上海市华东师范大学附属周浦中学2023-2024学年高一下学期期末考试 数学试题

2023—2024学年上海市浦东新区华东师大附属周浦中学高一（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分）1．（3分）角属于第______象限角．2．（3分）在中，如果三条边，那么角______．（用反三角形式表示角）3．（3分）若是复数，，则______．4．（3分）计算：______．5．（3分）在复数范围内因式分解：______．6．（3分）小数化为分数是______．7．（3分）设等差数列中，，前项和为，则______．8．（3分）在等比数列中，其前项和为，若，则______．9．（3分）已知数列的前项和，则它的通项公式______．10．（3分）已知关于的实系数一元二次方程有两个根，且，则满足条件的实数的值为______．11．（3分）若是偶函数，则有序实数对（a，b）______．（注：写出你认为正确的一组数字即可）12．（3分）已知数列的通项公式为，记，若，则正整数的值为______．二、选择题（共4小题，每小题4分，共16分）13．（4分）设为复数，下列命题一定成立的是（）A．如果是正实数，那么B．如果，那C．如果是正实数，那么D．如果，那么14．（4分）要得到函数的图象，只要把函数图象（）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位15．（4分）等比数列的首项，公比为，数列满足（是正整数），若当且仅当时，的前项和取得最大值，则取值范围是（）A． B． C． D．16．（4分）设数列为：，其中第1项为，接下来2项均为，再接下来8项均为，以此类推，记，使得；②数列（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题三、解答题（满分48分，）17．（8分）当实数为何值时，复数为：（1）实数；（2）纯虚数；（3）对应点在第二象限？18．（8分）已知，求的值．19．（10分）已知函数．（1）求的最小正周期，对称中心；（2）求的单调区间，最值以及取得最值时的值．20．（10分）已知数列满足．设．（1）求证：数列是等比数列，并求数列通项公式；（2）设数列，且对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．21．（12分）对于数列，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知为数列的“接近数列”，且．（1）若（是正整数），求的值；（2）若（是正整数），是否存在（是正整数），使得，如果存在，请求出的最小值，如果不存在；（3）若为无穷等差数列，公差为，求证：数列为等差数列的充要条件是．2023—2024学年上海市浦东新区华东师大附属周浦中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分）1．【分析】根据终边相同的角的定义即可得．【解答】解：与终边相同．故答案为：四．【点评】本题考查终边相同的角的定义，属于基础题．2．【分析】先设，然后结合余弦定理可求，进而可求．【解答】解：在中，，设，根据余弦定理得，，故．故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．3．【分析】根据复数的除法运算化简复数，再根据共轭复数的概念求得答案．【解答】解：，．故答案为：．【点评】本题主要考查了复数的四则运算及共轭复数的概念，属于基础题．4．【分析】利用复数的运算性质化简即可求解．【解答】解：原式．故答案为：1000．【点评】本题考查了复数的运算性质，属于基础题．5．【分析】根据已知条件，结合求根公式，即可求解．【解答】解：令，，由求根公式可知，，故．故答案为：．【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题．6．【分析】设，两式相减可得答案．【解答】解：设，，，，解得．故答案为：．【点评】本题考查方程思想的应用，属于基础题．7．【分析】由已知结合等差数列的性质及求和公式即可求解．【解答】解：等差数列中，，即，则．故答案为：30．【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．8．【分析】根据题意，设等比数列的公比为，分析可得，变形可得的值，进而求出的值，计算可得答案．【解答】解：根据题意，设等比数列的公比为，若，即，变形可得，解可得：；又由，即，解可得，故．故答案为：．【点评】本题考查等比数列的求和，涉及等比数列的性质，属于基础题．9．【分析】由与的关系，化简可得所求通项公式．【解答】解：由，可得时，；当时，．综上，可得．故答案为：．【点评】本题考查数列的通项与前项和的关系，考查转化思想和运算能力，属于基础题．10．【分析】根据函数有实根或复数根进行讨论，从而解出．【解答】解：当即时，由于，若同为负数，，矛盾！所以一正一负，不妨设，则有，又有，得，当即时，令，得，，，得．故答案为：—3或4．【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布于系数的关系，需要注意讨论复根，属中档题．11．【分析】若能通过化简变形为的形式，即可找到为偶函数的条件，从而得出结论．【解答】解：．是偶函数，只要即可，可以取．【点评】知函数的奇偶性求参数的问题解决的方法主要有三：（1）奇偶性的定义；（2）数形结合；（3）根据基础函数平移伸缩变换得出奇偶性．12．【分析】先令，则，再对分两种情况进行讨论，根据绝对值的知识及等差数列的求和公式推导出的表达式，代入进行计算即可得到符合题意的正整数的值．【解答】解：由题意，令，则，①当时，，由，可得，化简整理，得，解得或3，②当时，，由，可得，化简整理，得，解得，这与矛盾，不合题意，综合①②，可得符合题意的正整数或3．故答案为：2或7．【点评】本题主要考查绝对值数列的求和问题．考查了分类讨论思想，方程思想，转化与化归思想，等差数列的求和公式的运用，分组求和法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．二，选择题（共4小题，每小题4分，共16分）13．【分析】根据复数的相关概念结合复数的相关运算逐项分析判断．【解答】解：设，对于选项A：，则，，故A正确；对于选项B：，即，则，不能得到，更不能得到，例如，则，但，故B错误；对于选项C：，则，但只有实数才能比较大小，对于虚数无法比较大小；对于选项D：，则可得，不能得到，例如，则，但显然，故D错误．故选：A．【点评】本题主要考查了复数的相关概念，考查了复数的四则运算，属于基础题．14．【分析】由条件利用的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把的图象上所有的点向右平移，可得函数，故选：C．【点评】本题主要考查的图象变换规律，属于基础题．15．【分析】求出的通项公式，分析出其为等差数列，然后由条件得出，代入通项公式即可求解．【解答】解，所以是以为首项，为公差的等差数列，若当且仅当时，的前项和取得最大值，所以，即．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式和数列的求和，考查转化思想和运算能力，推理能力，属于中档题．16．【分析】通过判定命题①的否定，进一步说明命题①的真假，对于命题②通过验证前8项，进一步说明第9项以后的数列都符合递减数列．【解答】解：对于数列为：，首先判断命题：①存在正整数，使得；命题①的否定为：对正整数，都有，通过验证，当时，，故命题的否定为真命题；对于②数列满足，，从第9项起，故②为真命题．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：验证法，命题真假的判定，数列的单调性，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．三、解答题（满分48分，）17．【分析】（1）结合实数的概念，即可求解；（2）结合纯虚数的概念，即可求解；（3）结合复数的几何意义，即可求解．【解答】解：复数（1）为实数，则，解得；（2）为纯虚数，则，解得；（3）对应点在第二象限，则，解得．【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及复数的概念，属于基础题．18．（8分）已知，求的值．【分析】观察角度的关系发现，，然后利用两角和的正切函数公式化简后，把和的值代入即可求出所求式子的值．【解答】解：，．【点评】此题考查学生灵活运用两角和的正切函数公式化简求值，是一道中档题．学生做题时应注意找角度的关系．19．【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和的余弦公式化简可得，利用余弦函数的周期公式以及对称性即可求解；（2）利用余弦函数的性质即可求解．【解答】解：（1）因为所以的最小正周期，令，解得，所以的对称中心为；（2）令，所以的严格增区间令，所以的严格减区间可得当时，最大值为；当时．【点评】本题考查了二倍角公式以及两角和的余弦公式的应用，考查了余弦函数的性质，属于基础题．20．【分析】（1）由数列的递推式，两边同时加上2，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；（2）求得，推得递减，可得，由不等式恒成立思想，可得所求取值范围．【解答】解：（1）证明：由，可得，即数列是首项和公比均为3的等比数列，则，即；（2）数列，则，可得递减，可得，对任意正整数，不等式恒成立，可得，即有，即的取值范围是．【点评】本题考查数列的递推式和等比数列的定义，通项公式，以及数列的单调性和不等式恒成立问题，考查转化思想和运算能力，属于中档题．21．【分析】（1）根据定义逐一计算即可；（2）求得的通项公式，分类讨论为奇数，为偶数时列不等式求解即可；（3）根据充分必要条件的定义即可证明．【解答】解：（1）由题意得，（是正整数）为数列的“接近数列”，