八年级数学第一章 因式分解小结与复习湘教版知识精讲

初二数学第一章因式分解小结与复习湘教版

【本讲教育信息】

教学内容：

第一章因式分解小结与复习

［教学目标］

回顾思考本章内容，进一步了解因式分解的意义和因式分解的方法，同时掌握因式分解

的基本要求，并会对多项式进行因式分解。

二.重点、难点：

1.重点：梳理所学内容，形成知识间的联系。

2.难点：形成因式分解的一般理论，会对多项式熟练地进行因式分解。

三.本章知识归纳：

1.因式分解的概念

把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项

式因式分解。

2.用提公因式法分解因式

(1)概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从

而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

(2)依据：提公因式法的依据是逆用乘法分配律。

(3)找公因式的方法：

(a)公因式的系数：如果多项式的系数为整数，则取各项系数的绝对值的最大公因数

作为公因式的系数，如果原来多项式的第1项系数为负，则把负号提出，此时括号内的各项

要变号。

(b)公因式含的字母是各项中相同的字母，字母的指数取各项中次数最低的。

(c)公因式含的式子是各项中相同的式子，该式子的指数取各项中次数最低。

(4)提取公因式后余下的因式的确定：

余下的因式应是多项式除以公因式后的商式。

3.运用公式法分解因式：

(1)概念

利用分解因式与整式乘法的互逆关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些

多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

(2)平方差公式：

a1—b1=(tz+/?)(«—/?)

它适用于分解的多项式是二项式且是平方差的形式。

它的特点是：

(a)左边是二项式，两项都可以写成平方的形式，并且符号相反。

(b)右边是两个数的和与这两个数的差的积，而且被减数是左边平方项为正的那个数。

(3)完全平方公式：

a2+2ab+b2=(a+

a'-2ab+b2~(a-h^~

它适用于分解的多项式是三项式并且是完全平方式。

它的特点是：

(a)左边是三项式，其中首末两项分别是两个数(或两个式子)的完全平方，这两项

的符号相同，中间一项是这两个数(或两个式子)的积的2倍，符号正负均可。

(b)右边是两个数(或两个式子)的和(或者差)的平方，当中间的乘积项与首末两

项的符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方。

(c)形如T+2必+82或者/-2曲+》2的式子称为完全平方式。

4.因式分解的步骤及要求：

(1)常常先提公因式再用公式法进行因式分解。

(2)因式分解一定要进行到每一个因式不能再分解为止。

(3)多项式第一项为负系数，常先提出负号使分解后的第一项系数为正。

(4)多项式因式分解结果中常用小括号出现，因式中不含中括号。

我们用四字口诀概括为：方法先后，分解彻底，符号处理，书写规范。

5.综合运用因式分解的方法的技巧

(1)先看多项式是否有公因式，尽量先提公因式。

(2)再看多项式是几项式，如果是二项式，考虑是否符合平方差公式的特点，能否运

用平方差公式分解因式。如果是三项式，考虑是否符合完全平方公式特点，能否运用完全平

方公式分解因式。

用一句话概括为：一提二公三化简。

四.本章思想方法归纳

1.类比思想

类比是学习数学常用的数学方法

本章中多次利用类比的方法，通过分解因数与分解因式的类比，来体会、理解，认识因

式分解的意义；还类比整式的乘法探索因式分解的方法，通过类比，学起来学生会感觉新的

知识易于接受。

2.逆向思维

因式分解与整式乘法之间是互逆关系，如提公因式是由乘法分配律反过来得到的一种分

解因式的方法，通过因式分解的学习，我们可以体会到逆向思维给我们发现新知识和深入研

究相关旧知识带来帮助。

3.整体思想：

整体思想也是常见的一种数学思想方法，尤其是在因式分解的过程中，运用整体思想可

以使解题思路清晰，解法步骤更简捷。

4.数学方法：

本章所应用的因式分解方法有：(1)提公因式法；(2)运用公式法。

【典型例题】

基础知识题

例1.分解因式：

(1)x4y2-x2y4(2)-ax2+2ax-a

(1)分析：此题给出的多项式是两项，对于两项的分解通常有两种方法：

一是提公因式，二是利用平方差公式/一"2=(4+砥Q—0)。观察此题先提公

因式X2J,再用平方差公式分解。

解AW：x4y2-x2y4

2y2([X2-y2J\

=x2y2(x+y)(x-y)

(2)此题给出的多项式是三项，三项式的因式分解通常有三种方法：一是

提公因式，二是用完全平方公式/±2况?+从=(a±Z?1，三是利用公式

J+(〃+<7)x+网=(x+〃)(x+q)，观察本题先提负号和公因式一处再用完全

平方公式。

解：—ax2+2ax—a

=_(7(元—2x+1)

=-—1)

知识拓展题

上例中我们介绍了二项和三项的多项式分解因式通常采用的方法，那么四项或四项以上

的采用什么方法呢？下面介绍一种新的方法：分组分解法。

例2.分解因式：

(1)X1-y2+Ay-Ax(2)1-«2-b2+2ab

分析：此题含有四项，对于四项或四项以上的通常采用分组分解法，用这种方法的思路

是：先看有公因式可提吗？如果有先提公因式，然后再决定分组，分组的时候要考虑分组后

是否可以分解因式，然后又可以再分解因式，最后的结果一定要是n个整式的积的形式。

(1)x2-y2+4y-4x

=任一),2)+如一甸

=(x+y)(x_y)+4(y-x)

=(x+y)(x—y)-4(x—y)

=(x—y)(x+y—4)

(2)1—a~—h~+2ab

=\-{a2+b~_2ab

=I2-(a-Z?)2

=[1+(a-8)][1-(a-/?)]

=(l+a-£>)(l-tz+/?)

因式分解技巧题

因式分解问题方法灵活，技巧性强，初学者不太容易掌握，尤其对于一些较特殊的多项

式，往往需要一些特殊技巧，下面我们就介绍一些因式分解的技巧。

(-)技巧一：重新整理组合

方法：在给定的代数式中，若含有括号，且保持括号不变不能直接分解因式，那么我们

可以考虑去括号，重新组合，从而达到因式分解的目的。

例3.分解因式：ab(c2-d~^-(ci2-b~^cd

分析：此多项式的形式无法再继续分解，因此需先打破原来的形式，而后重组分解即先

破后立。

解：原式=ahc1—abd2—a1cd+b2cd

=(abc1-a2cd^+^-abd2+b2cd^

-ac(bc-ad^+bd\—ad+be)

=(be-ad)(ac+切)

例4.分解因式：(x-l)(x-2)(x-3)(x-4)-120

分析：我们观察到首末两个一次式(x-l),(犬-4)的常数项之和正好等于中

间那个一次式(X-2),(x-3)的常数项之和，故可部分乘开，即把首末两个一

次式和中间两个一次式分别相乘，得卜2_5x+4)和12_5x+6),这两个式子

中又有相同部分¥一5羽将其看作一个整体，再相乘后与-120合并同类项，

就可以达到分解的目的了。

解：原式=[(x-l)(x-4)][(x-2)(x-3)]-l20

=(一一5无+4)12-5x4-6)-120

=(X2-5X)+10(/-5x)-96

=卜2-5x-6)卜2-5x+161

=(x-6)(x+l)(x?-5x+16)

(二)技巧二：换元法

对于比较复杂的多项式分解因式，将代数式中的某些部分看作一个整体，设辅助未知数,

运用换元法可使多项式中的数与式的关系明朗化，使问题简洁清晰，化难为易，从而达到比

较容易分解的目的。

例5.分解因式：(苏-18(〃/-〃，+81

分析：把(〃/-加)2看作一^务整体，设(病-㈤2=则原式可化为

6/2-18«+81,这时，多项式明朗多了，分解也容易多了。

解：设＞7,-m=a,则原式可化为：

u~-18a+81

=(«-9)2

=[(m2-mj-9

=(nr—根+3)(根2-加_3)

(三)技巧三：拆项添项法

将代数式中的某一项拆为两项或添加一些项，然后与其他原有的项组合分解。

例6.分解因式：%3-7x4-6

分析一：考虑将一次项-7x拆成-x-6%,然后分成两组(X，一%)和

(-6x+6),可达到分解的目的。

解法一：原式=工3一%一6%+6

=_x)_(6x—6)

=x(x+l)(x-1)-6(x-1)

=(尤-+1)-6]

=(x-1)(/+x—6)

=(x-l)(x-2)(x+3)

分析二：若将常数项+6拆成-1和+7,然后分成两组［'-I)和(-7x+7),

同样可达到分解的目的。

解法二：原式=/一1-7x+7

=(X3-1)-(7X-7)

=(X-])卜2+x+1)-7(x-1)

=(X-+X+1-7)

+X-6)

=(x-l)(x-2)(x+3)

指出：(1)此例用到「立方差公式：«3±A»3=(a+b)(a2+ab+h2)

(2)此例用到了拆项法。

例7.分解因式：X4+4

分析：此题为两个完全平方之和，不可直接套用公式，注意至11/+4/+4

=(X2+2)\故考虑添上一个完全平方项4,和-4/,可使问题得以解决。

解：原式=%4+4%2+4-4》2

=(x"+4x2+4)-4x2

=1*+2)2-(2x)2

=+2+2x)(/+2-2x)

=(x?+2x+2)(/-2x+2)

【模拟试题】(答题时间：40分钟)

选择题。

1.若(x—4)(x+7)是二次三项式/+办一28,那么a的值是()

A.3B.-3C.11D.-11

2.9-+碎y+16y2是一个完全平方式，那么m的值是()

A.12B.24C.±12D.±24

3.若r+4x—4的值为0,则3》2+12x—5=a,那么a的值是（)

A.7B.-7C.11D.-11

1,1

4.若x+—=3,则光2+二等于()

XX

A.11B.9C.7D.6

5.把8a-4a2-4分解因式是（

A.4（2a-a~-1）B.4a(2—a)—4

C.-4（a+l）*12D.-4(a-1)2

6.下列因式分解中正确的是（

A.-2x3-3孙3+xy=-xy(2x2-3y2+1)

B,-x2-y2=-(x+y)(x-y)

C.16/+4>2-16孙=4(2龙->)2

D.x2y+2xy+4y=y(x+2)-

二.填空题。

1.若;a%+加=；ab（N+2b）,则M=。

2.已知x、y互为相反数，且（x+2）2—（y+2『=4,贝ijx=,y=

3.992=,(-2)'02+(-2)l0'=。

4.当a?+2。+2,当。=时，有最小值为

u1999<、，。1998I/、1997.

5.2O—5x2+6x2+2()(X)=

6.+3x，-24/-f_48x—

三.分解因式。

(1)1-m2-n+2mn

(2)X，—2x+—16

(3)x3+2y-x-2x1y

四.求证：(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)+1是一个完全平方式。

五.已知多项式Y+bjJ+cx+d的系数都是整数，若bd+cd是奇数，证明：这个多项式

不能分解为两个整系数多项式的乘积。

【试题答案】

1.A2.D3.A4.C5.D6.C

1.M=ab2

11

2.x=—,y=---

22

3.992=(100-Ip=10()2-2x100+1=9801

(-2)102+(-2)101=(-2)101(-2+1)=-(-2)101=2101

4.ci~+2a+2=(q-+2a+1)+1=(a++1>1

...当。=一1时，有最小值为]

5.(2,9"-5X2I998+6X21997)+2000

I9972

=2(2-5X2+6)+2000

=21997x0+2000

=0+2000

=2000

6.3X7-24X5+48X3

=-8x2+16)

=_4)2

=3/(x+2)2(x-2)2

22

(1)\-m-rf-\-2mH

=1-(根2+n2-2m几)

=1一(机_"J

=[1+(/72-〃)][1_伽_")]

=(1+m-