2021-2022学年江苏省南通市某中学高二数学理上学期期末试题含解析

2021-2022学年江苏省南通市第一初级中学高二数学理

上学期期末试题含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.若不等式/一日+左-1>0对Q2)恒成立，则实数北的取值范围是()

A(一0°2)B(一8,2]c(2,+co)p[2,+oo)

参考答案:

B

略

43

2.甲、乙两人参加歌唱比赛，晋级概率分别为二和彳，且两人是否晋级相互独立，则两

人中恰有一人晋级的概率为()

19327

A.20B.5C.5D.20

参考答案：

D

A<XGR-<2'<8►./f(rc2i|-l<r</w+l)

3.已知集合、2，若成立的一个充分

不必要条件是X?/,则实数团的取值范围是

A.B.屋？C.切>2

D.-2<HI<2

参考答案：

C

略

4.若ABCD是正方形，E是CD的中点，且刀=),AD=b,则丽=()

•1，•1•r1rr1r

b+—ab-—aa+—ba--b

A.2B.2C.2D.2

参考答案:

B

略

5.已知在四面体ABCD中，E,F分别是AC,BD的中点，若AB=2,CD=4,EF1AB,则EF与

CD所成的角的度数为（）

A.90°B.45°C.60°D.30°

参考答案：

D

【考点】异面直线及其所成的角.

【专题】空间角.

【分析】设G为AD的中点，连接GF,GE,利用三角形中位线定理，可证出EFLGF且

NFEG或其补角即为EF与CD所成角.最后在Rt^EFG中，利用正弦的定义算出

ZGEF=30°,即得EF与CD所成的角的度数.

【解答】解：设G为AD的中点，连接GF,GE,

则GF,GE分别为AABD,Z\ACD的中线.

1

由此可得，GF〃AB且GF=0\B=1,

工

GE/7CD,且GE=q：D=2,

/•ZFEG或其补角即为EF与CD所成角.

又•；EF_LAB,GF〃AB,AEFIGF

因此，RtZ\EFG中，GF=1,GE=2,

GF_1

由正弦的定义,#sinZGEF=GE=2,可得NGEF=30°.

.•.EF与CD所成的角的度数为30°

故选：D

A

c

【点评】本题给出空间四边形相对的棱长，在已知对角线的中点连线与一条棱垂直的情况

下求异面直线所成的角，着重考查了是异面直线所成的定义及其求法等知识，属于中档

题.本题利用三角形中位线定理，平行线的性质是解决问题的关键.

6.已知函数〃工)=电工，若"＞方＞。，有火蝴=1六酬，则a-b(i是虚数单位)

的取值范围为()

A.(l,+oo)B.[1,+co)C.(2,+8)D.[2,+oo)

参考答案：

7.设函数/(x)=4sin(2x+0)+cos(2x+o)K2,且其图象关于直线x=0对称,

则().

(0—)

(A)y=/s)的最小正周期为“，且在’2上为增函数

(0—)

(B)y=/(x)的最小正周期为“，且在’2上为减函数

—(0—)

(C)y=/(x)的最小正周期为2,且在’4上为增函数

—(0-)

(D)的最小正周期为2,且在’4上为减函数

参考答案：

B

略

8.(5分)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事

件是()

A.至少有一个黑球与都是红球

B.至少有一个黑球与都是黑球

C.至少有一个黑球与至少有1个红球

D.恰有1个黑球与恰有2个黑球

参考答案：

D

考点：互斥事件与对立事件.

专题：阅读型.

分析：互斥事件是两个事件不包括共同的事件，对立事件首先是互斥事件，再就是两个事

件的和事件是全集，由此规律对四个选项逐一验证即可得到答案.

解答：解：A中的两个事件是对立事件，故不符合要求；

B中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，故不符合要求；

C中的两个事件都包含一个黑球一个红球的事件，不是互斥关系；

D中的两个事件是互互斥且不对立的关系，故正确.

故选D

点评：本题考查互斥事件与对立事件，解题的关键是理解两个事件的定义及两事件之间的

关系.属于基本概念型题.

9.下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型

是

X45678910

Y15171921232527

A一次函数模型B二次函数模型C指数函数模

型D对数函数模型

参考答案：

A

略

10.若如下框图所给的程序运行结果为S=35,那么判断框中应填入的关于人的条件是（

）

A.A=7?B./6?C.Z<6?D.k>6?

参考答案：

D

详解：框图首先给累加变量S赋值1,给循环变量k赋值10.

判断10>6,执行S=l+10=ll,k=10-l=9；

判断9>6,执行S=11+9=20,k=9-l=8；

判断8>6,执行判断+8=28,k=8-1=7；

判断7>6,执行S=28+7=35,k=6；

判断6W6,输出S的值为35,算法结束.

所以判断框中的条件是k>6?.

故答案为:D.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

a*-«cos——4-1

11.数列⑸｝的通项公式2,前n项和为Sn,则S2012二—

参考答案:

3018

略

12.若复数z满足z-2i=l+zi（其中i为虚数单位），则2=.

参考答案：

13.

——F-j

22

13.复数满足z0+J）=2i,则复数z的实部与虚部之差为

参考答案：

0

略

14.三棱柱三视图（主视图和俯视图是正方形，左视图是等腰直角三角形）如图所

示,则这个三棱柱的全面积等于▲

主视图“左视图”

参考答案：

12+4返

22

xJ=1

15.若椭圆3-k1+k的焦点在x轴上，则k的取值范围为

参考答案:

（-1,1）

【考点】椭圆的简单性质.

【专题】计算题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程.

'3-k>0

<l+k>0

【分析】由已知条件利用椭圆定义得|3-k>l+k,由此能求出k的取值范围.

22

【解答】解：•.•椭圆3-k1+k表示焦点在x轴上的椭圆，

'3-k>0

<l+k>0

/.3-k>l+k,解得-

：.k的取值范围为(-1,1),

故答案为：(-1,1)

【点评】本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运

用.

1

16.设数列｛a„｝满足ai=l,且a”1-a“=n+l(n£N*),则数列｛^n｝的前10项的和为.

参考答案：

20

n

【考点】数列的求和；数列递推式.

【专题】等差数列与等比数列.

【分析】数列｛aj满足&=1,且aa-a“=n+l(nCN*),利用“累力口求和”可得

n(n+1)

a„=2一,再利用“裂项求和”即可得出.

【解答】解：•.•数列｛a“｝满足&=1,且a““-a”=n+l(neN*),

n(n+1)

当n22时，a„=(a„-a„-1)+,,•+(a2-a,)+a[=n+…+2+1=2.

当n=l时，上式也成立，

n(n+1)

/.a„=2.

1=2i_i

.不n(n+1)=2(丁示P.

-2「+(―--)+・,・+(1-1)1

・•・数列｛&n｝的前n项的和S“=11号nn+1

2(1--47)

=n+1

2n

=n+l.

A20

，数列｛㊀吗的前10项的和为五.

20

故答案为：U.

【点评】本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和

公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

17.方程x2+y2+kx+2y+k2=0表示的圆面积最大时，圆心坐标是—.

参考答案:

(0,-1)

考点：圆的标准方程.

专题：计算题.

分析：把圆的方程化为标准式方程后，找出圆心坐标与半径，要求圆的面积最大即要圆

的半径的平方最大，所以根据平方的最小值为0即k=0时得到半径的平方最大，所以把

k=0代入圆心坐标中即可得到此时的圆心坐标.

(x止)2至

解答：解：把圆的方程化为标准式方程得2+(y+1)2=1-4，则圆心坐标为

k31?

(-2,-1),半径r2=l-4

3k2

当圆的面积最大时，此时圆的半径的平方最大，因为y=1--］，当k=0时，1最大，

此时圆心坐标为(0,-1)

故答案为：(O,-1)

点评：本题以二次函数的最值问题为平台考查学生掌握圆的标准方程并会根据圆的标准

方程找出圆心和半径，是一道基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

o2------

18.已知椭圆C：a+b=1(a>b>0)的一个长轴顶点为A(2,0),离心率为2,直

线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N,

(I)求椭圆C的方程；

逗

(II)当aAMN的面积为一方时，求k的值.

参考答案：

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程.

返

【分析】(1)根据椭圆一个顶点为A(2,0),离心率为2,可建立方程组，从而可

求椭圆C的方程；

‘尸k(x-1)

(H)直线y=k(x-1)与椭圆C联立I42,消元可得(1+21?)x2-4k2x+2k2-

VlO

4=0,从而可求|MN|,A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离，利用AAMN的面积为飞一，

可求k的值.

返

【解答】解：(I)•椭圆一个顶点为A(2,0),离心率为2,

'a=2

cM

—=---

a2

a2=b2+c2

.,.b=V2

...椭圆c的方程为了+”-=1；

'y=k(x-1)

.22

(II)直线y=k(x-1)与椭圆C联立I42,消元可得(1+21?)x2-4k2x+2k2-

4=0

4k22k2-4

-----5xlx2=._2

设M(xi,yi),N(x2,y2),则x1+x2=l+2k,l+2k

,_-,------------------24(l+k2)(4+6k2)

2

MN|=Yl+k2x{(X[+x2)2-4X]X2=l+2k

VA(2,0)到直线y=k(x-1)的距离为Vl+k2

i|MN|d=Ahf^Z

...△AMN的面积S=Zl+2k

V10

VAAMN的面积为一丁，

|klV4+6k2_710

l+2k2-3

/.k=±1.

【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计

算，解题的关键是正确求出IMN.

亡+片=1叵叵

19.已知椭圆C：a2b2(a>b>0)的离心率为2，点A(l,2)在椭圆C上.

(I)求椭圆C的方程；

(U)设动直线1与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满

足此圆与1相交两点P|,P2(两点均不在坐标轴上)，且使得直线OP1,OP2的斜率之积

为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.

参考答案：

【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程.

【分析】(I)利用离心率列出方程，通过点在椭圆上列出方程，求出a,b然后求出椭

圆的方程.

(II)当直线1的斜率不存在时，验证直线OP1,OP2的斜率之积.

当直线1的斜率存在时，设1的方程为丫=1«+01与椭圆联立，利用直线1与椭圆C有且只有

22

一个公共点，推出m=4k+l,通过直线与圆的方程的方程组，设Pi(X,.y.),P2(X2,

y2),结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出k门k2为定值即可.

【解答】(本小题满分14分)

c_V3

(I)解：由题意，得占―，a2=b2+c2,...

A(i)

又因为点'2'在椭圆C上，

工3-1

所以a'4b',...

解得a=2,b=l,C=V3,

2

x21

---+V=1

所以椭圆c的方程为4，

(II)结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x2+y2=5.…

证明如下：

假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x2+y2=F(r>0).

当直线1的斜率存在时，设1的方程为丫=人+01.…

‘尸kx+m

£2=1

由方程组14'-得(4k2+l)x2+8kmx+4m2-4=0,...

因为直线1与椭圆C有且仅有一个公共点，

所以△1=(瓯)2-4(4k2+l)(4£-4)=Q,即m2=4k2+i....

y=kx+m

,222

由方程组Ix+y=r得(1<2+1)x2+2kmx+m2-r=0,...

=2222>

则△2(2kin)-4(k+l)(m-r)^0

_-2km._m2-r2

X22

设Pl(XHyi).P2(X2,y2),则“-k+1,町"-k2+l,…

设直线OP”0P2的斜率分别为k”k2,

22

yjy2(kxJ+ID)(kx2+ni)kxtx2+kin(X|+x2)+m

k

所以xlx2

11_（4-r」）k2+l

k1■k9-o9

将m2=4k2+l代入上式，得4k，（l-r'）.

二1

要使得k|k2为定值，则41-r2,即F=5,验证符合题意.

1

所以当圆的方程为x?+y2=5时，圆与1的交点P”P2满足k#2为定值一彳.…

当直线1的斜率不存在时，由题意知1的方程为x=±2,

此时，圆x2+y2=5与1的交点P”P2也满足孰上二万.

综上，当圆的方程为x2+y2=5时，圆与1的交点P”P2满足斜率之积k|k2为定值4.

20.（本题满分12分）已知函数y=）当x=l时，有极大值3；

（1）求“力的值；（2）求函数丁的极小

值。

参考答案：

（I）9=%82+26先当x=l时，y|,.j=3a+24=0,/|tJ=a+6=3,

3a+2b=0

a=-6,b=9♦

a=3t

(2)-6?+9xa„y'=-ISx3+18x.令y'=0,得x=0,或x=l“

%+0=八“=。"

21.(本题满分9分)已知关于x的不等式：12不一.归1的整数解有且仅有一个值为

2.

(1)求整数加的值；(2)在(1)的条件下，解不等式：卜一4+卜一3怛幽.

参考答案：

解：(1)由以一活区1,得丁一'一亍。•••不等式的整数解为2,

--1<2<w+1

:.丁一一丁=>3《冽《5,又不等式仅有一个整数解，：冽=4。……5分

⑵即解不等式k-11+k-3|=4

当天41时，不等式为l-x+3_xN4=x《0,不等式的解集为卜卜勺°｝；

当I<x43时，不等式为矛-1+3-心4=六步,不等式的解集为外

当x>3时，不等式为芯-1+3_为之4="24,不等式的解集为卜卜24),

综上，不等式的解集为(-8,0]U[4,W)

pO—

22.椭圆C：a+b=1(a>b>0)的离心率为2,其左焦点到点P(2,1)的距离为

V10.

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)若直线1：y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点)，且以AB为直

径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线1过定点，并求出该定点的坐标.

参考答案:

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.

【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题.

【分析】（I）利用两点间的距离公式可得C,再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出

a,b；

（II）把直线1的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用以AB为直径的圆

过椭圆的右顶点D,可得kgka=-l,即可得出m与k的关系，从而得出答案.

【解答】解：(I)•.•左焦点(-c,0)到点P(2,1)的距离为历，

/J(2+c)2+1=710,解得c=l.

又解得a=2,...bJa2-c2=3.

22

工2_口

，所求椭圆C的方程为：43~1.

‘尸kx+m

(II)设A(xi,yi),B(X2,yz),由.43得(3+41?)x?+8mkx+4(m2-3)=0,

△=64m2k*42-16(3+4k2)(m2-3)>0,化为3+4『>1112.