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第3讲空间直线、平面的平行1.[命题点1]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,E分别为AC,B1C1的中点.求证:DE∥平面ABB1A1.解析解法一如图,取BC的中点F,连接DF,EF,因为F是BC的中点,D是AC的中点,所以DF∥AB,因为DF⊄平面ABB1A1,所以DF∥平面ABB1A1.又E是B1C1的中点,所以EF∥B1B,因为EF⊄平面ABB1A1,所以EF∥平面ABB1A1.因为DF∩EF=F,所以平面DEF∥平面ABB1A1,因为DE⊂平面DEF,所以DE∥平面ABB1A1.解法二如图,取A1B1的中点F,连接EF,AF,因为E,F分别是B1C1,A1B1的中点,所以EF∥A1C1,且EF=12A1C1又AC∥A1C1,AC=A1C1,所以EF∥AC,且EF=12AC因为D为AC的中点,所以EF=AD,所以四边形ADEF为平行四边形,所以DE∥AF.因为DE⊄平面ABB1A1,AF⊂平面ABB1A1,所以DE∥平面ABB1A1.2.[命题点1,2]在如图所示的圆柱O1O中,AB,CD分别是圆O,圆O1的直径,E为圆O上一点,P为DE上一点,且OP∥平面BCE.求证:DP=PE.解析如图所示,连接O1P,O1O,则易知OO1∥BC,因为BC⊂平面BCE,且OO1⊄平面BCE,所以OO1∥平面BCE,因为OP∥平面BCE,且OO1∩OP=O,OO1,OP⊂平面OPO1,所以平面OPO1∥平面BCE.又因为平面DCE∩平面OPO1=O1P,平面DCE∩平面BCE=CE,所以O1P∥CE.因为O1是CD的中点,所以P是DE的中点,即DP=PE.3.[命题点2]如图,在三棱锥P-ABC中,△PAB是正三角形,G是△PAB的重心,D,E,H分别是PA,BC,PC的中点,点F在BC上,且BF=3FC.证明:平面DFH∥平面PGE.解析如图,连接BG,DG,由题意可得BG与GD共线,且BG=2GD.∵E是BC的中点,BF=3FC,∴F是CE的中点.∴BGGD=BEEF=2,∴GE∥∵GE⊂平面PGE,DF⊄平面PGE,∴DF∥平面PGE.∵H是PC的中点,F为CE的中点,∴FH∥PE,又PE⊂平面PGE,FH⊄平面PGE,∴FH∥平面PGE.∵DF∩FH=F,DF⊂平面DFH,FH⊂平面DFH,∴平面DFH∥平面PGE.4.[命题点3/2024北京市海淀区模拟]如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面四边形ABCD是边长为5的菱形,AA1=AC=4,E为AB的中点,F为CC1的中点.(1)证明:EF∥平面ACD1.(2)若点P为线段EF上的动点,求点P到平面ACD1的距离.解析(1)如图,取BC的中点G,连接FG,EG,BC1.∵G,E,F分别为BC,AB,CC1的中点,∴EG∥AC,FG∥BC1.由四棱柱ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱,得AD1∥BC1,∴AD1∥GF.∵AD1⊂平面ACD1,GF⊄平面ACD1,∴GF∥平面ACD1.∵EG⊄平面ACD1,AC⊂平面ACD1,∴EG∥平面ACD1.又EG∩FG=G,EG,FG⊂平面EFG,∴平面EFG∥平面ACD1.∵EF⊂平面EFG,∴EF∥平面ACD1.(2)连接BD,与AC相交于点O,如图,在Rt△ADD1中,AD1=AD2+DD同理可得CD1=21,由四边形ABCD是菱形,可知AC⊥BD,且OA=OC=2,在Rt△OAB中,OB=AB2-O设点P到平面ACD1的距离为d,由EF∥平面ACD1,可知点E到平面ACD1的距离也为d,连接OD1,ED1,CE,∵AD1=CD1=21,O是AC的中点,∴D1O⊥AC,∴OD1=AD12-OA2=21-4=17,则△ACD
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