2021-2022学年福建省福州市某中学高二（上）期中数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年福建省福州市高级中学高二(上)期中数学试卷

1.已知五=(2,—1,2),b=(x,y,6)，五与方共线，则x+y=()

A.5B.6C.3D.9

2.如图所示，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,()

点M在OA上，且丽=2以，N为BC中点、,则而等于()

A亨等+聂\

2-1'

BR.--a+-b+-c

61-,2rB

C.-a—3C

D.|a+|K-|c

3.设点4(—2,3),8(3,2),若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点，则。的取值范围是()

A.ug,+8)B.

C.[一|,$D.(_8,一刍u[|,+8)

4.已知直线2x+y-1=0与圆(x-I)2+(y+2)2=4相交于A,B两点，则线段AB的垂直

平分线的方程是()

A.x+2y+3=0B.x—2y+5=0C.x+2y—3=0D.x—2y—5=0

5.如图，正方体4BC0-4当口久的棱长为1,。是底面41当65的中心，则。到平面48的名

的距离是(

A.|B.qC.fD,^

6.己知G：(%-I)2+(y-I)2=1,圆C2：(x-4)2+(y-5)2=9,点M,N分别是圆Q,

圆C2的动点，尸为x轴上的动点，则|PN|-1PMi的最大值是()

A.7B.9C.3V5+4D.3遍+2

7.已知双曲线3―1=1被直线截得的弦A8,弦的中点为M(4,2),则直线A8的斜率为()

A.1B.yC.yD.2

8.己知椭圆盘+，=l(a>b>0)的两个焦点分别为0,尸2,设P为椭圆上一动点，角NF1PF2

的外角平分线所在直线为/,过点尸2做/的垂线，垂足为S,当点P在椭圆上运动时，点S的

轨迹所围成的图形的面积为()

A.a2B.4a2C.na2D.4na2

：

9.已知直线，1：(a+l)x+ay+2=0,/2+(1—a)y—1=0,贝ij()

A.〃恒过点(2,-2)B.若I1/%，则a?

C.若，1_Ll2,则a?=1D.当0WaW1时，％不经过第三象限

10.设椭圆C:J+y2=i的左右焦点为a,F2,p是C上的动点，则下列结论正确的是()

A.|P&|+\PF2\=2V2

B.离心率6=当

C.面积的最大值为加

D.以线段a尸2为直径的圆与直线％+y—&=0相切

11.将正方形ABCO沿对角线8。折成直二面角4-BO-C,则

下列结论正确的是()

A.AC1BD

B.△4CD是等边三角形

C.AB与平面BCD所成的角为90。

D.AB与C£>所成的角为30°

12.直三棱柱4BC-4B1C1，中，AB1AC,4B=AC==1,点O是线段BG上的动点(

不含端点)，则以下正确的是()

A.AC〃平面4BDB.CQ与4cl不垂直

C.N4DC的取值范围为G，gD.AC+DC的最小值为百

13.若点M(m,n)为直线/：3x+4y+2=0上的动点，则7712+"的最小值.

14.已知空间三点力(一2,0,2),B(-L1,2),C(-3,0,4)，则△ABC面积=.

15.若圆/+丫2="。>0)上恰有四个点到直线工一丫一2夜=0的距离为1,则实数，的取

值范围是.

16.过双曲线C：接一5=l(b>a>0)的焦点&作以焦点F?为圆心的圆的一条切线，切点为

M,ARF2M的面积为苧c2,其中c为半焦距，线段恰好被双曲线C的一条渐近线平分，

则双曲线C的离心率为.

17.已知△ABC中，顶点4(2,1),B(-2,0),4c的平分线所在直线的方程为％+y=0.

(1)求线段AB所在的直线方程；

(2)求顶点C的坐标.

18.如图，已知点P在正方体ABCD-4'B'C'D'的对角线BD'上，^PDA=60。.

(曾)求DP与CC'所成角的大小；

(回)求OP与平面44'D'D所成角的大小.

19.已知圆C的圆心在直线2x-y-2=0上，且与直线/：3%+4丫-28=0相切于点尸(4,4).

(1)求圆C的方程；

(2)求过点P(4,4),且截圆C所得弦AB的长为8的直线方程.

20.已知一动圆与圆G：(%+2)+y2=i、圆。2：(x-2)+y2=9都外切.

(1)求动圆圆心P的轨迹方程C；

(2)若直线y=依一1与(1)中所得曲线C交于M、N两点，且|MN|=6V5,求k的值.

21.如图，四棱锥P-4BC0中，底面ABCC为正方形，△P4B为等边三角形，平面P4B_1底

®ABCD,E为A。的中点.

(1)求证：CEJ.PD；

(2)在线段(不包括端点)上是否存在点F,使直线AP与平面PEF所成角的正弦值为若

存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由.

22.椭圆E：^+^=l(a>b>0)的右顶点为A,右焦点为凡上、下顶点分别是8,C,\AB\=

V7,直线CF交线段AB于点。，且田。|=2|。川.

(1)求E的标准方程；

(2)是否存在直线/,使得/交E于M,N两点，且F恰是ABAfN的垂心？若存在，求/的

方程；若不存在，说明理由.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解:因为五=(2,—1,2),b=(%,y,6),五与b共线，

则存在实数上使得k五=石,

x=2k.

则有,y=—k，解得k=3,x=6,y=—3,

6=2k

所以x+y=3.

故选：C.

利用向量共线定理，列出方程组，求解即可.

本题考查了空间向量共线定理、方程组的解法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础

题.

2.【答案】B

【解析】解：MN=0N-OM=^(0B+0C)-^OA=-^a+^b+

故选：B.

利用空间向量的线性运算求解即可.

本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

直线ax+y+2=0过定点(0,-2),直线ax+y+2=0与线段AB没有交点转化为过定点(0,-2)的

直线与线段48无公共点，作出图象，由图求解即可.

本题考点是两直线的交点坐标，考查直线与线段无公共点时参数的范围，此题常采用的技巧是借

助图象求参数的取值范围，本题直线ax+y+2=0形式简单，作答时易想不到这也是一个直线系

方程，从而解不出定点致使题目无从下手.

【解答】

解：如图，

直线ax+y+2=0恒过点M(0,-2),

且斜率为-a,

_3-(-2),5

・公M一刀丁一一展

kMB=

由图可知：一。>一|且一61<3

••・ae(一十)

故选B.

4.【答案】D

【解析】解：直线2x+y—1=0的斜率为—2,即心B=—2，

则线段AB的垂直平分线的斜率为今

又线段AB的垂直平分线过圆心(1,-2),

则线段AB的垂直平分线的方程是y-(-2)=|(x-l),即x-2y-5=0.

故选：D.

由直线方程及两直线垂直与斜率的关系可得42的垂直平分线的斜率，又AB的垂直平分线过圆心,

利用直线方程点斜式得答案.

本题考查直线与圆位置关系的应用，明确A8的垂直平分线过圆心是关键，是基础题.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查了点到面的距离计算.解题的关键是找到点到面的垂线，即点到面的距离.

过。作为&的平行线，交BiG于E,则。到平面ABCRi的距离即为E到平面4BC14的距离.作

EFIBCi于F,进而可知EF1平面4BGD1，进而根据EF=求得EF.

【解答】

解：过。作为殳的平行线，交&G于E,

则0到平面4BGD1的距离即为E到平面4BGD1的距离.

作EF1BCi于F,易证EF平面ABCiA，

可求得EF==孚.

故选B.

6.【答案】B

【解析】解：由题意可知，圆G的圆心6(1,1),半径为1,圆C2的圆心Cz(4,5),半径为3,

则|PN|-|PM|的最大值为(|PC2|+3)-(IPCJ-1)=IPC2ITPQI+4的最大值，

当P,GQ,-1)，G(4,5)三点共线时，

(IPCzl-IPGDmax=IGGI=Q(4_1)2+(5-1)2=5,

所以|PN|-|PM|的最大值为5+4=9.

故选：B.

先利用圆的方程求出圆心坐标和半径，利用三点共线求最值的方法即可得出结果.

本题考查了定点到圆上点的最值问题，属于中档题.

7.【答案】A

【解析】解：设AOifi)，802/2)，由题意可得空=4,空=2,

W*

-

4-2一-

四

代入双曲线的方程:域作差可得号z=空,

--一-

42

可得冬M•落H

2一1'

即直线AB的斜率为1,

故选：A.

设4,B的坐标，代入双曲线的方程，作差整理可得直线AB的斜率.

本题考查点差法求中点弦所在的直线的斜率，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：如图，延长F2S,0P交于点。，连接

OS,

由题意可得：直线/为线段F2Q的垂直平分线,

•••S为尸2(?的中点,且|PF2]=|PQ|,

又。为F1F2的中点，

11

•••|0S|=2|FiQ|=2(|6P|+|PQ|)

E(1|P0|+|PF2|)=a,

••.S的轨迹为以。为圆心，。为半径的圆，

AS的轨迹所围成的图形的面积为兀。2.

故选：C.

根据椭圆的简单几何性质及平面几何知识，可求出S的轨迹为：以。为圆心，。为半径的圆，再

根据圆的面积公式计算即可得解.

本题考查椭圆的简单几何性质及平面几何知识，属基础题.

9.【答案】BD

【解析】解：对于选项A：直线，1的方程可化为：a(x+y)=—2,

令忆［I。得:厅

.••直线k恒过点(-2,2),

故选项4错误，

对于选项8若则-等=-£，且-红白，

解得。2=1,

故选项B正确，

对于选项C：若，1112，则(a+l)a+a(l—a)=0,

解得a=0,

故选项C错误,

对于选项。：若直线。不经过第三象限,

当a=1时，直线％：%=1,符合题意,

-T^-<0

当a*1时，则/,解得0<a<1,

0

.1-0

综上，04aWL故选项。正确,

故选：BD.

把直线。的方程可化为a(x+y)=-工-2,令方程两边都为0,即可求出直线匕过的定点坐标，从

而判断选项A的正误，利用两直线平行时斜率关系可求出匕〃。时“的值，利用两直线垂直时斜率

关系可求出_L0时。的值，从而判断出选项2C的正误，对直线，2的斜率是否存在分情况讨论，

分别求出，2不经过第三象限时«的值，从而判断出选项D的正误.

本题主要考查了含参直线过定点问题，考查了两直线的位置关系，考查了直线过象限问题，是中

档题.

10.【答案】AD

【解析】解：由椭圆C:^+y2=1可知，a=五,b=1,c=1,

所以左、右焦点为Fi(-1,0),6(1,0)，

根据椭圆的定义IPF1I+IPF2I=2a=2V2,故A正确：

离心率3=£=孳故B错误；

所以△P&F2面积的最大值为2cxb=bc=l,故C错误：

由原点(0,0)到直线x+y—V2=。的距离d=।、'2=1=c,

所以以线段后F2为直径的圆与直线x+y-夜=0相切，故。正确；

故选：AD.

根据椭圆方程求得“，6和c,根据椭圆的性质及点到直线的距离公式即可求得答案.

本题考查椭圆的简单几何性质，考查椭圆的定义，点到直线的距离公式，考查转化思想，属于基

础题.

11.【答案】AB

【解析】

【分析】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求

解能力，是中档题.

取BQ的中点。，连结A。，CO,AC,由力OLBD,CO1BD,由此能证明BD_L平面AOC,从而

AC1BD-,AC=\f2A0=AD=CD,△4CD是等边三角形；AOBCD,由此能N4BD是48

与平面BCD所成角，且N4BD=45。；由前=而+前+配，推导出(而，配>=60。，由此能

求出48与C。所成角.

【解答】

解：如图，取8。的中点O,连结4。，CO,AC,人

由AO1BD,CO1BD,/1\\

又4。QCO=0,BD_L平面AOC,B4-

又ACu平面AOC,二BD14C,故A正确；

•••AC=&4。=AD=CD,是等边三角形，故8正确；

•••平面ABD1平面BCD,平面ABDn平面BCD=BD,AO1BD,AOu平面ABD,

•••AOBCD,二N4BO是A8与平面BCD所成角，且=45。，故C错误；

AC=AB+BD+DC,设4B=1,

1

.一，2，,,…,—>—,■,»2...,21'，2'—>”’,”，—.>....>‘一>

则4c=(AB+FD4-DC)2=AB+BD+DC+2•BD+28。•DC+2AB•DC,

1=1+2+1+2V2x(-y)+2V2x(-y)+2cos<AB,DC>,

••cos<AB,DC>=^,''■<AB,DC>=60°,

•••48与CO所成角为60°,故。不正确.

故选48.

12.【答案】AD

【解析】

【分析】

将直三棱柱4BC-&B1C1，中补成正方体，

A,利用线面平行的判定即可；

B,取。为GB的中点，进行判定；

C,判断以AC为直径的球与GB的交点情况即可；

D,将面CBG翻折至与ZBG共面，即可求4D+DC的最小值.

本题考查空间线面位置关系，考查空间动点问题，属于难题.

【解答】

解：根据题意作图，如图1,并将其补成正方体，如图2

对于A,因为4C//&C1，AiGu平面41BD,所以AC〃平面&BD,故4正确；

对于B,当。为GB的中点，CD与CBi重合，根据正方体的性质可得CD1AC1，故B错误;

对于C,判断以AC为直径的球与GB的交点情况，

如图3,取AC中点F,贝ljFG=FB=S，

当「。，当。时，FD=JFB2-=y>^AC,

所以以AC为直径的球与G8没有交点.所以4AZ)C<3故C错误；

对于Q,将面CBG翻折至与ABC】共面，此时点C与无重合，所以AD+CC的最小值为AEi=百,

故。正确.

故选：AD.

13.【答案】1

【解析】解：由题意知巾2+/的最小值表示点(m,n)直线上到点(0,0)最近的点的距离的平方，

由点到直线的距离得最小距离d=~

出+425

•••m2+层的最小值(§2=A.

故答案为：白

由题意知所求点(m,n)为直线上到点(0,0)最近的点的距离的平方，由此能求出m2+M的最小值

本题考查点到直线的距离的最小值，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.

14.【答案以

【解析】解：•••空间三点4(一2,0,2),F(-l,l,2),C(-3,0,4),

•••AB=(1,1,0),AC=(-1,0,2),

：.\AB\=Vl2+I2+02=V2,\AC\=V(-l)2+02+22=V5,

-77?ABAC—1V10

cos<4B,/IC

sin<AB,AC>=-cos2<AB,AC>=

ABC面积=1xV2xV5x=I，

故答案为：|.

应用向量坐标运算得而=(1,1,0),AC=(-1,0,2),根据向量夹角的坐标公式求夹角余弦值，进

而求解结论.

本题考查了向量的坐标求解和向量夹角公式，属于基础题.

15.【答案】(3,+8)

【解析】解：由于圆/+必=产。>0)的圆心为原点，原点到直线x-y-2鱼=0的距离为：

_I0-0-2V2I_

a-—霹~~一乙'

圆/+y2_r2(r>0)上恰有四个点到直线％-y-2V2=。的距离为1,

则r-2>1,

r>3

故答案为：(3,+8).

求出圆心到直线的距离，利用r-2>1求解

本题主要考查直线和圆的位置关系，属于中档题.

16.【答案】2

【解析】解：设直线的斜率为正，设N为潮

近线与直线居M的交点，由题意可得N为中点，

可得CW为△M&F2的中位线，可得IMF2I=2|0N|,

且MF2，MFI，所以ON1MF1,

由题意可得tan4FiON=，，所以sin4F】ON=

—==2,而|00|=c,所以|FiN|=b,\ON\=a,

c

可得IMF2I=2a,\MFi\=2b,

2

所以SAMF1fz=I12a-2&=2ab=yc,

两边平方可得4a292-a2)=|c4,

整理可得3e。-16e2+16=0,可得或e?=4,而b>a,可得e2=l+*>2,

所以可得e=2,

故答案为：2.

设线段Ma的中点为N,由题意可得ON_L由双曲线的性质可得tan4&ON=，可得|0N|,

INF/的值，进而可得IMF/,IMF21的值，由三角形的面积可得a,c的关系，进而求出双曲线的

离心率.

本题考查双曲线的性质的应用及离心率的求法，属于基础题.

17.【答案】解：⑴•••△4BC中,顶点4(2,1),5(-2,0),

二线段AB所在的直线方程为咨=岩，即x-4y+2=0.

1—UN十/

(2)4c的平分线所在直线的方程为x+y=0,可设点C坐标为(孙一加)，

C2的斜率为沪％=4，C4的斜率为尹％,

0-mm2-m

根据直线到乙。的平分线的角等于NC的平分线到直线C4的角，

—必业+1

可得------号方=-篇----，求得7H=0,故点C(0,0).

l+(T)x誓—%x(T)

【解析】(1)由题意，直接利用两点式求出直线A8的方程.

(2)设出点C的坐标，根据直线CB到ZC的平分线的角等于NC的平分线到直线CA的夹角公式，求

得点C坐标.

本题主要考查用两点式求直线的方程，一条直线到另一条直线的夹公式角，属于基础题.

18.【答案】解：如图，以。为原点，OA为单位长建立空间直角

坐标系。一xyzM'iDA=(1,0,0),CC7=(0,0,1).

连结B'D',在平面BB'D'D中，延长0P交B'D'于H.

设丽=(m,m,l)(m>0),由cos<DH,DA>="空=60",

\DH\\DA\

可得2nl=V27n2+1.解得m=争

所以而=(苧，苧,1).

,.,*—?^^x0+容xO+lxl

(日)因为cos<DH.eC>=2~7^=——=—,

1XV22

所以<DH,CC>=45。.即QP与CC'所成的角为45。.

(团)平面AA'C'D的一个法向量是比=(0,1,0).

.__,、，--»—»乎X0+浮xl+lxO1

因为cos<DH,DC>=2~事——=j

1XVZL

所以<丽，玩>=60。.

可得OP与平面44'。'。所成的角为30。.

【解析】以。为原点，D4为单位长建立空间直角坐标系D—xyz,则a=(1,0,0),CC=(0,0,1).连

结BD,B'D'.在平面BB'D'D中，延长DP交B'D'于H.设由=(m,m,l)(m>0),由cos<DH,DA>

DHDA,V2

=而南=60no’可得m=

(回)利用向量夹角公式求解；

(回)求平面4A。'。的一个法向量是DC=(0,1,0).

由cos<DH,DC>=在“；理+1x0=1可得op与平面。所成的角.

1XV22

本题是中档题，考查空间向量求直线与平面的夹角，法向量的求法，直线与平面所成的角，考查

计算能力.

19.【答案】解：⑴过点P(4,4)与直线/：3x+4y-28=0垂直的直线m的斜率为k=全

所以直线m的方程为y-4=^(%—4),即4x—3y—4=0,

由搂孚士区解得也。),

所以r=J(4-1尸+(4-0)2=5,

故圆C的方程为：(x-I)2+y2=25.

(2)过点P(4,4),且截圆C所得弦48的长为8,

则圆心到直线的距离d=J25-（1）2=3,

当直线斜率不存在，则直线方程为％=4符合题意

当直线斜率存在，设直线方程为y=k（x-4）+4,

解得土=为此时直线方程为7x-24y+68=0,

故所求直线方程为：x=4或7x-24y+68=0.

【解析】（1）先得到过点P（4,4）且与直线/：3x+4y-28=0垂直的直线方程，与2x-y-2=0联

立求得圆心即可;

（2）由弦长得圆心到直线的距离，设直线方程利用点到直线的距离公式求解即可.

本题主要考查直线和圆的位置关系，属于中档题.

20.【答案】解：（1）由题意设动圆半径为〃则|PG|=l+r,|PC2|=3+r,二|尸。2|—|PG|=2<

ICQI=4,

故圆心P的轨迹是以IGC2I为焦点的双曲线的左支（去掉顶点）,

其方程为/-，=l（x<-1）.

(2)直线y=kx—1与％2—与=1(%<—1)联立得：(3—/c2)x2+2kx-4=0,易知3—k20,

储=4-12/>0

设MQpyJ,做孙力）则，/+'2=尹<°

/=言>°

故|MN|=6>/3=+k2yl(X、+&)2-4X1/2=+k2J48T：k=66,

|3-/c|

得10Y-57k2+77=0,

k2=g或苗■（舍去），

故答案为：卜=—今^.

【解析】（1）利用外切得半径得关系式，再利用双曲线定义求解即可;

（2）直线与双曲线联立利用弦长公式列方程求解即可.

本题主要考查直线和圆的位置关系，属于中档题.

21.【答案】（1）证明：取AB的中点0,连结尸O,PD,

因为24=PB,所以P。1AB,

又因为平面PAB平面ABCD,平面P4Bn平面4BCD=AB,POc

平面PAB,所以P0，底面ABCD,

取CO的中点G,连结。G,则OB,OP,OG两两垂直，

分别以OB,OG,OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示,

设AB=2,则C(l,2,0),P(0,0,何E(-1,2,0),

所以屈=(-2,-1,0),而=(-1,2,-V3),

则方•丽=2-2=0,故而1万，

所以CE1PD；

(2)解:由(1)可知,?1(-1,0,0),B(l,0,0),P(0,0,V3),E(-l,l,0),D(-l,2,0),

所以而=(-1,1,一旬，而=(1,0,®~BD=(-2,2,0),FE=(-2,1,0),

设丽=4前(0<A<1),则而=(一2兀24,0),

所以前=~BF-~BE=(-2A+2,24-1,0),

设平面PEF的法向量为元=(x,y,z),

贝［元-PE=0gnf—x+y—V3z—0

tn-EF=0l(-22+2)x+(2A—l)y=0

令y=i,则#=罪，2=面占'

故有二(2a-2，L75(2-2/1))，

所以|COS<9,元>I=黑标__________1____________V5

2j(却-1+(春#—5,

整理可得9"-6A+1=0,解得4=i,

所以在BO上存在点尸，使得直线AP与平面PEF所成角的正弦值为络，此时点尸为靠近点B的

三等分点，即BF=：BD.

【解析】(1)取AB的中点。，连结PO,PD,利用面面垂直的性质定理证明OB,OP,OG两两垂

直，然后建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和两条直线的方向向量的坐标，由向量

垂直的坐标表示进行分析证明即可；

(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和两条直线的方向向量的坐标，结合直线AP

与平面PEF所成角的正弦值为噂，求解点尸的位置即可。

本题考查了线线垂直的证明以及线面角的应用，在解决有关空间角问题的时候，一般会建立合适

的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.

22.【答案】解：(1)方法一：设椭圆E的右焦点F(c,0),

则直线的方程：，直线尸的方程：

AB-a+^b-=1cbC--^=1,

_2ac

X=财^舞，誓¥

^-Cy

{y=k

由|BD|=2\DA\9则前=2DA,

则竽生幽3幺磬则a=2c,

、a+ca+a、a+ca+cJ

由+匕2=0,a2=624-c2,解得：c=1,Q=2,b=V3,

•••椭圆E的标准方程为5+[=1.