三年级奥数还原问题

还原问题

一、还原问题

已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是

以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题.

还原问题又叫做逆推运算问题.解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意

的叙述顺序由后向前逆推计算.在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推.

二、解还原问题的方法

在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反.

方法：倒推法。

口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数.

关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，

变减为加，变乘为除，变除为乘.列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.

SS9凝

(1)还原法的知识点

(2)画图在解题过程中的应用

【例11一个数减16加上24,再除以7得36,求这个数.你知道这个数是几吗?

【考点】计算中的还原问题【难度】1星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】36x7-24+16=244.

【答案】244

【巩固】少先队员采集树种子，采得的个数是一个有趣的数.把这个数除以5,再减去25,还剩25,你算

一算，共采集了多少个树种子？

【考点】计算中的还原问题【难度】1星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】(25+25)x5=250(个)，即共采集了250个树种子.

【答案】250

【例2]学学做了这样一道题：某数加上10,乘以10,减去10,除以10,其结果等于10,求这个数.小

朋友，你知道答案吗？

【考点】计算中的还原问题【难度】1星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】根据题意，一个数，经过加法、乘法、减法、除法的变化，得到结果10,应用逆推法，由结果

10,根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算.

口出口当口4口比DE

10x10=100,100+10=110,110+10=11,=1综合算式为：

(10x10+10)-10-10=(100+10)+10-10=110+10-10=11-10=1所以这个数为1.

解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的

逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘.列式时还要注意运算顺序，正确使用括

号，这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法.

【答案】1

【巩固】学学做了这样一道题：一个数加上3,减去5,乘以4,除以6得16,求这个数.小朋友，你知

道答案吗？

【考点】计算中的还原问题【难度】1星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】根据题意，一个数，经过加法、减法、乘法、除法的变化，得到结果16,应用逆推法，由结果

10,根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算.

某数-^*1-^*1-2^|16

------Y------------------<---Y

综合算式为：16x6-4+5—3=96+4+5-3=24+5-3=29-3=26

【答案】26

【例3]一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米,

最后还剩7米。这捆电线原来有多少米?

【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】为了帮助同学们分析数量关系，可依照题意画出右图。从线段图上可以看出：

第一次用的

15米7米

（1）7+15-10=12（米），就是第一次用去后余下的一半。

（2）12x2=24（米），就是余下的电线长度。

（3）24+3=27（米），就是全长的一半。

（4）27x2=54（米），就是原来电线的长度。

综合列式计算：[（7+15-10）x2+3]x2=（12x2+3）x2=27x2=54（米）

答：这捆电线原来有54米。

【答案】54米

【巩固】甲在加工一堆零件，第一天加工了这堆零件的一半又10个，第二天又加工了剩下的一半又10个,

还剩下25个没有加工，问：这批零件有多少个？

【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】如右图所示，按照图与题目的条件，

可以有如下算式：25+10=35（个），35x2=70（个），70+10=80（个），80x2=160

（个）列综合算式：[（25+10）x2+10]x2=160,答：这批零件共有160个。

【答案】160个

【例4】小丽用4元买了一本《童话大王》，又用剩下的钱的一半买了一本《儿童时代》，买钢笔又用去

第二次剩下的钱的一半多1元，最后还剩4元，问：小丽原有多少钱？

【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

原有钱数

VYYy-V--

4元剩下的一半剩下的一半1元4元

【解析】用倒推法，第二次剩下的一半是4+1=5（元），第二次剩下5x2=10（元），第一次剩下

10x2=20（元），原来有20+4=24（元）。列综合算式：（4+l）x2x2+4=24

答：小丽原有24元。

【答案】24元

【巩固】有一筐苹果，甲取出一半又1个；乙取出余下的一半又1个；丙取出再余下的一半又1个，这时

筐里只剩下1个苹果。这筐苹果共值6元6角，问每个苹果平均值多少钱？

【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】

再余下的一半

从上面的线段图可以看出：

最后剩下的1个再加上丙取出的1个就是再余下的一半，即2个是再余下的一半，因此，再余下

的就是2x2=4（个）；4个再加上乙取出的1个就是余下的一半，所以，甲取出后余下的就是

5x2=10（个）；10个再加上甲取出的1个就是全筐的一半，所以，全筐苹果的总数是11x2=22

（个）。22个苹果共值6元6角，于是可求出每个苹果平均值多少钱？先求有多少个苹果：

（［（1+1）X2+1］X2+1}X2=22（个）再求每个苹果平均值多少钱：66+22=3（角），每个苹果平

均值3角钱。

【答案】3角

［例5］思思看到织女在织布，她把一段五彩布第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，这时还剩

下8米，你知道这段五彩布原来长多少米吗？

【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】根据题意，画出线段图，倒推分析.

出〜剪去一半剩工8米

第二次.■'8x2=16（米）

剪去一半剩下16米

第一次产一、-'-"I1&23（米）

所以这段五彩布原来长32米.

【答案】32米

【巩固】一群蚂蚁搬家，原存一堆食物.第一天运出总数的一半少12克.第二天运出剩下的一半少12克,

结果窝里还剩下43克.问蚂蚁家原有食物多少克？

【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】采用倒推法，教师可画线段图帮助学生理解.如果第二天再多运出12克，就是剩下的一半，所以

第一天运出后，剩下的一半重量是43-12=31（克）；这样，第一天运出后剩下的重31x2=62（克）.

那么同理，一半的重量是62-12=50（克），原有食物50x2=100（克）.即

［（43-12）x2-12］x2=100（^）.

【答案】100克

【例6】玩具店的玩具每卖出一半，就补充20个，到第十次卖出一半后恰好余下20个，则玩具店原有

玩具一个。

【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】填空

【关键词】2003年，希望杯，第一届，四年级，二试，第4题，可逆思想方法

【解析】20x2=40,40+2+20=40,所以前9次每次都剩40个，原有也是40个。

【答案】40个

【巩固】牧羊人赶一群羊过10条河，每过一条河时都有一半的羊掉入河中，每次他都捞上3只，最后清

查还剩6只。这群羊在过河前共有只。

【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】填空

【关键词】2006年，希望杯，第四届，四年级，二试，第6题

【解析】用还原法，过第10条河之前，有（6-3）x2=6只，因此他过每一条河之前都有6只羊，最初也

共有6只。

【答案】6只

［例7］甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书280本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥

护，于是从甲调14本给乙，从乙调15本给丙，从丙调17本给丁，从丁调18本给甲。这时四

个组的书一样多。这说明甲组原来有书本。

【考点】多个变量的还原问题【难度】2星【题型】填空

【关键词】2003年，第1届，希望杯，4年级，1试

【解析】甲得到4本，乙失去1本，丙失去2本，丁失去1本后，四个人书一样多，为280+4=70,所以甲

原来有70-4=66本书

【答案】66本书

【巩固】一群小神仙玩扔沙袋游戏，他们分为甲、乙两个组，共有140只沙袋.如果甲组先给乙组5只,

乙组又给甲组8只，这时两组沙袋数相等.两个组原来各有沙袋多少只？

【考点】多个变量的还原问题【难度】2星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】甲乙两组的沙袋经历了两次交换.第二次交换后两组沙袋相等，又知沙袋总数为140只，所以这

时两组各有沙袋70只.解答时可以从70开始倒推.列表倒推如下：

甲组乙如

最后结栗140-2=70140-2=70

第二次交换前70-8=6270+8=78

第一次交换前牖来）62+5=6778-5=73

解决此类问题的关键是找到从哪里开始倒推.因为甲乙两组的沙袋经历了两次交换后数量相等,

所以应从两组各有沙袋70只开始倒推.

【答案】甲67,乙73

【例8】三人有不等的存款，只知如果甲给乙40元，乙再给丙30元，丙再给甲20元，给乙70元，这

样三人各有240元，三人原来各有存款多少元？

【考点】多个变量的还原问题【难度】2星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】甲：240+40-20=260（:元）；乙：240-40+30-70=16。（元）；丙：240-30+20+70=300.

【答案】甲260元，乙160元，丙300元

【巩固】小巧、小亚、小红共有90个玻璃球，小巧给小亚6个，小亚给小红5个，小红给小巧8个，他们

的玻璃球个数正好相等.小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃球？

【考点】多个变量的还原问题【难度】2星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】由已知条件可知，小巧比原来多了2个，小亚比原来多了1个，小红少了3个，三人一样多时，都

是90+3=30（个），所以小巧原来有30-2=28（个），小亚原来有30-1=29（个），小红原来

有30+3=33（个）.

【答案】所以小巧原来有28个，小亚原来有29个，小红原来有33个.

［例9］三棵树上共有36只鸟，有4只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，有8只鸟从第二棵树上飞到第

三棵树上，有10只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上，这时，三棵树上的鸟同样多.原来每棵树

上各有几只鸟？

【考点】多个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】这道题要采用倒推法，最后三棵树上的鸟同样多，那每棵数上就是36+3=12（只），第一棵树上

的鸟，先是飞了4只到第二棵树上，然后又有10只飞了回来，现在和原来比小鸟增加了6只，

这样比较就能求出第一棵树上小鸟的只数；第二棵树上的鸟，先是飞来了4只，然后又有飞走了

8只，现在和原来比少了4只，这样比较就能求出第二棵树上小鸟的只数；第三棵树上的鸟，先

是飞来了8只，然后又飞走了10只，现在和原来比少了1只，这样比较就能求出第三棵树上小

鸟的只数.列式：现在一样多的：36+3=12（只），第一棵树上的小鸟只数：12-10+4=6（只）

或12-（"上）（只），第二棵树上的小鸟只数：12+8-4=16（只）或12+（8-4）=16（只），

第三棵树上的小鸟只数：12+10-8=14（只）或12+（10-8）=14（只）原来第一棵树上有6只

小鸟，第二棵树上有16只小鸟，第三棵树上有14只小鸟.

【答案】原来第一棵树上有6只小鸟，第二棵树上有16只小鸟，第三棵树上有14只小鸟

【巩固】三棵树上共有27只鸟，从第一棵飞到第二棵2只，从第二棵飞到第三棵3只，从第三棵飞到第

一棵4只，这时，三棵树上的鸟同样多.原来每棵树上各有几只鸟？

【考点】多个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】三棵树上的鸟同样多的只数：27+3=9（只），第一棵数上鸟的只数：9-4+2=7（只），第二

棵数上鸟的只数：9-2+3=10（只），第三棵数上鸟的只数：9-3+4=10（只），第一棵数上有

7只鸟，第二棵数上有10只鸟，第三棵数上有10只鸟.

【答案】第一棵数上有7只鸟，第二棵数上有10只鸟，第三棵数上有10只鸟

【例10］甲、乙、丙3人共有192张邮票.从甲的邮票中取出乙那么多给乙后，再从乙的邮票中取出丙

那么多给丙，最后从丙的邮票中取出甲那么多给甲，这时甲、乙、丙3人邮票数相同，甲、乙、

丙原来各有多少张？

【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】甲、乙、丙原共有192张邮票，经过三次交换后，甲乙丙三人仍有邮票192张，而且三人邮票数

相同，即3人各有邮票：192+3=64（张）.第三次交换从丙的邮票中取出甲那么多给甲，说明

这次交换前甲有邮票64+2=32（张），丙有邮票：64+32=96（:张），依此类推，就可以推出答

案了.最后相等时各有192+3=64（张），列表倒推如下：

甲（张）乙（张）丙（张）

最后646464

前次326496

再前次3211248

原来885648

【答案】甲、乙、丙原有邮票数依次为88,56,48张

【巩固】有甲、乙、丙三堆苹果共96个，第一次从甲堆中取出与乙堆一样多的苹果放入乙堆；第二次再

从乙堆中取出与丙堆一样多的苹果放入丙堆；第三次从丙堆中取出与甲堆剩下的苹果数相同的苹

果放入甲堆中，这时三堆苹果数相等.原来甲堆有个苹果，乙堆有个苹果，

丙对有个苹果.

【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】填空

【关键词】2010年2年级，第12题，可逆思想方法

【解析】如下表：

乙丙

I甲

442824甲堆放入乙堆前（最初）

165624乙堆放入丙堆前

163248丙堆放入甲堆前

323232最后

【答案】甲44,乙28,丙24

【随练1】一个数减16加上24,再除以7得36,求这个数.你知道这个数是几吗?

【考点】计算中的还原问题【难度】1星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】36x7-24+16=244.

【答案】244

【随练2】食堂买进一批大米，第一天吃了全部的一半少28千克，第二天吃了余下的一半少8千克，最后

剩下122千克.这批大米共有多少千克？

【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】列式为：K122—8）X2—28]X2=200X2=400（千克）

【答案】400千克

【随练3】3个笼子里共养了78只鹦鹉，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼

子里取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的鹦鹉一样多.求3个笼子里原来各养了多

少只鹦鹉？

【考点】多个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】3个笼子里的鹦鹉不管怎样取，78只的总数始终不变.变化后"3个笼子里的鹦鹉一样多"，可以

求出现在每个笼里的是78+3=26（只）.根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里”，可

以知道第1个笼子里原来养了26+8=34（只）；再根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼

子里"，得出第2个笼子里有：26+6-8=24（只），第3个笼子里原有26-6=20（只）.

【答案】第1个笼子里原来养了34只，第2个笼子里有24只，第3个笼子里原有20只。

民因仍强

【作业1】一次数学竞赛颁奖会上，小刚问老师："我得了多少分？"老师说："你的得分减去6后，缩小2倍，

再加上10后，扩大2倍，恰好是100分”.小刚这次竞赛得了多少分？

【考点】计算中的还原问题【难度】1星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】从最后一个条件“恰好是100分”向前推算.扩大2倍是100分，没有扩大2倍之前应是100+2=50

（分），加上10后是50分，没有加上10前应是50-10=40（分），缩小2倍是40分，那么没有缩小2

倍前应是40x2=80（分），减去6后是80分，没有减去6前应是80+6=86（分）.综合列式为：

（100+2-10）x2+6=40x2+6=86（分），所以，小刚这次竞赛得了86分.

【答案】86

【作业2】山顶上有棵桃数，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了总数的一半多2个，第二天又偷吃了剩下

的一半多2个，这时还剩1个，问：树上原来有多少个桃子？

【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】2x[Q+2）x2+2]=16（个）.

【答案】16个

【作业3】一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，

最后还剩7米，这捆电线原有多少米？

【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】由逆推法知，第二次用完还剩下15+7=22（米），第一次用完还剩下（22-10）x2=24（米），原来电

线长（24+3）x2=54（米），（15+7—10）x2+3=x2=54（米）.

【答案】54米

【作业4】甲、乙两班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从现有的树中也

拿出与甲班同样多的树给甲班，这时两班恰好都有28棵树，问甲、乙两班原来各有树多少棵？

【考点】多个变量的还原问题【难度】2星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】如果后来乙班不给与甲班同样多的树，甲班应有树28+2=14（棵），乙班有28+14=42