情境三 基本体的截交与相贯 (1)讲解

《工程制图与CAD》课件

智能工程学院主讲：刘卫东情境三基本体的截交与相贯子情境3-1：三棱锥投影及其表面点的投影子情境3-2：立体的截交线子情境3-3：立体表面的相贯线

在日常生活中，物体在灯光或日光的照射下，在墙面或地面上就会显现出该物体的影子，通过影子能看出物体的外轮廓形状。但由于仅是一个黑影，它不能清楚表达物体的完整结构，如图所示。人们对这种现象进行科学的抽象，总结出物体、投影面、观察者之间的关系，形成了投影法的概念。子情境3-1：

三棱锥投影及其表面点的投影3.1.1投影法

一、物体的投影

所谓投影法，是指将投射线通过物体向投影面投射，并在投影面上得到图形的方法。根据投影法得到的图形称为投影，如图所示。要得到物体的投影，必须具备投射线、物体和投影面三个条件。其中，投影线可自一点发出，也可是一束与投影面成一定角度的平行线，这样就使投影法分为中心投影法和平行投影法。二、中心投影

中心投影法的投射线自一点S发出，S称为投射中心，如图所示。用中心投影法得到的投影，其大小会随着物体、投影面及投射中心三者间距离的变化而变化。使用中心投影法绘制的图形符合人的视觉习惯，立体感较强，但不能反映物体的真实大小，度量性差，因此在机械图样中很少采用(广泛应用于建筑、装饰设计等领域)。三、斜投影和正投影

投射线为平行线时的投影称为平行投影。在平行投影中，若投射线与投影面倾斜，则为斜投影；若投射线与投影面垂直，则为正投影，如图所示。斜投影和正投影

(1)实形性：当物体的某一平面(或棱线)与投影面平行时，其投影反映实形(或实长)。(2)积聚性：当物体的某一平面(或棱线)与投影面垂直时，其投影积聚为一条直线(或一个点)。(3)类似性：当物体的某一平面(或棱线)与投影面倾斜时，其投影与该平面(或棱边)类似，即凹凸性、直曲性和边数类似，但平面图形变小了，线段短了。

由于正投影能真实地表达出物体的形状和大小，且作图也较方便，因此在绘制机械平面图中得到了广泛应用。本书主要介绍正投影法，今后如无特殊说明，所述的投影均为正投影。一、三视图的形成

用正投影法所绘制的物体的投影称为视图。物体的一个视图只能反映出两个方向的尺寸情况，不同形状的物体在同一投影面上的投影有可能相同，如图所示。因此，一个视图通常不能准确表达物体的形状。3.1.2三视图

10

只用一个方向的投影来表达形体是不确定的，通常须将形体向几个方向投影，才能完整清晰地表达出形体的形状和结构。

用互相垂直的两个平面作投影面，将物体向这两个投影面作正投影，这两个投影联合起来能表达物体长、宽、高三个方向的尺寸。因此，一般情况下两个视图能表达清楚物体的形状，但有些物体用两个视图也不能准确表达其形状，如图所示。三视图的形成：

在机械制图中，一般将物体放在三个互相垂直的平面组成的投影面体系中。三个投影面按照位置的不同分别称为正平面、侧平面及水平面。其中，正平面是指正对着观察者的投影面，用符号V来表示；侧平面是指右边侧立的投影面，用符号W来表示；水平面是指水平方向的投影面，用符号H来表示。如图所示13一面投影二面投影三面投影14

设立三个互相垂直的投影平面，构成三面投影体系。这三个平面将空间分为八个分角，我国采用第一角投影。三面投影体系三面投影体系15第一分角三投影面16直观图展开投影面三视图形成平面中的三视图17三视图的形成展开后的三视图三视图的形成三视图

应使物体的多数表面(或主要表面)平行或垂直于投影面(即形体正放)。

位置一经确定，在投影过程中不能移动或变更。三个投影面的交线称为投影轴，分别用OX、OY和OZ表示，三投影轴的交点O称为原点。沿X轴方向度量的尺寸称为长度尺寸；沿Y轴方向度量的尺寸称为宽度尺寸；沿Z轴方向度量的尺寸称为高度尺寸。19直观图位置关系俯视(H面投影)左视(W面投影)主视(V面投影)三视图位置20

V面、H面（主、俯视图）——长对正。

V面、W面（主、左视图）——高平齐。

H面、W面（俯、左视图）——宽相等。直观图总体三等局部三等二、三视图对应关系21视图方位关系三视图方位关系

V面(主视图)——反映上、下、左、右方位关系；

H面(俯视图)——反映左、右、前、后方位关系；

W面(左视图)——反映上、下、前、后位置关系。直观图三视图的方位关系22XYZY1Y2Y1Y2主前前例1由立体图画三视图23虚线要画123注意宽相等例2根据立体图补画第三视图：1.2.3.三、三视图的图线画法及绘图步骤

绘制三视图时，可设想分别从物体的前方、左侧和上方观察物体，如果棱边和轮廓线可见，则应使用粗实线绘制；如果棱边和轮廓线可见，则应使用粗实线绘制；如果棱边和轮廓线不可见，则应使用细虚线绘制。此外，回转曲面的轴线、圆的中心线、视图的对称线应使用细点画线绘制，如图所示。三视图绘制案例（AutoCAD绘图）

【案例1】绘制图所示组合体的三视图。形体分析：该组合体是在一个长方体底板的右侧叠加了一个长方体侧板，该侧板和底板的右面对齐，然后在底板上再叠加一个长方体后板，其后面和底板的后面对齐，最后在右侧板上切去一角。案例1绘图步骤

步骤1布置视图。建立三投影体系，并过坐标原点画出45°斜线，如图所示。主要命令及相关设置：图层；对象捕捉；正交；直线命令；案例1绘图步骤

步骤2画长方体底板。观察立体图可知，长方体底板的俯视图投影为该长方体的上表面，主视图和左视图投影分别为长方体的前侧和左侧表面，这三个视图均为不同尺寸的矩形。得知其投影形状后，接下来我们便可根据投影关系绘制各视图(各视图中的尺寸可在立体图中用直尺或圆规直接量取)，结果如图所示。主要命令及相关设置：对象追踪；对象捕捉；正交；直线命令；矩形命令案例1绘图步骤

从立体图上测量尺寸时，必须沿立体图的X、Y、Z三个坐标轴方向测量，立体图上和三个坐标轴不平行的线段不反映实长。案例1绘图步骤

步骤3画右侧板。由上述可知，该长方体侧板在各俯视图和左视图中的投影均为矩形。由于该侧板的前、后和右侧面均与底板的三侧面对齐，故在俯视图中这个侧面的投影与底样重合，其绘制过程如图所示。案例1绘图步骤

步骤4画右侧板上的切角。由于左视图最能反映切去部分的形状，因此我们可先绘制左视图，然后根据投影关系依次绘制主、俯视图。绘图过程中，我们不仅要画出切去部分的轮廓线，还要擦去切除部分的轮廓线，绘图过程如图所示。案例1绘图步骤

步骤5画后板。由于后板的后面和长方体的后面对齐，故在俯视图中，其后面投影与长方体的后面投影重合，其绘制过程如图所示。案例1绘图步骤

步骤6检查、整理并加深图线。核对所绘制的三视图底稿图，确定无误后，擦掉多余的图线，然后加深各图线，结果如图所示。34

投影法

点的投影

几何体投影

3.1.3点、直线、平面的投影

直线的投影

平面的投影

35投影法1.中心投影法2.平行投影法正投影法

斜投影法正投影

中心投影36正投影应用—正等测图37斜投影应用—斜二测图38多面正投影应用—组合体39显实性(全等性)

当空间直线或平面平行于投影面时，其投影反映直线的实长或平面的实形，这种投影性质称为全等性。二、正投影的基本性质40积聚性

当直线或平面垂直于投影面时，其投影积聚为一点或一条直线，这种投影性质称为积聚性。

41类似性

当空间直线或平面倾斜于投影面时，其投影仍为直线或与之类似的平面图形，其投影的长度变短或面积变小，这种投影性质称为类似性。

42面点、直线、平面是构成形体的基本几何元素BCDA线点的投影点43P

采用多面投影。

过空间点A,向投影面P作正投影，在P面上得唯一的投影。a

A

反之，点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。Pb

BB2B1解决办法点的三面投影44a

点A的正面投影a点A的水平投影a

点A的侧面投影空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。WHVoXa

●a●a

●A●ZY投影符号标记45WXVAYOWZaaYaZaXa″a′VHYWH面向下旋转90°HW面向右旋转90°OXZYHaxaza

ayHayWaa″V面不动投影面展开46点的三面投影规律aax=a

az=YA——A点到V面的距离(Aa′)

a

ax=a

ay=ZA——A点到H面的距离(Aa)

aay=a

az=

XA——A点到W面的距离(Aa″)

XVYOWZaaYaZaXa″a′HZAYAXAAa

a⊥OX轴;

a

a

⊥OZ轴;投影连线垂直投影轴47XVYOWZHaZa″a′aYaXaA点的投影与直角坐标

空间点可用直角坐标来表示，书写形式：A(x,y,z)。

点到各投影面的距离，为相应的坐标数值X，Y，Z。XA=点到W面的距离=

aayH=a

azYA=点到V面的距离=aax=a

azZA=点到H面的距离=a

ax=a

ayWH面投影a反映X、YV面投影a'反映X、ZW面投影a"反映Y、Z。YW48

:已知A点的坐标值A(12，10，15)，求作A点的三面投影图。

1)作投影轴；2)量取：X=12、Z=15、Y=10；步骤:aa''a'OXYWHYZaZ15YWaYHa10aX123)作投影连线，交点a、a′、a″既为所求。例49▲当空间两点的两对坐标相等时，两点处于同一投射线上，在该投射线的投影面上的投影重合在一起，称为该投影面的重影点。▲重影点要判别其可见性，不可见的投影用括号括起来，以示区别。

两点重影()H面重影，被挡住的投影加()A在B的正上方50

直线的投影51投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面直线三类位置2.投影面垂直线1.投影面平行线3.一般位置直线53

平面的投影54各种位置平面的投影:平行垂直倾斜投影特性

平面平行投影面-----投影反映实形

平面垂直投影面-----投影积聚成直线

平面倾斜投影面-----投影类似原平面显实性类似性积聚性平面对一个投影面的投影特性55投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜

正垂面

侧垂面

铅垂面

正平面

侧平面

水平面平面对投影面的位置：分为三类1.投影面平行面

2.投影面垂直面

3.一般位置平面

59

先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。b①acc

a

k

b

●k●

面上取点的方法：首先面上取线②●abca

b

k

c

d

k●d利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解603.1.4基本体及其表面交线一、平面立体二、曲面体棱柱棱锥圆柱圆锥圆球圆环61平面立体曲面立体常见的基本几何体6263画平面体视图的实质：

画出所有棱线（或表面）的投影，并根据它们的可见与否，分别采用粗实线或虚线表示。平面立体：表面由平面构成的形体。棱线：平面上相邻表面的交线。平面立体64点的可见性规定：若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。

由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同。⑵棱柱的三视图⑶棱柱面上取点

a

a

a

(b

)

b⑴棱柱的组成

b

由两个底面和几个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。

图示位置，六棱柱的两底面为水平面，在俯视图中反映实形。前后两棱面是正平面，其余四个侧棱面是铅垂面，它们的水平投影都积聚成直线，与六边形的边重合。1.棱柱6566(1)棱锥的三视图

由一个底面和几个侧棱面组成。侧棱线交于一点——锥顶。2.棱锥

画棱锥的三面视图，其方法和步骤与棱柱相同。为了对视图进行线面分析，可标出各顶点的投影名称。67

s

b

s

a

c

abca

(c

)b

s

yy棱锥的三视图画图步骤：68作图步骤如下：1

连接s’m’并延长，与a’c’交于2’，2’m2

在投影ac上求出Ⅱ点的水平投影2。

连接s2，即求出直线SⅡ的水平投影。

根据在直线上的点的投影规律，求出M点的水平投影m。

再根据知二求三的方法，求出m”。m”a’sbcs’ac’b’a”(b”)c”s”m’XYHZYW(2)棱锥表面取点69作图步骤如下：21’1m

过m’作m’1’∥a’c’，交s’a’于1’。

求出Ⅰ点的水平投影1。

过1作1m∥ac，再根据点在直线上的几何条件，求出m。

再根据知二求三的方法，求出m”。（具体步骤略)sc’b’s’abca’a”(b”)c”s”m’70s(b

)s

a

Bac

b

c

cs

bCASa

2

2

2Ⅱ713s(b

)s

a

Bac

b

c

cs

bCASa

Ⅲ(3)3

72由曲面或曲面和平面围成的形体注意:轮廓素线的投影与曲面的可见性的判断(1)圆柱的三视图1.圆柱:由顶圆、底圆和圆柱面围成。

圆柱面是由直线AA1绕与它平行的轴线OO1旋转而成。A1AOO1直线AA1称为母线。

曲面体圆柱投影73A1AOO1圆柱的三视图画图步骤：74A1AOO1利用投影的积聚性(2)圆柱表面取点已知圆柱表面的点的投影1’、2’、3’、4，求其它两面投影。

3

3

1′

1

4″

(2

)

2″

2

3

4

4

1″75O1O

圆锥面是由母线SA绕与它相交的轴线OO1旋转而成。

S称为锥顶，圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。(1)圆锥的三视图注意：轮廓素线的投影与曲面的可见性的判断由圆锥面和底面组成。SA2.圆锥圆锥投影76O1OSA

s

s

sacbda

c

b

(d

)d

b

a

(

c

)圆锥的三视图画图步骤：771)特殊位置点O1OSA

已知棱锥表面上点的投影1

、2

、3，求其它两面投影。(2)圆锥表面取点

(2

)

1

1

1

2

2

(3)

3

3

782)一般位置点

素线法

纬圆法(辅助圆法)如何在圆锥面上作直线？过锥顶作一条素线。●SM已知圆锥表面上点的投影1

、2

，求其它两面投影。

s

●

s

●

1

(2

)s●2

1(2

)●

1

m

m79三个视图分别为三个和圆球的直径相等的圆，它们分别是圆球三个方向圆素线线的投影(转向轮廓线)。

圆母线以它的直径为轴旋转而成。(1)圆球的三视图O1O3.圆球球投影80圆球的三视图画图步骤：(2)圆球表面取点★特殊位置点O1Oa´b´c´acbb״a״c״81圆球表面取点圆的半径？★辅助圆法

1

1

1

(2)

k

k

(2)

m

(m)

(2)

182子情境3-2：立体表面的截交线83截断体：形体被平面截断后分成两部分，每部分均称为截断体。

截平面

——

用来截断形体的平面。

截交线

——

截平面与立体表面的交线。讨论的问题：截交线的分析和作图。截交线截断体一、平面立体的截交线二、回转体的截交线84

是一个封闭的平面多边形，多边形的顶点是截平面与棱线的交点。(截交线的每条边是截平面与棱面的交线）

求截平面与立体棱线的交点或截平面与立体表面的交线。★求平面立体截交线的实质：★平面立体截交线的性质：一、平面立体的截交线8586

分析截平面与立体的相对位置

分析截平面与投影面的相对位置确定截交线的投影特性1.空间及投影分析2.画出截交线的投影

求出截平面与棱线的交点

(或截平面与棱面的交线），判断可见性。

依次连接成多边形。确定截交线的形状★求截交线的步骤：3.完善轮廓8788

注意：要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后再取局部。例1：1(3)2(4)1

(2

)2"●1"●3

(4

)补全六棱柱被截切后的俯视图和左视图。3″4″89例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。3

2

1

(4

)1

•1•3

•2

•4

•3•2•4•90例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。121

(2

)Ⅰ、Ⅱ两点分别同时位于三个面上。三面共点：2

●1

●

注意：要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后再取局部。9192

截交线是截平面与回转体表面的共有线。

截交线的形状取决于回转体形状与截平面位置。

截交线是封闭的平面曲线(或直线和曲线围成）。(1)

曲面体截交线的性质：(2)

求曲面体截交线的实质：

求截平面与曲面上素线的交点(表面取点)，然后依次光滑连接。二、回转体的截交线93

由于截平面与圆柱轴线的相对位置不同，截交线有三种不同的形状。1.圆柱的截断圆椭圆直线垂直倾斜平行94,求出截交线的投影。平面与圆柱相交分析:截交线为一椭圆。截交线的正面投影为一直线，水平投影为圆。侧面投影可根据圆柱表面取点的方法求出。求截交线步骤如下：（1）先作出截交线上的特殊点。（2）再作出适当数量的一般点。（3）将这些点的投影依次光滑的连接起来。1’15’5373’(7)’1”5”3”7”22’2”4684’4”（4）补全侧面投影中的转向轮廓线。8”6”ⅠⅢⅤⅦⅡⅣⅥⅧ例1.圆柱被正垂面截切95★空间及投影分析★求截交线★完善圆柱轮廓相对位置、投影特性截交线的形状与已知投影解题步骤：

同一立体被多个平面截切，要逐个进行截交线的分析和作图。●1′(2′)1″●2″●●●4(2)●3(1)●3″4″●4●2●13●例2:圆柱切口开槽3′(4′)●96例2:结果和立体图

97分析：圆柱筒的上部开一个方槽。方槽为水平P和两个侧平面Q。它们与圆柱体和孔的表面都有交线，平面P与圆柱的交线为圆弧，平面Q与圆柱的交线为直线，平面Ｐ和Q彼此相交于直线段。平面与圆柱相交例3.求圆筒开槽左视图98作图步骤如下：（1）先作出完整基本形体的三面投影图。平面与圆柱相交（2）然后作出槽口三面投影图。(3)作出穿孔的三面投影图。QP99★空间及投影分析★求截交线★分析圆柱体轮廓素线的投影●●解题步骤：

同一立体被多个平面截切，逐个进行截交线的分析和作图。●●例4：求左视图100101根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。倾斜于轴线θ＞α椭圆圆垂直于轴线θ=90°双曲线平行于轴线θ=0°抛物线平行于一条素线

θ=α直线过锥顶直线（三角形）2.圆锥的截断102截交线的空间形状？截交线的投影特性？★找特殊点如何找椭圆另一根轴的端点（即最前、最后点）★补充中间点★光滑连接各点三、完善轮廓一、分析二、求截交线1'2'3‘(4’)5'(6')1"2"3"4"127‘(8')9‘(10')7"8"••5"6"••9"10"••78••910••43••56••例1:圆锥被正垂面截断1031'2'3‘(4’)5'(6')7‘(8')9‘(10')7"8"••5"6"••9"10"••78••910••43••56••212"1"例1:圆锥被正垂面截切的三视图和立体图。104例2:求圆锥被截切后的正面投影.分析:截交线的正面投影为双曲线.作图:1求特殊点。最高、低点最左、右点2求一般点。3连线。练习:CAD中级考证题。（用AutoCAD软件绘图）主要命令及相关设置：对象捕捉；建模；剖切106

任何位置的截平面截割圆球，截交线的形状都是圆。当截平面平行于某一投影面时，截交线在该投影面上的投影为圆的实形，其它两面投影积聚为直线。3.球体的截断107具体步骤如下：（1）先求特殊点。（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。（3）依次连接各点的水平投影。平面与球相交11’23’4’432’11’23’4’432’5’6’65655’6’1234例1:球被正垂面截切108水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在左视图上积聚为直线。两个侧平面截圆球的截交线的投影，在左视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。例2：求半球开槽的投影109

子情境3-3：立体表面的相贯线

平面体与回转体相贯回转体与回转体相贯多体相贯1.相贯的形式

两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做相贯线。

本节主要讨论常用不同立体相交时其表面相贯线的投影特性及画法。概述110

立体表面相交的三种形式,一是立体的外表面相交;二是外表面与内表面相交;三是内表面与内表面相交.实实相贯实虚相贯虚虚相贯111位于两基本体的表面上。相贯线的性质：

封闭性

一般是封闭的空间曲线（或空间折线）

共有性相贯线是两立体表面的共有线。

作相贯线实质