2021年高考数学（艺术生）冲刺《函数》（含答案）

专题一、函数测试题

命题报告：

1.高频考点：函数的性质（奇偶性单调性对称性周期性等），指数函数、对数函数、幕函数的图像和性质,

函数的零点与方程根。

2.考情分析：高考主要以选择题填空题形式出现，考查函数的性质以及指数函数、对数函数的性质图像

等，函数的零点问题等，题目一般属于中档题。

3.重点推荐：10题，数学文化题，注意灵活利用所学知识解决实际问题。

选择题（本大题共12题，每小题5分）

1（2018•长汀县校级月考）下列四个函数中，在（0,+8）为单调递增的函数是（）

A.y---x+3B.y=(x+1)2C.y=-|x-11D.y=—

x

【答案】B

【解析】：对于A,函数y=-x+3,在定义域R上是单调减函数，不满足题意;

对于B,函数广（x+1）在（-1,+8）上是单调递增的函数，满足题意

对于C,函数y=-|x-1|,在（1,+8）上是单调减函数，不满足题意:

对于D,函数y=工，在（0,—8）上是单调减函数，不满足题意.故选：B.

2

2.函数f(x)=T=_+log3(8-2x)的定义域为()

Vx-2

A.RB.(2,4]

C.(-8,-2)U(2,4)D.(2,4)

【答案】：D

(-9>0

【解析】要使f(x)有意义，则|x；解得2Vx<4；(x)的定义域为(2,4).故选：D.

8-2x>0

3

f(x)=lnx——

3.(2018•宁波期末)函数x-1的零点所在的大致区间是()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

【答案】：C

f（x）=lnx

【解析】函数XT是（1,+8）上的连续增函数,

f(2)=ln2-3<0；f(3)=ln3-A=ln-?2=-<0,f(4)=ln4-l>0；

2V7

f(3)f(4)<0,

f(x)=lnx__—

所以函数x-l的.零点所在的大致区间为：(3,4).

故选：C.«

x-X

4-

4.(2,018•赤峰期末)已知f(x)=则下列正确的是()

A.奇函数,在(0,+8)上为增函数

B.偶函数,在(0,+8)上为增函数

C.奇函数,在(0,+8)上为减函数

D.偶函数,在(0,+8)上为减函数

【答案】：B

-xx

x-XeHI-ellelxle~ll

"V44

【解析】根据题意，f(x)，则f(-x)==f(x),则函数f

(x)为偶函数；当x>0时，f(x)"Jr在(0,+8)上为增函数；故选：B.

4

5.己知f(上)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x+l,则f(1)+g(1)

=()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】：B

【解析】由f(x)-g(x)=x3+x+L将所有X替换成-X,得

f(-x)-g(-x)="x1-x+L根据f(x)=f(-x),g(-x)=-g(x),

得f(x)+g(x)=-x3-x2+l,再令x=l,计算得,f(1)+g(1)=-1.故选：B.

6.(2018春•吉安期末)定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)f(x)=-1,当x£(0,1)时，f(x)

=3X,则f(logsl62)=()

A.3B.AC.2D.1.

232

【答案】:C

【解析】Vf(x+2)f(x)=-1,(x+4)=__1----\_=f(x),可得函数f(x)是最小正周

f(x+2)_1

f(x)

期为4的周期函数.则f(log3162)=f(4+logs2)=f(log32),♦.•当Xd(0,1)时，f(x)=3',log32G

(0,1),Af(log32)=2,故选：C.

7.定义在R上的偶函数f(x),满足f(2)=0,若xd(0,+8)时，F(x)=xf(x)单调递增，则不等式

F(x)>0的解集是()

A.(-2,0)U(0,2)B.(-2,0)U(2,+°O)

C.(8,-2)U(0,2)D.(…，-2)U(2,+«>)

【答案】：B

【解析】Vxe(0,+8)时，F(x)=xf(x)单调递增，又••・函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(2)

=0,.•.函数y=F(x)=xf(x)是奇函数，且在(-8,o)上也是增函数，

且f(2)=f(-2)=0,故不等式F(x)=xf(x)>0的解集为{x|-2<xV0,或x>2},即为(-2,0)

U(2,+8),故选：B.

(1)若g(mx2+2x+m)的定义域为R,求实数m的取值范围；

(2)当xG[-l,1]时，求函数y=[f(x)了-2af(x)+3的最小值h(a)；

y=log[f(x2)

万

(3)是否存在非负实数m、n,使得函数的定义域为[m,n],值域为[2m,2n],若存在，求

出m、n的值；若不存在，则说明理由.

y=g(mx2+2x+m)=log/(mx2+2x+m)

【思路分析】(1)若的定义域为R,则真数大于0恒成立，结合二

次函数的图象和性质，分类讨论满足条件的实数m的取值范围，综合讨论结果，可得答案；

te虎，2]

(2)令t=d)x,则函数y=[f(x)]2-2af(x)+3可化为：y=t2-2at+3,乙，结合二次函数

的图象和性质，分类讨论各种情况下h(a)的表达式，综合讨论结果，可得答案；

f2

(3)假设存在，由题意，知|111=2m解得答案.

2

Ln=2n

g(x)=logj_xy=g(inx2+2x+in)=1ogj(inx2+2X+ID)

万7

【解析】：(1)，令u=mx"+2x+m,贝ijy=lou，

万

当HFO时，u=2x,y=log12x的定义域为(。，+8),不足题意；当mWO时，若y=log〔u的定义域为R,

万~2

m>0

m(l△=4-41rl2<0鬲〃用

则',解得m>l,

综上所述，m>l…(4分)

y<f(x)]2_2af(x)+3=e)&-2ae)x+3[2-2a(^-)x+31

(2)=22,xw[-1,1],令t=(L)x,

贝产/，2〕，"一2at+3,转亭2］

..•函数y=t2-2at+3的图象是开口朝上,且以t=a为对称轴的抛物线,

h(a)=ymin学-a

故当

h6ymm=3-

,t=a时，

当a>2时，t=2时，h(a):y-in=7-4a.

综上所述,(10分)

2xZ2

y=lof(x)=log1(y)=x

(3)22,假设存在，由题意，知J加=2m

2

un=2n

y=logjf(x2)

解得［蚌°,.•.存在m=0,n=2,使得函数万的定义域为［0,2］,值域为［0,4］…(12分)

ln=2

22.定义在D上的函数f(x),如果满足：对任意xWD,存在常数M20,都有|f(x)I成立，则称f

f(x)=l+a(y)x+(y)x

(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的一个上界.已知函数

g(x)=l°g/^

2

(1)若函数g(x)为奇函数，求实数a的值；

(2)在(1)的条件下，求函数g(x)在区间［学，3］上的所有上界构成的集合；

(3)若函数f(x)在［0,+8)上是以5为上界的有界函数，求实数a的取值范围.

【思路分析】(1)根据函数奇偶性的定义求出a的值即可；

(2)先求出函数的单调区间，求出函数的值域，从而求出函数g(x)在区间号，3］上的所有上界构成

的集合；

xxXX

_6,2-(—)<a<4-2-(—)

(3)问题转化为22在［0,+8)上恒成立，通过换元法求解即可.

【解析】：(1)因为函数g(x)为奇函数，

.1+ax.l-ax

所以g(-x)=-g(x),即2

1+axx-1

即-x-ll~ax,得a=±1,而当a=1时不合题意，故a=-l.3分

(2)由(1)得：g(x)=log]旦%

Xx-1

2

而g(x)=］°g谓=］咚(1*)，易知g⑴在区间3,3〉上单调递增,

22

所以函数g(x)=logL詈在区间［申，3］上单调递增,

~2

所以函数86)=1跣詈在区间,，3］上的值域为［-3,-1］,所以|g(x)0,

故函数g(X)在区间［?,3］上的所有上界构成集合为［3,+8).7分

(3)由题意知，|f(x)|W5在[0,+8)上恒成立，-5Wf(x)W5,424

,-6-2x-(y)x<a<4'2x-(y)x、――

・・22在[o,+8)上怛成h.

xxxx

...[-6・2-(y)]max<a<[4-2-(y)]Bil,

h(t)=-6t^-

设2=t,,P(t)二4t二，由x£[0,+8),得t21.

易知P(t)在［1,+8)上递增,

(t2-t«)(6t,t2-l)

h(ti)-f(t2)-—~!........———>0

2

设1WtiVtz>

所以h(t)在［1,+8)上递减，h(t)在［1,+8)上的最大值为h(1)=-7,p(t)在［1,+8)上的

最小值为p(1)=3,

所以实数a的取值范围为［-7,3］.12分

专题二、《集合与常用逻辑测试题》

命题报告：

3.高频考点：集合的运算以及集合的关系，集合新定义问题以及集合与其他知识的交汇，逻辑用语重点

考查四种命题的关系，充要条件的判断以及全称命题存在命题等知识。

4.考情分析：高考主要以选择题填空题形式出现，考查集合的运算以及充要条件和其它知识的交汇，题

目一般属于容易题。

3.重点推荐：9题，创新题，注意灵活利用所给新定义进行求解。

选择题(共12小题，每一题5分)

1.集合A={1,2,3},B={(x,y)IxdA,y£A,x+yGA},则集合B的真子集的个数为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】：B={(1,1),(1,2),(2,1)}；

.••B的真子集个数为23-1=7：.故选：C.

2-

{y|y=X2X-2,(2,4)},N={x|ys7x-i)

2已知集合轨=0""XL,则MON=()

A.{x|-3WxWl}B.{x|lWx<6}C.{x|-3<xV6}D.{x|-2WxW6}

【答案】：B

【解析】y=xJ2x-2的对称轴为x=l；"x—x-Z在xG(2,4)上单调递增；-2VyV6；，M={y|

-2<y<6},N={x|x2l}；；.MnN={x|lWxV6}.故选：B.

3已知集合人=&匕*-6=0},B={xCN|lWlogzX<2},且AUB=B,则实数a的所有值构成的集合是()

A.{2}B.{3}C.{2,3}D.{0,2,3)

【答案】：D

【解析】B={xCN|2Wx<4}={2,3}；：AUB=B；；.AUB；.•.①若A=0,贝(Ia=0；

A={x|x=-}

②若A#。，则a；或0=3；，a=3,或2；.•.实数a所有值构成的集合为{0,2,3}.故

aa

选：D.

4(重庆期中)已知命题p：VxGR,x2-x+l>0,命题q：若a<b,则上>工，下列命题为真命题的是()

7b

A.pAqB.(-'p)AqC.(-'p)VqD.「p)VLq)

【答案】：D

【解析】命题p：VxCR,-x+1>0,-x+l=（K—L）+—>0恒成立，.'p是真命题：命题q：若a

12J4

<b,则工>工，当a<0Vb时，不满足工>工，q是假命题；；.「q是真命题，-q是假命题，则（「p）

abab

V（「q）是真命题，D正确.故选：D.

5.（朝阳区期末）在AABC中，"NA=NB”是"acosA=bcosB”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】：A

t解析】在三角形中，：.a=b且cosA=cosB,则acosA=bcosB成立.

若acosA=bcosB,则根据正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB,即Lsin2A=Lsin2B,

22

TT

.".sin2A=sin2B,即2A=2B或2A=兀-2B,解得A=B或A+B=—,

2

是"acosA=bcosB”的充分不必要条件，故选：A.

6.（抚州期末）下列有关命题的说法错误的有（）个

①若pAq为假命题，则p、q均为假命题

②命题“若x2-3x+2=0则x=l”的逆否命题为:“若xWl,则x2-3x+2W0

③对于命题P：3xER,使得x^+x+lVO则：-'p：yxCR,均有x'x+l》。

A.0B.1C.2D.3

【答案】：B

【解析】①若pAq为假命题，则p、q均为假命题，不正确，因为两个命题中，由一个是假命题，则pAq

为假命题，所以说法错误.

②命题“若d-3x+2=0则x=l”的逆否命题为：“若x#l,则X2-3X+2K0,满足逆否命题的定义，正确；

③对于命题P：3x£R,使得x°+x+l<0贝ij：—'p：vxGR,均有x：'+x+120,符号命题的否定形式，正确；

所以说法错误的是1个.

故选：B.

7（金安区校级模拟）若八=以62|2忘227<8},B=UGR|log2x<l},则AA（］扪中的元素有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】：B

【解析】A={XGZ|2W227<8}={XCZ|1W2-XV3}={XCZ|-1<XW1}={0,1},

B={xeR|log2x<l}={xSR0<x<2},则［RB={XCR|XWO或x22},

.,.An（1B）={0},其中元素有1个.故选：B.

{y|y=—>（0<x<l）}

8（大观区校级模拟）已知全集1）=乩集合X,N={X|X2-2|X|W0},则如图中阴影

部分所表示的集合为（）

A.[-2,1)B.[-2,1]C.[-2,0)U(1,2]D.[-2,0]U[1,2]

【答案】：B

M={y|y=—>(0<x<l)}

【解析】：全集U=R,集合x={x|x>l}

....fx)0fx<0

N={x|x2-2|x|W0}={(x[或40}=收1-2WxW2},

2

.x-2x40LX+2X=C0

.•.CM={x|xWl},.•.图中阴影部分所表示的集合为ND(GM)={x|-2WxWl}=[-2,1].

故选：B.

9.设集合S产{1,2,3,…，n},X£S„,把X的所有元素的乘积称为X的容量（若X中只有一个元素，则该

元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）.若X的容量是奇（偶）数，则称X为S”的奇（偶）子集,

若n=3,则S”的所有偶子集的容量之和为（）

A.6B.8C.12D.16

【答案】：D

【解析】由题意可知：当n=3时，Ss={l>2,3},

所以所有的偶子集为：。、⑵、{1,2}、{2,3}、{1,2,3}.

所以S3的所有偶子集的容量之和为0+2+2+6+6=16.

故选：D.

10.（商丘三模）下列有四种说法：

①命题：a3xGR,X?-3x+l>0”的否定是“VxGR,x2-3x+l<0w；

②已知p,q为两个命题，若（［p）A（Fq）为假命题，则pVq为真命题；

③命题“若xy=0,则x=0且y=0”的逆否命题为真命题；

④数列{aj为等差数列,则“m.+n=p+q,m,n,p,q为正整数”是“a.+a产%+aJ的充要条件.

其中正确的个数为()

A.3个B.2个C.1个D.0个

【答案】：C

【解析】①命题："mxER,X：-3x+l>0"的否定是"VxER,X：-3x+lW0”故①错误，；

②已知P,q为两个命题，若OA为假命题，则-P和-q至少有一个为假命题，则P,q至少

有一个为真命题，则pVq为真命题正确，故②正确；

③命题“若xy=O,则x=0或尸0”，则若xy=0,则x=0且y=0为假命题，则命题的逆否命题为假命题，故

③错误；

④数列1,1,bb1……1,满足数列{&}为等差数列，则机+生=及+d=2,但m+n=p+q不成立，则“mF=p+q,

m,n,p,q为正整数”不是“包+a=与+氏”的充要条件.故④错误，

故正确的是②，

故选：C.

5

11.K(嘉兴模拟)己知函数f(x)=x、ax+b,集合A={x|f(x)W0},集合B"If(f(x))<4},若A=B

N。，则实数a的取值范围是()

A.EVS，5]B.[-1,5]C.[旄，3]D.[-1,3]

【思路分析】由题意可得b=5,集合B可化为(x?+ax+立)(d+ax+a+5)W0,运用判别式法，解不等式即

444

可得到所求范围.

【答案】：A

【解析】设集合A={xGR|f(x)W0}={x|x2+ax+bWQ},

由f(f(x))W$，即(x2+ax+b)J+a(x'+ax+b)+b--^0,②

44

A=B#0,可得b=a,且②为(x2+ax+—)(x2+ax+a+—)WO,

444

[a)而或-脏>

可得才-4*区/0且{-4(a+5)WO,即为l-l《a45,解得&WaW5,故选：A.

44

12.(漳州二模)“aWO”是“关于x的方程ax+axcosx-sinx=0与方程sinx=O在[-3n,3n]上根的个数

相等”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件1).既不充分也不必要条件

[答案]:A

【解析】‘方程sinx=O在［-3n,3n］上根有7个，则方程ax+axcosx-sinx=O也应该有7个根，由方程

ax+axcosx-sinx=0得ax(1+cosx)-sinx=0,即ax,2cos%-2sin^-cosi=2cos^-(axcos三-sin-5.)=0,

222222

则1cos三=0或axcos工•-sinW=0,则x除了-3”，-n,it,3Jt还有三个根，由axcosm-sin三=0,得

22222

axcos三=sin三，即ax=tan三,由图象知aWO时满足条件，且a>0时,有部分a是满足条件的，故"aWO”

222

是“关于x的方程ax+axcosx-sinx=0与方程sinx=O在［-3兀，3n］上根的个数相等”的充分不必要条件，

故选：A.

(2)设命题p：“函数y=2"">-t在(-8,2)上有零点"，命题q：”函数g(x)=x?+t|x-2|在(0,

+8)上单调递增”；若命题“pVq”为真命题，求实数t的取值范围.

【思路分析】(1)方程f(x)=2x有两等根，通过△=(),解得b；求出函数图象的对称轴.求解a,然后求

解函数的解析式.

(2)求出两个命题是真命题时，t的范围，利用p\/q真，转化求解即可.

【解析】：(1)•••方程f(x)=2x有两等根，即ax?+(b-2)x=0有两等根,

/.△=(b-2)2=0,解得b=2；

Vf(x-1)=f(3-x),得x-l+3-x=1,

2

.•.x=l是函数图象的对称轴.

而此函数图象的对称轴是直线*=上，，上=1，，a=-l,

2a2a

故f(x)=-xJ+2x...................................(6分)

22

小尸2=+左-1,x€(g,2),2-x+2x€(0,2]

\Zi)f

p真则0VtW2；

x2-tx+2t,0<x<2

g(X)=，2、

xz+tx-2t,x>2.

<-i<2

若q真，则[4-2t+2t<4+2t-2t,

-4WtW0；

若pVq真，则-4WtW2...........................