2023-2024学年河南省新乡市封丘一中高一（下）第二次段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河南省新乡市封丘一中高一（下）第二次段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足(3−4i)z=2i，则|z|=(

)A.1 B.15 C.25 2.已知e1,e2是夹角为60°的单位向量，则a=−2eA.150° B.120° C.60° D.90°3.圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度CD约为(

)A.54m B.47m C.50m D.44m4.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a+b)2−c2=4，C=A.33 B.233 5.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′=2，A′B′=B′C′=1，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为(

)A.2

B.3

C.56.已知a，b，c是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是(

)A.若a⊥b，b⊥c，则a/​/c

B.若a与b异面，则至多有一条c与a，b都垂直

C.若α/​/β，b⊥β，c⊥b，则c一定平行于α和β

D.若c⊂α，b⊂β，α⊥β，则存在a同时垂直c，b7.古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥P−ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，AB=BC=4，PA=3，则此“阳马”外接球的表面积为(

)A.41π2 B.41π4 C.8.如图，在底面为等边三角形的直三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1=2,D,E分别为棱BC，BB1的中点，FA.66

B.34

C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中正确的是(

)A.若复数z=i1+i.则复数z−在复平面内对应的点位于第一象限

B.已知复数z满足(1+2i)z=2+i，则|z|=1

C.3+2i是关于x的方程2x2+mx+n=0(m,n为实数)在复数集内的一个根，实数n的值为26

D.若复数z满足若10.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(

)A.若sinA>sinB，则A>B

B.若a2+b2<c2，则△ABC为钝角三角形

C.若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形

D.若11.已知平面α/​/平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于A，C两点，过点P的直线n与α，β分别交于B，D两点，且PA=6，PD=8，AC=9，则BD的长为(

)A.16 B.24 C.14 D.24三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.向量p在基底{a,b}下的坐标为(1,2)，则向量p在基底13.在△ABC中，∠A=60°，b=1，c=4，则a+b+csinA+sinB+sinC=______．14.如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，测得从D，C到库底与水坝的交线AB的距离分别为DA=52m，CB=5m.又测得AB的长为5m，CD的长为5四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

平面内给定三个向量a=(3,2)，b=(−1,2)，c=(4,1)．

(1)求满足a=mb+nc的实数m，n．

(2)若d满足d16.(本小题15分)

如图，在平面四边形ABCD中，BC=2,∠BCD=π6,△BCD的面积为3+12．

(1)求BD；

(2)17.(本小题15分)

如图，已知直角三角形ABC的斜边BC/​/平面α，A在平面α上，AB，AC分别与平面α成30°和45°的角，BC=6．

(1)求BC到平面α的距离；

(2)求平面ABC与平面α的夹角．18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，PD⊥平面ABCD，E为PD的中点．

(1)设平面ABE与直线PC相交于点F，求证：EF//CD；

(2)若AB=2，∠DAB=60°，PD=42，求直线BE与平面PAD19.(本小题17分)

如图，P为圆锥顶点，O为底面中心，A，B，C均在底面圆周上，且△ABC为等边三角形．

(1)求证：平面POA⊥平面PBC；

(2)若圆锥底面半径为2，高为22，求点A到平面PBC

参考答案1.C

2.B

3.A

4.A

5.C

6.D

7.D

8.A

9.BCD

10.ABD

11.BD

12.(32,−12)14.3π415.解：(1)根据题意，向量a=(3,2)，b=(−1,2)，c=(4,1)，

若a=mb+nc，则有3=−m+4n2=2m+n，

解得m=59,n=89

(2)设d=(x,y)，

由题意可得a+b=(2,4)，

因为d//(a+b)，则4x−2y=0，①

又|16.解：(1)因为BC=2,∠BCD=π6,△BCD的面积为3+12，

即S△BCD=12BC⋅CD⋅sin∠BCD=3+12，

解得CD=3+1；

在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+C17.解：(1)过B作BE⊥α，垂足为E，过C作CF⊥α，垂足为F，连AE、AF、EF，

则∠BAE=30°，∠CAF=45°，

设BC到平面α的距离为d，因为BC/​/平面α，所以BE=CF=d，

在直角三角形BEA中，sin30°=dAB，所以AB=d12=2d，

在直角三角形CAF中，AC=2d，

在直角三角形ABC中，BC2=AB2+AC2，则36=2d2+4d2，

得d=6；

(2)由(1)知，AB=26,AC=23，

则S△ABC=12AB⋅AC=62，

在△AEF中，18.(1)证明：∵平面ABE与直线PC相交于点F，∴平面ABE∩平面PCD=EF，

∵四边形ABCD是菱形，∴AB/​/CD，

∵AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB/​/平面PCD，

∵AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面PCD=EF，∴EF/​/CD；

(2)解：连接BD，取AD中点H，连接BH、EH，

∵菱形ABCD中，AB=AD，∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形，

∵H是AD中点，∴BH⊥AD，

∵PD⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，∴BH⊥PD，

∵PD、AD⊂平面PAD，PD∩AD=D，∴BH⊥平面PAD．

∴∠BEH是直线BE与平面PAD的所成角，

∵E是PD中点，PD=42，∴DE=12PD=22．

∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，

∵H为AD中点，∴DH=12AD=1，Rt△DEH中，EH=DE2+DH2=3，

∵等边△ABD19.解：(1)证明：连结AO交BC于点M，

因为P为圆锥顶点，O为底面中心，

所以PO⊥平面⊙O，

又因为BC⊂平面⊙O，

所以PO⊥BC