2024-2025学年新教材高中数学第6周检测高一30%+第一章20%+第二章50%新人教A版选择性必修第一册

第6周检测(高一30%+第一章20%+其次章50%)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合A={x|lnx≥1},B={x|1<x<3},则A∩B=()A.⌀ B.{x|e<x<3} C.{x|e≤x<3} D.{x|x>1}2.奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(-2)=0,则不等式xf(x)>0的解集是()A.(-2,2) B.(2,+∞)C.(-∞,-2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)3.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-1)2+(y+2)2=1,则圆C1与C2的位置关系是()A.内含 B.相交 C.外切 D.外离4.在△ABC中,已知a=3,b=4,c=13,则角C为()A.90° B.60° C.45° D.30°5.已知在圆M:x2+y2-4x+2y-4=0内,过点O(0,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD,则四边形ABCD的面积为()A.6 B.8 C.10 D.126.圆C1:(x-1)2+y2=4与圆C2:(x+1)2+(y-3)2=9的相交弦所在的直线为l,则直线l被圆O:x2+y2=4截得的弦长为()A.13 B.4 C.439137.已知P为圆M:(x-3)2+(y-6)2=1上的一动点,O为坐标原点,则|OP|的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.48.已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+1)2=1外切,则ab的最大值为()A.2 B.17 C.94二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.某学校为了调查学生一周在生活方面的支出状况,抽出了一个样本量为n的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在[50,60)内的学生有60人,则下列说法正确的是()A.样本中支出在[50,60)内的频率为0.03B.样本中支出不少于40元的人数为132C.n的值为200D.若该校有2000名学生,则确定有600人支出在[50,60)内10.已知圆C:(x-2)2+(y-2)2=25,直线l:3x-4y+m=0,圆C上恰有3个点到直线l的距离为3,则m的值可以为()A.-13 B.-8 C.12 D.1711.已知直线l:mx+(m+2)y-2m-2=0(m∈R),圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,点P为圆C上的随意一点,则下列说法正确的有()A.直线l恒过定点(1,1)B.直线l与圆C恒有两个公共点C.直线l被圆C截得的最短弦长为26D.当m=-1时,点P到直线l的距离的最大值是5+2三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若向量a,b不共线,且a+mb与-(b-2a)共线,则实数m的值为.

13.圆O:x2+y2+2x-2y+1=0关于直线x-y+3=0的对称圆的标准方程是.

14.直线l:2mx+y-m-1=0与圆C:x2+(y-2)2=4交于A,B两点,则当弦AB最短时,直线l的方程为.

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在平面直角坐标系xOy中,直线l1:2x-y-4=0与l2:x-y-1=0的交点为C,以C为圆心作圆,圆C上的点到x轴的最小距离为1.(1)求圆C的标准方程;(2)过点A(0,3)作圆C的切线,求切线的方程.16.(15分)某校进行一次数学竞赛,从参加竞赛的同学中,选取50名同学将其成果分成6组:第1组[40,50),第2组[50,60),第3组[60,70),第4组[70,80),第5组[80,90),第6组[90,100],得到频率分布直方图(如图).视察图中的信息,回答下列问题:(1)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替,估计本次考试成果的平均数;(2)利用频率分布直方图估计本次考试成果的第65百分位数;(3)已知学生成果评定等级有优秀、良好、一般三个等级,其中成果不小于90分时为优秀,若从第5组和第6组两组学生中,随机抽取2人,求所抽取的2人中至少1人成果优秀的概率.17.(15分)在如图所示的多面体ABCDFE中,四边形ABCD为菱形,在梯形ABEF中,AF∥BE,AF⊥AB,AB=BE=2AF=2,平面ABEF⊥平面ABCD.(1)证明:BD⊥平面ACF;(2)若二面角F-CD-B的大小为π6,求直线AC与平面CEF所成角的正弦值18.(17分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求点M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求直线l的方程及△POM的面积.19.(17分)已知直线l经过点P(-2,0),且与圆C:(x-4)2+(y-3)2=9相交于A,B两点.(1)若CA⊥CB,求直线l的斜率;(2)若PA=λAB(λ>0),求λ的取值范围.

参考答案第6周检测(高一30%+第一章20%+其次章50%)1.C由lnx≥1,得x≥e,即A={x|x≥e},则A∩B={x|e≤x<3}.故选C.2.D∵奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(-2)=0,∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(2)=-f(-2)=0.∴不等式xf(x)>0等价于x即x>0,x>2故选D.3.D圆C1:x2+y2=1,圆心为C1(0,0),半径r1=1,圆C2:(x-1)2+(y+2)2=1,圆心为C2(1,-2),半径r2=1,由|C1C2|=(1-0)2+(-2-0)2=5>4.B由a=3,b=4,c=13,得cosC=a2+b2-c225.D将圆M的方程化成标准形式为(x-2)2+(y+1)2=9,所以圆心为(2,-1),半径为3.因为点(0,0)到圆心的距离为5,小于半径3,所以点(0,0)在圆内,所以过点O(0,0)的最长弦AC是直径,最短弦BD的中点是O(0,0),且AC⊥BD.|AC|=2×3=6,|BD|=232-(则S四边形ABCD=12|AC|·|BD|=12×6×4=故选D.6.D圆C1:(x-1)2+y2=4与圆C2:(x+1)2+(y-3)2=9的方程相减可得直线l的方程2x-3y+2=0,圆O:x2+y2=4的圆心O(0,0),半径r=2,圆心O到直线l:2x-3y+2=0的距离为d=|2可得所求弦长为2r2-d2=7.D圆M:(x-3)2+(y-6)2=1的圆心为M(3,6),半径为由题意得|OM|=(3)2+(6所以|OP|的最大值为|OM|+r=4.故选D.8.A圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4的圆心为C1(a,-2),半径r1=2,圆C2:(x+b)2+(y+1)2=1的圆心为C2(-b,-1),半径r2=1,由圆C1与圆C2外切,得|C1C2|=r1+r2,即(a+∴(a+b)2=8,要使ab取得最大值,则a,b同号,不妨取a>0,b>0,由基本不等式,得ab≤a+b22=84=2,当且仅当a=b=∴ab的最大值为2.故选A.9.BC由频率分布直方图,得样本中支出在[50,60)内的频率为1-(0.01+0.024+0.036)×10=0.3,故A错误;样本中支出不少于40元的人数为0.360.3n=600.3=若该校有2000名学生,则可能有600人支出在[50,60)内,故D错误.10.BC因为圆C上恰有3个点到直线l的距离为3,所以圆心C(2,2)到直线l:3x-4y+m=0的距离为5-3=2,即|3×2-4×2+故选BC.11.ABD对于A,直线l:m(x+y-2)+2y-2=0,令x+y所以直线l恒过定点(1,1),故A正确;对于B,因为直线l过定点(1,1),且(1-1)2+(1-2)2=1<25,所以定点(1,1)在圆C内,所以直线l与圆C恒有两个公共点,故B正确;对于C,当直线l与过定点和圆心的直线垂直时,直线l被圆C截得的弦长最短,定点和圆心之间的距离为(1-1)2+(对于D,当m=-1时,直线l:x-y=0,圆心到直线l的距离是|1-2|1+1=22,所以点P到直线12.-12因为a+mb与-(b-2a)共线,且a,b所以存在实数λ(λ≠0)使得-(b-2a)=λ(a+mb)成立,即(2-λ)a=(λm+1)b.因为向量a,b不共线,所以2-λ=0,13.(x+2)2+(y-2)2=1因为圆x2+y2+2x-2y+1=0转化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=1,所以其圆心为(-1,1),半径为1.设(-1,1)关于直线x-y+3=0的对称点为(a,b),则有a解得a故所求圆的圆心为(-2,2),半径为1.所以所求圆的标准方程为(x+2)2+(y-2)2=1.14.2x-4y+3=0依据题意,圆C的圆心C为(0,2),半径r=2,直线l:2mx+y-m-1=0恒过点P12,1.当CP与AB垂直,即P为弦AB的中点时,弦AB最短,kCP=2-10-12=-此时-2m=12⇒m=-1此时直线AB的方程为-12x+y-34=0,变形可得2x-4y+3=15.解(1)依据题意,联立2x-y-设圆C的半径为r,由题意知2-r=1,则r=1,故圆C的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=1.(2)过点A(0,3)作圆C的切线,切线的斜率必存在.设切线方程为y=kx+3.由题意|3k+1|k2+1故所求的切线方程为y=3或3x+4y-12=0.16.解(1)由频率分布直方图可知平均数x=(45×0.01+55×0.026+65×0.02+75×0.03+85×0.008+95×0.006)×10=66.8.(2)成果在[40,70)的频率为(0.01+0.026+0.02)×10=0.56,成果在[40,80)的频率为0.56+0.03×10=0.86,故第65百分位数位于区间[70,80)内,设其为x,则0.56+(x-70)×0.03=0.65,解得x=73,故本次成果的第65百分位数估计为73.(3)第5组的人数为50×0.008×10=4,可记为A,B,C,D;第6组的人数为50×0.006×10=3,可记为a,b,c.则从中任取2人,有(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),(A,c),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(B,c),(C,D),(C,a),(C,b),(C,c),(D,a),(D,b),(D,c),(a,b),(a,c),(b,c),共21种状况,其中至少1人成果优秀的状况有(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(C,a),(C,b),(C,c),(D,a),(D,b),(D,c),(a,b),(a,c),(b,c),共15种状况,故至少1人成果优秀的概率为P=152117.(1)证明∵平面ABEF⊥平面ABCD,AF⊥AB,AF⊂平面ABEF,平面ABEF∩平面ABCD=AB,∴AF⊥平面ABCD.又BD⊂平面ABCD,∴AF⊥BD.∵四边形ABCD为菱形,∴BD⊥AC.又AF∩AC=A,AF,AC⊂平面ACF,∴BD⊥平面ACF.(2)解设AC∩BD=O,以O为原点,OC,OB为x轴、y轴建立空间直角坐标系.设∠ADB=θ,θ∈0,π4,则A(-2sinθ,0,0),F(-2sinθ,0,1),C(2sinθ,0,0),D(0,-2cosθ,0),E(0,2cosθ,2).平面CDB的一个法向量n=(0,0,1),设平面CDF的法向量m=(x,y,z),CF=(-4sinθ,0,1),DC=(2sinθ,2cosθ,0),则m即-取x=cosθ,则m=(cosθ,-sinθ,4sinθcosθ).由二面角F-CD-B的大小为π6,可得cosπ即4sinθ解得sin2θ=32又θ∈0,π4,∴θ=π6.∴A(-1,0,0),F(-1,0,1),C(1,0,0),E(0,3,2),CF=(-2,0,1),CE=(-1,3,2),CA=(-2,0,0).设平面CEF的法向量i=(x,y,z),则i·CF=0,i·CE=0,即故直线AC与平面CEF所成角的正弦值为|cos<CA,i>|=|CA18.解(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y).由题设知CM·MP故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.所以点M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,2为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故点O在线段PM的垂直平分线上.又点P在圆N上,从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3,所以直线l的斜率为-13