云南省昭通市云天化高级中学2023-2024学年高一下学期三月月考 数学试卷【含答案】

云天化中学2024年高一年级（下）三月月考卷高一数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1．下列命题中，正确命题的个数是（

）①单位向量都共线；②长度相等的向量都相等；③共线的单位向量必相等；④与非零向量共线的单位向量是A．0 B．1 C．2 D．32．的值为（

）A． B．1 C． D．23．如图所示，在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为（

）．

A． B． C． D．4．已知，则（

）A． B．C． D．5．三个数，，的大小关系是（

）A． B．C． D．6．已知向量，满足，与的夹角为，则在上的投影向量为（）A． B． C． D．7．如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心O到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q．现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，摩天轮从开始转动一圈，点Q距离水平地面的高度不超过85米的时间为（

）A．20分钟 B．22分钟 C．24分钟 D．26分钟8．已知函数，若函数在有6个不同零点，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．二､多选题：本题共3小题，共18分.9．已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且，，，则下列命题中正确命题为（

）A．； B．；C．； D．10．函数图象上所有的点经过变换得到函数的图象，这种变换可以是（

）A．向左平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度C．向右平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度11．函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．B．函数图象的对称轴为直线C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知单位向量，满足，则与的夹角为.13．已知，，则的值域为.14．已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的最大值是四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．函数.(1)求的最小正周期及其图象的对称中心；(2)若，求函数的值域.16．如图，在中，AQ为边BC的中线，，过点P作直线分别交边AB，AC于点M，N，且，，其中，.(1)当时，用，表示；(2)求的值，并求最小值.17．如图是函数的部分图象，M，N是它与x轴的两个不同交点，D是M､N之间的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点.(1)求函数的解析式及上的单调增区间；(2)若时，函数有两个零点，求实数a的取值范围.18．已知，，(1)求的值；(2)若，，求的值.19．已知为奇函数.(1)求a的值；(2)若对恒成立，求实数k的取值范围；(3)设，若，总，使得成立，求实数m的取值范围.1．B【分析】根据向量的定义即可判断命题①②③都错误，与非零向量共线的单位向量是，从而判断命题④正确，这样即可得出正确的选项．【详解】解：向量既有大小也有方向，单位向量的方向不相同或相反便不共线，命题①错误；长度相等而方向不同的向量不相等，命题②错误；共线的单位向量方向不相同的也不相等，命题③错误；与非零向量共线的单位向量是：，命题④正确．故选：．2．B【解析】根据正切的差角公式逆用可得答案．【详解】，故选：B．3．D【分析】利用共线定理的推论可得.【详解】因为，所以，所以，因为P，B，N三点共线，所以，解得.故选：D4．B【分析】根据辅助角公式求得，结合角的范围可得，继而利用两角差的余弦公式，即可求得答案.【详解】因为，故，则，而，故，故，故选：B5．B【分析】分别借助三个函数、和的单调性思考问题，借助中间值判断即可.【详解】函数中，所以函数在上单调递增，则；函数中，所以函数在上单调递减，则；函数在上单调递增，则；所以.故选：B.6．C【分析】利用投影向量的定义求解.【详解】解：因为，与的夹角为，所以，所以在上的投影向量，故选：C7．A【分析】Q距离水平地面的高度，，解不等式得到答案.【详解】Q距离水平地面的高度，，，即，，解得，故时间为.故选：A8．C【分析】令，得或，作出函数的图象，结合函数图象，分，和三种情况讨论即可得解.【详解】令，即，解得或，如图，作出函数的图象，当时，有无数个解；当时，则方程无解，因为函数在有6个不同零点，所以方程在有6个不同的实根，即函数的图象在有6个不同的交点，由图可知，，所以，当时，则方程无解，则方程在有6个不同的实根，即函数的图象在有6个不同的交点，由图可知，，所以，综上所述，实数a的取值范围是.故选：C.【点睛】关键点点睛：画出函数的图象，根据图象分类讨论是解题的关键.9．BCD【分析】利用向量加法、减法、数乘运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】，A错误.，B正确.，C正确.，D正确.故选：BCD10．BD【分析】根据诱导公式化简再根据平移的大小验证每个选项即可.【详解】,若向左平行移动个单位长度，得，故错误；若向左平行移动个单位长度，得故正确；若向右平行移动个单位长度，得故错误；若向右平行移动个单位长度，得故正确.故选：11．ABD【解析】利用函数图象求出函数的解析式，可判断A选项的正误；解方程可判断B选项的正误；利用三角函数图象的平移规律可判断C选项的正误；由求出的取值范围，结合题意求出的取值范围，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，由图可知，设函数的最小正周期为，则，，，则，由得，解得，又，，，A正确；对于B选项，由，得，B正确；对于C选项，将函数的图象向左平移个单位长度，得的图象，C错误；对于D选项，由得，由的图象可知，要使函数在区间上的值域为，则，解得，D正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据三角函数的部分图象求函数解析式的步骤如下：（1）求、，；（2）求出函数的最小正周期，进而得出；（3）取特殊点代入函数可求得的值.12．【分析】两边平方，得到，则，求出答案.【详解】两边平方得，即，则，故与的夹角为故答案为：13．【分析】令，再结合平方关系将用表示，根据三角函数的性质求出的范围，再结合二次函数的性质即可得解.【详解】令，则，故，因为，所以，所以，令，则在单调递增，则当，所以的值域为.故答案为：.14．【分析】根据辅助角公式，结合换元法、正弦型函数的单调性和最值性质进行求解即可.【详解】，令，因为，所以，因为，所以在上时单调递增，所以有，当时，，所以在时，只取得一次最大值，因此有，综上所述：，所以的最大值是，故答案为：【点睛】关键点睛：利用换元法，根据正弦型函数的最值性质和单调性是解题的关键.15．(1)，对称中心为(2)【分析】（1）先根据三角恒等变换化简函数解析式，再根据正弦函数的周期性和对称性即可得解；（2）根据正弦函数的性质结合整体思想即可得解.【详解】（1），则的最小正周期，令，则，所以对称中心为；（2）因为，所以，所以，所以函数的值域为.16．(1)(2)，最小值为【分析】（1）根据平面向量基本定理，结合为边的中线求解即可；（2）结合（1）可得，再根据，求得，结合三点共线即可求出，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得解.【详解】（1）因为为边的中线，所以，因为，，所以，，所以，即；（2）由（1）可得，因为，，所以，，，由三点共线，得，所以，则，当且仅当，即时，取等号，所以最小值为.17．(1)，单调增区间为(2)【分析】（1）点是线段DM的中点，得到，，从而得到，然后将点D坐标代入求解，即可的出函数的解析式，再根据正弦函数的单调性求单调增区间即可；（2）根据，得到，再将函数有两个零点，转化为方程有两个不等实数根求解.【详解】（1）因为点是线段DM的中点，所以，，则，，所以，所以，由，故，，所以，，又因为，则．所以，由，得，令，得，所以函数在上的单调增区间为；（2）因为，则，令，因为函数有两个零点，则方程有两个不等实数根，即方程有两个不等实数根，即有两个不等实数根，即函数的图象与在上有两个交点，如图所示，作出函数的图象，由图可知，．18．(1)(2)【分析】（1）根据题意，求得，平方结合正弦的倍角公式，即可求解；（2）根据题意，求得和，结合两角差的正弦公式，准确运算，即可求解.【详解】（1）解：由，可得，又由，可得.（2）解：因为，所以，且，所以，所以，因为，可得，所以，所以.19．(1)(2)(3)【分析】（1）根据奇函数的定义分析求解；（2）由题意可得，换元令，结合对勾函数的最值分析求解；（3）由题意可知：，根据指数型函数以及正弦型函数的最值分析求解.【详解】（1）因为为奇函数，且定义域为，则，解得，此时，可得，所以为奇函数，即符合题意；（2）若对恒成立，即，整理得，可知，令，由可知，且，可得，由双勾函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增，且，，即在上的最大值为，可得，所以实数的