2021-2022学年河南省信阳某中学高三（上）月考数学试卷（文科）（8月份）(解析版)

2021-2022学年河南省信阳高级中学高三（上）月考数学试卷（文

科）（8月份）

一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）.

1.若集合A={X|X2-2XW0},集合B满足AUB=4,则8可以为（）

A.{x|xW2}B.{x|-lWxW2}C.{1,2}D.{-1,0,1,2）

2.设复数2=|«+[-於。21,则在复平面内Z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间主要经营食品和

服装两大类商品，2020年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一季度翻了一番,

整理前三季度的收入情况如图所示，则下列说法错误的是（）

%食品收入UIE我收入

A.该直播间第三季度的总收入是第一季度的4倍

B.该直播间第三季度的服装收入比第一季度和第二季度的服装总收入还要多

C.该直播间第二季度的食品收入是第三季度食品收入的方

D.该直播间第一季度的食品收入是第三季度食品收入的J

6

X

4.函数/(x)=的图象大致为（)

lnlxI

22

5.“44V10”是“方程三_+_L=l表示焦点在x轴上的椭圆”的（）

k-410-k

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知函数/（x）=sinx-x,设,6=/'（0.1口），c=/（logo.in）,则〃，b,c

的大小关系是（）

A.a>h>cB.h>c>aC.c>h>aD.h>a>c

7.已知数据xi,必…，X2020的方差为4,若V=2H（i=l,2,—,2020）,则新数据yi,

”，…，”020的方差为（）

A.2B.4C.8D.16

8.已知函数八x）=se「+〃的图象恒过点（2,1）,若对于任意的正数如〃，不等式上+鱼》&

mn

恒成立，则实数A的最大值为（）

A.9B.3+2后C.7D.4加

9.若各项均为正数的数列｛为｝满足。向=4斯，ag=256,则使得不等式4"<133

（1+，a[+，a2+…+，a-成立的最大正整数"的值为（）

A.5B.6C.7D.8

I菽1=1,SAABC=^S,点。为BC的中点，

10.在钝角三角形A8C中，AB=（1，F）

则1通=（）

A.五B.正C.返D.—

2222

11.在△ABC中，AC=2«，顶点8在以A为直径的圆上，点P在平面ABC上的射影为

AC的中点，PA=2,则其外接球的表面积为（）

B.竽兀9

A.12TTC.471D.16n

4

-2X2+4X,04X42,

12.已知函数/(x)=11若函数g(x)=/(x)-丘+k在区间［-2,

yf(X+2),X<0,

1］上有3个不同的零点，则实数”的取值范围是()

A.(-4-2V3.0)B.(-1,0)C.(-4+2泥，0)D.(-p0)

二、填空题((每小题5分，共20分))

13.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.

14.从古至今，文学与数学都有着密切的联系.一首诗从末尾一字读至开头一字另成一首新

诗，称之为“通体回文诗”，数学中也有类似的情况：对一个整数〃">10)从左向右

和从右向左读其结果都是质数，可以称它为“通体质数”.若在闭区间［10,30］中，任取

一个整数，则此整数是“通体质数”的概率为.

JT

15.已知函数/(x)=sin2x+sin(2x+-^-)+。同时满足下述性质：①若对于任意的xi,xi,

X3G［0,-^7-］,7(xi)2f(X3)恒成立；②fa］-)则a的值为_____.

46V

16.一动圆截直线3x-y=0和3x+y=0所得弦长分别为8,4,则该动圆圆心的轨迹方程

为.

三、解答题

17.已知数列｛飙｝是递增的等差数列，G=/,且满足“4是Z与制的等比中项.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)求数列｛―--｝的前〃项和.

anant-l

18.如图，平面ABC,DA=AC=l,。是A8的中点，△4C0为等边三角形.

(1)证明：平面ACD_L平面BCE；

(2)若AD〃BE,P为CE的中点，Q为线段0P上的动点，判断三棱锥Q-ACD的体

积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由.

19.电子烟是一种模仿卷烟的电子产品.有害公共健康.为研究吸食电子烟是否会引发肺部

疾病，某医疗机构随机抽取了100人进行调查，吸电子烟与不吸电子烟的比例为1：3,

整理数据得到如表:

感染肺部疾病未感染肺部疾病总计

吸电子烟15

不吸电子烟50

总计

(1)完成2X2列联表，在犯错误的概率不超过5%的前提下，能否认为吸食电子烟与感

染肺部疾病有关？

(2)为进一步调查分析电子烟中诱发肺部疾病的成分因素，在感染肺部疾病的被调查人

中，按照吸电子烟和不吸电子烟这两大类别，采用分层抽样的方法抽取8人，从这8个

人中任取2人进行血液、痰液等相关医学检查n求这两个人来自同一类别的概率.

2

参考公式及数据：K=---<7---------------其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(烂》公)0.0500.0100.0050.001

k)3.8416.6357.87910.828

20.己知函数/(x)=sinx-(aeR).

(1)定义/(x)的导函数为/⑴(x),/(1)(X)的导函数为/⑵(x),……以此类推，

TT

若/2020>(1)=sinl,求函数f(2x升)的单调区间；

(2)若x20,证明：/(%)<0.

21.已知抛物线C：x2—2py(p>0)的焦点为F,且尸与圆M-.x2+(y+4)2—］上点的距

离的最小值为4.

(1)求p；

(2)若点尸在M上，PA,尸8为C的两条切线，A,B是切点，求面积的最大值.

'_2

22.在直角坐标系x0y中，曲线C的参数方程为｛x=mt,(机#o,，为参数)，以坐标原

y=mt

TT

点o为极点，X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为PCOS(x-f^)

=返

2-

(1)求直线/的直角坐标方程；

(2)若直线/经过曲线C的焦点T,且与曲绒C交于M,N两点，求17Ml」刑.

23.已知函数f(x)=|x-1|.

(1)求不等式/(x)-/(2X+4)W1的解集；

(2)当x<-l时，/(“X)+/(-x)+x>0恒成立，求实数4的取值范围.

参考答案

一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）.

1.若集合4=U|X2-2X<0},集合8满足AUB=A,则8可以为（）

A.{x|xW2}B.{x|-lWxW2}C.{1,2}D.{-I,0,1,2）

解：•..集合A={NX2-2XW0}={X|0WXW2},集合8满足4UB=A,

：.BQA,

二8可以为{1,2}.

故选：C.

2.设复数z=W吊力-0⑼，则在复平面内Z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

解：Vr4=l,理。21=（产）505・j=j,

1^1=7（73）2+12=2,

复数z=|F+i|-72021=2-i,

则在复平面内z对应的点（2,-1）位于第四象限，

故选：D.

3.“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间主要经营食品和

服装两大类商品，2020年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一季度翻了一番,

整理前三季度的收入情况如图所示，则下列说法错误的是（）

A.该直播间第三季度的总收入是第一季度的4倍

B.该直播间第三季度的服装收入比第一季度和第二季度的服装总收入还要多

C.该直播间第二季度的食品收入是第三季度食品收入的方

D.该直播间第一季度的食品收入是第三季度食品收入的!

解：对于选项A：因为该直播间每个季度的收入都比上一季度翻了一番，所以第三季度

的总收入是第一季度的2X2=4倍，所以选项4正确，

对于选项8：不妨设第一季度的总收入为“，则第二季度、第三季度的总收入分别为2”、

4a,

所以第三季度的服装收入为4ax70%=2.8a,第一季度和第二季度的服装总收入为“X

90%+2aX80%=2.5a,

因为2.8〃>2.5m

所以选项B正确，

对于选项C：由题意第二季度的食品收入为2ax20%=0.4m第三季度的食品收入为4a

X30%=1.2m

因为"_==，即直播间第二季度的食品收入是第三季度食品收入的《，

1.2a33

故选项C正确，

对于选项。：第一季度的食品收入为“X10%=0.1a,

因为当黑=士，即第一季度的食品收入是第三季度食品收入的士，

1.2a1212

所以选项。错误，

故选：

4.函数f(x)=一7的图象大致为()

lnlxI

解：函数的定义域为{x|xW0且xW±l},

/(-X)=--j-=---F—j-=-f(x),则/(x)是奇函数，排除A,

ln|-xIlnlxI

当x>。时，"X)=上，f(x)Jnx-xT」4

lnX(lnx)2(lnX)

当x>e时，f(x)>0,此时f(x)为增函数，排除O,

当IVxVe时，f(x)<0,此时/(x)为减函数,

即当x=e时，/'(x)取得极小值/(e)-r-=e,排除c,

Ine

故选：B.

22

5.“4V&V10”是“方程且_+_1_=1表示焦点在尢轴上的椭圆”的()

k-410-k

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

22

解：•.•方程二_+上_=1表示焦点在x轴上的椭圆，

k-410-k

k-4>0

10-k>0,解得：7<*<10,

k-4>10-k

22

故"4V&V10”是“方程二+上_=1表示焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，

k-410-k

故选：B.

6.已知函数/(x)=siar-x,设〃，b=f(0.1K),c=f(logo.iir),则a,b,c

的大小关系是()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.b>a>c

解：,:f(x)=sinx-x,

:.f(x)=cosx-IWO,

，函数/(x)=sinx-x在R上单调递减，

又71°」>7T°=1,0<0.1^<1,Iogo,in<logo.i1=0,

/./(logo.in)>b=f(0.111)>f(ii0J),

即c>b>a,

故选：C.

7.已知数据Xi,及，…，X2020的方差为4,若Y=2H(i=l,2,…，2020),则新数据yi,

)明…，”020的方差为()

A.2B.4C.8D.16

解：根据题意，样本数据加，X2,…，X2O2O的方差为4,

yi=2xi(z=l,2,•••,2020),

所以yi,丁2，…，”020的方差为

D(D=D(2x)=22XD(X)=4X4=16.

故选：

8.已知函数f(x)=%e「2+〃的图象恒过点(2,1),若对于任意的正数如〃，不等式上+鱼》人

mn

恒成立，则实数A的最大值为()

A.9B.3+2亚C.7D.4&

解：可令x-2=0,即x=2,可得42)=,"+〃=1,

由“>0,">0,可得」+&=(m+〃)(4当=1+4+^+—>5+21厘互=9,

mnmnmnVmn

当且仅当〃=2,〃=］时取得等号，

则AW9,可得A的最大值为9.

故选：A.

9.若各项均为正数的数列｛〃〃｝满足a“+i=4〃“，〃1。5=256,则使得不等式4n<133

(1+/1+J同+…成立的最大正整数〃的值为()

A.5B.6C.7D.8

解：各项均为正数的数列｛〃“｝满足ae=4z,可得上始旦+1

an

则数列｛〃”｝是公比为4的等比数歹U,

又m〃5=256,a[2q4=256，即m=l，

n-1n-12

Aan=4=(2).可得用=2年1

由不等式4Y133(l+«7+J^+…+J^)成立,

21

得4"<133(1+20+2'+2+-+2«-)-133(1+133X2",

/.2«<133<28,即〃<8,可得最大正整数〃的值为7.

故选：C.

10.在钝角三角形ABC中，器=（1,、口），I正1=1，5号踩=零，点。为8c的中点,

则屈=（）

A.且B.匹C.返D.—

2222

解：如图，

IABl=2»IAC1=1，S△妞

|AB||AC|,sin/BAC=sinNBAC=^,，COSNBAC=±£,

若cosZBAC^I，则：|BC|2=|AC-AB|2=AC2+A£2-2AC-AB=

l+4-2X2XlXy=3-

...NB=90°,△ABC是直角三角形，与己知AABC是钝角三角形矛盾，

••・cos/BAC=V，

•••|AD|-1|AB+AC|（AB+AC）2=y'^4+l-2X2XlXy-

故选：c.

11.在△ABC中，AC=2j§，顶点B在以AC为直径的圆上，点P在平面ABC上的射影为

AC的中点，PA=2,则其外接球的表面积为（）

169

A.12nB,7TC.—兀D.16n

34

解：如图，

：顶点8在以AC为直径的圆上，...NABC=90°,

,：AD^DC,：.D为△ABC的外心，

又PC_L平面A8C,且AQ=£>C,：.PA^PC=2,

,.,P£>u平面PAC,可得平面PAC_L平面ABC,

则的外心即为三棱锥P-ABC外接球的球心.

222

在中，由余弦定理可得，cosZAPC=2+2-(2A/3)=

2X2X22

.•.NAPC=120°,sin/”C=返,

2

AC=2百

2R=

设△P4C外接圆的半径为凡则sin/APCV3=&得R=2.

2

,其外接球的表面积为S=4TTX22=16TT.

故选：D.

04x42,

若函数g(x)=f(x)-履+Z在区间［-2,

x<C0,

1］上有3个不同的零点，则实数％的取值范围是()

1

A.(-4-2亚0)B.(-1,0)C.(-4+2^3>0)D.0)

2

fP

-2x"+4x,04x42,

解:函数f(JC)1

1f(x+2),x<0,

作出/(x)在［-2,1］的函数图象，

当xe［-2,0)时，/(x)--x2-2x.

那么g(x)在区间［-2,1］上有3个不同的零点，转化为了(X)图象与了=日-左的交点

问题即可求解.

•：y=kx-k=k(x-1),直线恒过(1,0),

-X2-2x^kx-上只有2个交点，

此时△=(2+/)2+4&=0,

解得％=273-4.

要使f(x)图象与>=丘-2有3个交点，

可知-4+2«4<0.

故选：c.

13.若某几何体的三视图如图所示，则该儿何体的体积为—耳L

解：由三视图还原原几何体如图,

该几何体为圆锥的一部分，圆锥的高为4,底面扇形的圆心角为亭，

则底面面积为1X-^LX2X2=3三，

则几何体的体积为V=1*等X4泻二.

339

故答案为：耳匚.

y

14.从古至今，文学与数学都有着密切的联系.一首诗从末尾一字读至开头一字另成一首新

诗，称之为“通体回文诗”，数学中也有类似的情况：对一个整数〃（">10）从左向右

和从右向左读其结果都是质数，可以称它为“通体质数”.若在闭区间［10,30］中，任取

一个整数，则此整数是“通体质数”的概率为4

~T

解：在闭区间［10,30］中，任取一个整数，

基本事件总数〃=21,

此整数是“通体质数”包含的基本事件有:

11,13,17,共3个,

.•.此整数是“通体质数”的概率为？=三==.

217

故答案为：-y.

IT

15.已知函数/(x)=sin2x+sin(2x+—•)+。同时满足下述性质：①若对于任意的阳，xi,

2

X3e[0,—V(^2)2/(冷)恒成立；②<Vs-a-则。的值为0.

46V

解：f(x)=sin2x+(—sin2x+^^.cos2x)+a

22

_3.c上

-----sino2x+-~~cosZi+q

22

=^3(^^sin2元+工os2x)+a

V22

=^/3sin(2x+-^-)+〃

6

,JTKK97T

3xW[0'——]时'2x+——6[——,——],

4663

.•.当xe[0,亍1时，f(x)曰a+乎，«->V3],

TT

•・,对于任意XI,X2,X3GL0,—],/(XI)47(X2)2/(X3)恒成立，

♦.2f（X）min（X）max，

•♦•2T

a1,・・・〃2+〃W0,・,.-iw〃wo②,

b

由①②可得a=0.

故答案为：4=0.

16.一动圆截直线3x-y=0和3x+y=0所得弦长分别为8,4,则该动圆圆心的轨迹方程为

xy=10

解：如图所示，设点MG,y),由条件可得，AB=4,EC=2,

2

由点到直线的距离公式可得，MA2=.(3x-y产,MC2=(3x+y)

1010

由垂径定理可得，MAi+AB2=MC1+EC1,

二⑶一了产+y⑶+丫产+幺化简可得，肛=io.

1010

二点M的轨迹方程为个=10,

故答案为：孙=10.

三、解答题

17.已知数列仅“｝是递增的等差数列，0=尚，且满足，”是“2与制的等比中项.

(1)求数列｛小｝的通项公式；

(2)求数列｛―--｝的前〃项和.

anan4-l

解：(I)由数列｛〃〃｝是递增的等差数列，设公差为d,40,

由0=得，且44是。2与。8的等比中项，可得442=4248，

即弓+3d)2=(A+J)申7")，

解得(0舍去)，

(2)-------=11.、=4(上-,

anarrt-lyn-y(n+l)nn+1

则数列｛｝的前n项和为4(1-_1■+…+1----1)

a

anin-l223nn+1

=4(1,)=上

n+1n+1

18.如图，04,平面ABC,DA=AC=\,。是AB的中点，△ACO为等边三角形.

(1)证明：平面ACC平面8CE；

(2)若P为CE的中点，。为线段。P上的动点，判断三棱锥。-4C。的体

积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由.

【解答】证明：(1)：D4_L平面ABC,BCu平面ABC,

：.DALBC,

•：DA=AC=1,。是A8的中点，△ACO为等边三角形,

OC=—AB,

2

：.BC±AC,

".'DAQAC^A,

，BC_L平面AC。，

；BCu平面BCE,

平面ACD_L平面BCE.

解：(2)取BC的中点R,连接OR,PR,

在△ACB,aBCE中，OR,PR分别为中位线，

：.OR//AC,PR//BE,

'：AD//BE,

：.PQ//AD,

：ACu平面AC。，PRC平面ACQ,

.♦.PR〃平面AC。，

同理OR〃平面AC。，

'：PRQOR=R,PRu平面OPR,ORu平面。PR,

二平面AC。〃平面OPR,

VBC1AC,

二平面ACD与平面OPR的距离CR=^BC=叵,

22

S^ACD=~X1X1=2,

22

VQ-ACD—工X工x通=返

32V^2

故三棱锥Q-AC。的体积是定值,

19.电子烟是一种模仿卷烟的电子产品.有害公共健康.为研究吸食电子烟是否会引发肺部

疾病，某医疗机构随机抽取了100人进行调查，吸电子烟与不吸电子烟的比例为1：3,

整理数据得到如表：

感染肺部疾病未感染肺部疾病总计

吸电子烟15

不吸电子烟50

总计

（1）完成2X2列联表，在犯错误的概率不超过5%的前提下，能否认为吸食电子烟与感

染肺部疾病有关？

（2）为进一步调查分析电子烟中诱发肺部疾病的成分因素，在感染肺部疾病的被调查人

中，按照吸电子烟和不吸电子烟这两大类别，采用分层抽样的方法抽取8人，从这8个

人中任取2人进行血液、痰液等相关医学检查v求这两个人来自同一类别的概率.

参考公式及数据：K2=----寸？（吗-?c）＜,----其中〃=a+b+c+d.

（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）_________________

P(烂2公）0.0500.0100.0050.001

ko3.8416.6357.87910.828

解：（1）由题意知，吸电子烟的有100X=上=25（人），不吸电子烟的有100-25=

1+3

75（人），由此填表如下:

感染肺部疾病未感染肺部疾病总计

吸电子烟151025

不吸电子烟255075

总计4060100

由表中数据，计算心迎寒畿凝吠=*.556>3.8"

所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为吸食电子烟与感染肺部疾病有关;

（2）用分层抽样方法抽取8人，吸电子烟的有8X1=2（人），不吸电子烟的有6人,

4

p2ij-i2

从这8个人中任取2人，则这两个人来自同一类别的概率为尸=*/=言.

7

20.已知函数/（尤）=sinx-।（〃WR）.

（1）定义/（%）的导函数为了⑴（X）,/⑴（X）的导函数为了⑵（X）,……以此类推,

若/2020）（］）=sinl,求函数f（2x号）的单调区间;

(2)若元20,证明：f(x)<0.

解：(1)先证/'〃)(x)=sin(x+二^-)

jr

当n=]时，/(,)(x)=cosx-aex,=sin(x+-^-)-〃e门成立,

假设〃=%时，fk)(x)=sin(1+\—)-aex成立，

.../(k+1)兀、

则〃=1+1时，(x)=(x))'=cos(x+-K；_)-aex,=sin(x+--------)

2

-aeK'1成立,

所以/■)(x)=sin(x+-2—)-a#i,

2

则.2020)(])=sin(I+乙0匕0兀_)-ad)=sinl-a=sinl,可得。=0,

2

所以f(x)=sinx,

/兀、./兀、

f(2x+-y)=sm(2x+—)-

冗“7c兀-兀

令一------F2ZIT<2x+<—+2kir,ksZ,

232

5可，11兀,

解得-----+EMxW---\-kit,依z,

1212

令今+2EW2x+±W号

+2加，kEZ,

IT7TT

解得一二+knWxW——，keZ,

1212

IT强加]

所以f(2x、-)的单调递增区间为15H依z,

TT7TT

单调递减区间为［~^"+An,J2+加］,kwZ.

(2)证明：要证/(x)<0,即证siinVaer-1,

又,则aex

故只需证sia¥<ev

令g(x)=6~|-X,x20,则gr(x)=尸・1,

在(0,1)上，g'(x)<0,g(x)单调递减，在(1,+°°)上，gf(x)>0,g(x)

单调递增，

所以g(x)2g(1)=0,所以

令〃(x)—x-sirir,则力'(x)=1-cosx^O,

所以在(0,+8)上，h(x)单调递增，

所以/z(x)2力(0)=0,所以x2sinx,

所以sinxWxWPL因为左右两边的不等号不能同时取到，

所以sinx<ex'

所以/(x)<0,得证.

21.已知抛物线C：j^=2py(p>0)的焦点为F,且尸与圆M：1+(j+4)2=1上点的距

离的最小值为4.

(1)求P；

(2)若点尸在M上，PA,PB为C的两条切线，A,8是切点，求△PA8面积的最大值.

解：⑴点F(0,当)到圆M上的点的距离的最小值为|FM|-14+4T=4,解得夕=2；

(2)由(1)知，抛物线的方程为/=4»即y^x?，贝Uy'=^-x，

22

设切点A(xi,yi),B(及，>2),则易得1.v&v-3_1.±一，

J-PA-y2X4'lpB'y2X4

从而得到p(X][2,三詈)，

设/AS：y^kx+h,联立抛物线方程，消去y并整理可得N-4履-4〃=0,

△=16公+166>0,即公+匕>0,且加+及=4上x\X2=-4b,

.••P⑵，-b),

IAB|=V1