广西崇左市大新县民族高级中学2023-2024学年高一下学期期末 数学试题【含答案】

崇左市大新县民族高中2024年春季学期期末试题高一数学命题范围：必修二第六、七、八、九章（截止第九章9.2.4）（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的.1．已知向量表示“向东航行”，向量表示“向南航行”，则表示（

）A．向东南航行 B．向东南航行C．向东北航行 D．向东北航行2．复数的共轭复数是（

）A． B．C． D．3．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（

）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形4．复数与（其中，为虚数单位）的积是实数的充要条件是（

）A． B． C． D．5．已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则A． B．C． D．6．平面与平面平行的条件可以是A．内有无数条直线都与平行B．直线，直线，且//，//C．内的任何直线都与平行D．直线//，//，且直线不在内，也不在内7．在空间直角坐标系中，已知，则四面体ABCD外接球的表面积为（

）A． B． C． D．8．中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式，例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解．右图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图．对应的是正四棱台中间位置的长方体，、、、对应四个三棱柱，、、、对应四个四棱锥．若这四个三棱柱的体积之和等于长方体的体积，则四棱锥与三棱柱的体积之比为（

）A．3:1 B．1:3 C．2:3 D．1:6二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.在每小题给出的备选答案中，有多个选项符合题意的.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．为了了解参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽取了10名运动员的年龄进行统计分析.下列说法中正确的有（

）A．1000名运动员的年龄是总体 B．所抽取的10名运动员是一个样本C．样本容量为10 D．每个运动员被抽到的机会相等10．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（

）A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小11．设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（

）A．复数的共轭复数的虚部为2 B．若，则C．若，则 D．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分.12．设k为实数，若向量，且，则k的值为．13．点对应的复数是，点对应的复数是，则线段的中点对应的复数是.14．正方体的棱长扩大到原来的倍，则其表面积扩大到原来的倍，体积扩大到原来的倍.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明过程.15．已知边长为3的等边三角形，求边上的中线向量的模.16．如图，空间四边形的每条边和，的长都等于，点，分别是，的中点.求证：，.17．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间.进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.(1)求直方图中的值；(2)求在被调查的用户中，用电量落在内的户数.18．已知复数满足，的虚部为2，在复平面上所对应的点在第一象限.(1)求；(2)若，在复平面上的对应点分别为，，求.19．如图，点是正方体的上底面的中心，过，，A三点作一个截面．求证：此截面与对角线的交点P一定在上．

1．B【分析】如图，设，，以，为邻边作平行四边形，由平行四边形法则可知，根据，可得平行四边形是正方形，从而得到答案．【详解】如图，设，，则，，以，为邻边作平行四边形，由平行四边形法则可知．∵，，∴平行四边形是正方形，∴方向为东南方向．∵，∴．故选：B．2．B【分析】先将复数的分母化成实数，再求其共轭复数即可.【详解】而的共轭复数是故选：B.3．A【分析】根据平面向量加法的平行四边形法则判断即可.【详解】由平面向量加法的平行四边形法则可知，四边形为平行四边形.故选：A4．D【分析】计算，得到即得解.【详解】解：是实数，所以.反过来，也成立.所以充要条件是.故选：D5．A【详解】得，故选A．或．6．C【分析】根据面面平行的判定来判断即可.【详解】C选项是面面平行的定义，A，B，D中，平面与平面相交时都有可能满足.故选：C.7．A【分析】首先由四点的坐标，确定几何体的关系，利用补体法，求四面体外接球的半径，即可求球的表面积.【详解】根据已知4个点的空间直角坐标可得，平面，，所以四面体ABCD可以补成长、宽、高分别为4，3，2的长方体，所以四面体ABCD外接球的半径，所以四面体ABCD外接球的表面积为．

故选：A8．B【分析】令四棱锥的底面边长为，高为，三棱柱的高为，写出三棱柱、长方体和三棱柱的体积列式求解即可.【详解】如图，令四棱锥的底面边长为，高为，三棱柱的高为，所以三棱柱的体积为，长方体的体积为，因为四个三棱柱的体积之和等于长方体的体积，所以，所以，因为四棱锥的体积为，所以四棱锥与三棱柱的体积之比为.故选：B.9．ACD【分析】根据抽样方法，利用总体、样本、样本容量的定义逐项判断作答.【详解】对于A，1000名运动员的年龄是总体，故A正确；对于B，所抽取的10名运动员的年龄是一个样本，故B错误；对于C，样本容量为10，故C正确；对于D，每个运动员被抽到的机会相等，故D正确.故选：ACD.10．ABC【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算可得；【详解】解：依题意球的表面积为，圆柱的侧面积为，所以AC选项正确．圆锥的侧面积为，所以B选项正确．圆锥的表面积为，圆柱的表面积为，所以D选项不正确．故选：ABC11．AC【分析】利用共轭复数的定义可判断A；利用特殊值法可判断B；利用复数的除法化简复数，结合复数的模长公式可判断C；解方程可判断D.【详解】对于A，因为，则，其虚部为2，故A正确；对于B，取，此时，但，故B错误；对于C，若，则，故，故C正确；对于D，若，则，解得，故D错误.故选：AC.12．【分析】解方程即得解.【详解】因为，所以.故答案为：13．【分析】利用复数的几何意义结合中点坐标公式可求得结果.【详解】解：由题意可得，，，则线段的中点为，则线段的中点对应的复数是.故答案为：14．【分析】设原来正方体的棱长为1，然后求出正方体的表面积和体积，再求出扩大后有表面积和体积，比较可得答案.【详解】解：由题意，设原来正方体的棱长为1，其表面积为，体积为，则棱长扩大到原来的倍后，正方体的棱长为，则其表面积为，体积为，即表面积扩大到原来的倍，体积扩大到原来的倍.故答案为：，15．##【详解】根据正三角形的性质，求得边上的中线长，即可求解.【解答】如图所示，因为是正三角形，所以边上的中线向量的模就是三角形的高，即：，所以边上的中线向量的模为.16．证明见解析【分析】连接，然后利用等腰三角形的性质可证得，则由线面垂直的判定可证得平面，从而可证得，同理可证得.【详解】证明：如图，连接，因为，为的中点，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，同理可证.17．(1)(2)70【分析】（1）由各组的频率和为1列方程可求出的值；（2）用100乘以的频率即可【详解】（1）因为，所以.（2）由频率分布直方图，可得用电量落在内的户数为18．(1)(2)【分析】（1）设，则可得，，，，从而可求出，进而可求出；（2）先求出，，然后可求出，的坐标，从而可求出，再利用向量的夹角公式可求得结果.【详解】（1）设，因为，所以，因为，的虚部为2，所以，得，因为在复平面上所对应的点在第一象限，所以，，所以解得，所以.（2）因为，所以，所以，，因为，