【数学】广东省六校2023-2024学年高二下学期期中考试试题（解析版）

广东省六校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题本试卷共6页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的答卷无效.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3，非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结東后，只需将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数，则函数的导函数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以由复合函数的求导法则，得.故选：D.2.已知随机变量.若，设事件“”，事件“”，则（）A B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，，，所以，则，.故选：A3.已知数列的前n项和，将依原顺序按照第n组有项的要求分组，则2024所在的组数为（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】因为，所以当时，，当时，符合，所以，故由得，将依原顺序按照第n组有项的要求分组，故第一组项，第二组项，第三组项，，第组有项，故前组共有，又，故2024所在的组数为.故选：B.4.现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学校三人，要求每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为（）A.216 B.432 C.864 D.1296【答案】B【解析】求不同的安排种数需要分成3步，把3名心理教师分配到三所学校，有种方法，再把4名语文教师按分成3组，并分配到三所学校，有种方法，最后把2名数学教师分配到只有1名语文教师的两所学校，有种方法，由分步乘法计数原理得不同的安排种数为.故选：B5.过点作曲线的两条切线，.设，的夹角为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】两条切线，的倾斜角分别为，，根据题意，，若点是切点时，切线斜率为，若点切点（点不重合），则，由，解得（舍去），所以直线斜率为，则．故选：C．6.如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设该质点向右移动的次数为，则，，而，所以的可能取值为，所以.故选：D．7.已知数列的前项和为，，且（且），若，则（）A.49 B.50 C.51 D.52【答案】A【解析】当时，，则，于是，即有，因此数列是常数列，，即，由，得，而，所以.故选：A8.已知不等式在上恒成立，则实数取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，即，令，，则，所以在上单调递增，而等价于，∴，即令，，则，所以在时，为增函数；在时，，为减函数，所以最大值为，∴．故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.有3台车床加工同一型号的零件，第1、2、3台车床加工的零件数的比为5：6：9，加工出来的零件混放在一起，第1、2、3台车床加工的次品率分别为6%，5%，4%.现从三台车床加工的零件中任取一个，则（）A.该零件由第1台车床加工的概率为0.25B.该零件为次品的概率为0.048C.若该零件为次品，则其由第2台车床加工的概率为D.若该零件为次品，则其由第3台车床加工的概率最大【答案】ABD【解析】设事件B为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”，则，且两两互斥．根据题意得，,由全概率公式，得，所以选项A正确，选项B正确，“如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”，就是计算在件B发生的条件下，事件发生的概率，所以．同理可得，，所以若该零件为次品，则其由第3台车床加工的概率最大，所以选项C错误，选项D正确．故选：ABD．10.已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（）A. B.使得成立的最大正整数C. D.中最小项为【答案】ACD【解析】A选项，，即，故，故，故，故，A正确；B选项，，，故使得成立的最大正整数，B错误；C选项，由于，故，则，故，C正确；D选项，由于，故当时，，当时，，当时，，当时，，故当时，，当时，，当时，，由，得，，故，同理可得，……，故，故中最小项为，D正确.故选：ACD11.已知函数及其导函数的定义域都为，对于任意的，都有成立，则下列说法正确的是（）．A.B.若，则C.为偶函数D.若，则【答案】BD【解析】令，则，解得或，故A错误；令，，所以，令，，则，解得，故B正确；当时，令，则有，所以，，当，令，则有，所以，所以，所以为奇函数，综上，为奇函数，故C错误；令，则，所以，故D正确．故选：BD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为__________.（用数字作答）【答案】【解析】由于的展开式只有第项的二项式系数最大，则展开式中共有项，故，解得，所以，的展开式通项为，令，解得，因此所求即为.故答案为：.13.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】函数，求导得，由函数在上单调递增，得，，而函数在上的最小值为，因此，所以实数的取值范围为.故答案为：14.在不大于的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数的个数记为.表示不超过x的最大整数，令，则__________.【答案】500【解析】因为在不大于的所有正整数中，能被2整除的数有个，能被3整除的数有个，能被6整除的数有个，所以，当时，，则，当时，，则当时，，因为，所以，则，所以，所以，故答案为：500四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害.每只红铃虫的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.（1）根据散点图判断，与（其中e为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度（℃）的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程；附：回归方程中，.参考数据52152347.333.62781.33.6（2）现在有10根棉花纤维，其中有6根为长纤维，4根为短纤维，从中随机抽取3根棉花纤维，设抽到的长纤维棉花的根数为X，求X的分布列.解：（1）根据散点图的形状，判断更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型，将两边同时取自然对数，得，依题意，，，因此，则，于是z关于x线性回归方程为，所以y关于x的回归方程为.（2）依题意，X的可能值为，，，所以X的分布列为：012316.已知函数．（1）求函数的极值；（2）若恒成立，求实数的取值范围．解：（1），令，得，，和的关系，如下表所示，0单调递减极小值单调递增所以函数的极小值为，无极大值；（2）不等式恒成立，即恒成立，即，，恒成立，所以，，设，，，其中，设，，所以在单调递增，因为，，所以存在，使，即，即，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，函数取得最小值，由，可得，所以，所以.17.英国物理学家牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法—牛顿法.如图，具体做法如下：先在x轴找初始点，然后作在点处的切线，切线与x轴交于点，再作在点处的切线，切线与x轴交于点，再作在点处的切线，以此类推，直到求得满足精度的近似解为止.已知，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为，继续牛顿法的操作得到数列.（1）求数列的通顶公式；（2）若数列的前项和为，且对任意的，满足，求整数的最小值.（参考数据：，，，）解：（1）函数，求导得，则图象在点处的切线方程为：，令，得，而，因此是首项为1，公比为的等比数列，所以.（2）令，，于是，两式相减得：，整理得，由，得，化简得，令，则，当时，，即，当时，，即，所以，从而整数；18.某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个.（1）记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐玩偶，，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为.①求的通项公式；②若每天购买盲盒的人数约为，且这人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.解：（1）若一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，集齐，，玩偶，则有两种情况：

①其中一个玩偶个，其他两个玩偶各个，则有种结果；②若其中两个玩偶各个，另外两个玩偶1个，则共有种结果，故；若一次性购买个乙系列盲盒，全部为与全部为的概率相等，均为，故；（2）①由题可知：，当时，，则，，即是以为首项，以为公比的等比数列.所以，即；②因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次，所以对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作，所以，其购买甲系列的概率近似于，假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则，所以，即购买甲系列的人数的期望为，所以礼品店应准备甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.19.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数有两个不同的零点，（i）求实数的取值范围：（ⅱ）若满足，求实数的最大值.解：（1）函数的定义域为，求导得，当时，恒成立，函数在上单调递增；当时，由，得，由，得，即函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，递增区间是，无递减区间；当时，的递增区