，得证.

【解答】

(1)证明：丫E,F分别是AB,AD的中点，

EF//BD,

•••BG:GC=DH:HC=1:2,

GH//BD,

EFHGH,

E,F,G,H四点共面.

(2)判断：EG与AC交点在直线上，

证明：由(1)知E、F、G、H共面，

EF平行且等于?GH,设EG与4C交点为P.

4

VPeEG,EGc®EFHG,

又♦：PGAC,ACcffi/lDC,

P在面EFHG与面4DC交线上，

PGFH,

：.EG与4c交点在直线HF上.

21.

【答案】

证明：分别延长D/,DA,交于点P,

1.'PEDA,DAa^ABCD,

P&[iaABCD.

F是441的中点，FA/ZD^D,

■.A是。P的中点，

连接CP,1••AB"DC,

CPClAB=E,

CE,D]F,ZM三线共点于P.

【考点】

空间中直线与平面之间的位置关系

【解析】

(1)由三角形中位线定理和平行