高中数学人教A版 习题课时提升作业 十三 4

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课时提升作业十三

用数学归纳法证明不等式举例

回25分钟练/

分值：60分

一、选择题（每小题6分，共18分）

1.用数学归纳法证明不等式告+吉+...+,需（n»2,n£N+）的过程中油n=k

n+1n+22n14

递推到n=k+l时不等式左边（）

A增加了一项嬴

11

力^*2k+1和2k+2

C.增加了B中两项但减少了一项3T

k+l

D.以上各种情况均不对

【解析】选C.因为n=k时，左边二告+吉+…+:,n=k+l时，左边二告+告+…

K+JLKTZ.NKK+NK~r0

+工+工+工

2k2k+l2k+2'

力口^*2k+1和贵，少了一项击•

2.（2016•淮南高二检测）用数学归纳法证明"2n>n2+l对于n>n0的正整数n都

成立"时，第一步证明中的起始值no应取()

A.2B.3C.5D.6

【解析】选C.当n"时2<己+1;

当n>5时,2"«+1.于是no应取5.

【补偿训练】用数学归纳法证明2n2n2(n25,n£N+)成立时第二步归纳假设的正

确写法是()

A.假设n=k时命题成立

B.假设n=k(k£N+)时命题成立

C.假设n=k(k")时命题成立

D.假设n=k(k>5)时命题成立

【解析】选C.由题意知n25,n£N+,

所以应假设n=k(k")时命题成立.

3.(2016•长春高二检测)证明1+99...+六>?3£^),假设当n=k时成立，当

ZJZ—_LZ

n=k+：L时，左端增加的项数为()

A.1项B.k-1项

C.k项D.2k项

【解析】选D.当n=k时,不等式左端为1+99…当n=k+l时，不等式左

232K-1

端为1+：+3+—.+六+*+…言彳左端增力口了/+…+弄4，共2卜项・

J°Z—1ZZ—1ZZ—1

二、填空题(每小题6分，共12分)

.

证为

的验

一步

,第

+)"时

(n£N

+n+2

1对2

明2+

法证

归纳

数学

4.用

立.

>4成

,即4

+1+2

之了

Z+i

=l时

】当n

【解析

2

2+i+

i+G1

答案:2

一

)+c对

(na-b

i=3n

rr3n-

+...+

4x33

x32+

x3+3

知l+2

测)已

二检

昌高

016•南

5.(2

.

,c=

,b=

，贝！Ja=

成立

N*都

切n£

l,

b+c=

,3a-3

=l.时

】当n

【解析

,

+c=7

8a-9b

2时,1

当n=

34,

b+c=

1a-27

3时,8

当n=

1

1

答案1

-

-

-

4

2

4

)

30分

0分，共

小题1

题(每

解答

三、

*).

n£N

之^^(

..+今

+*+.

1+也

)证明:

金则

二木

州高

016•广

6.(2

立.

,显然成

为1”

等式

l时，不

当n=

】Q)

【证明

/

+…+

今+最

，即1+

成立

等式

k时不

设当n=

(2)隹百

k+3

13

3k

1K

、3k

1

1

11

i1

11

业

rl

.界

而取

，而而

方承

之而

+方取

…+记

+铲+

，1+/

k+l时

当n=

那么

l)2

)(k+

2k+l

+3)(

-(3k

k+3)

+l)(2

+(2k

k+3)

)2(2

(k+l

_3k

2

+3)

l)(2k

l)(k+

(2k+

—

__

____

___2

=___

>0

)'

k+3

l)2(2

l)(k+

(2k+

3k+3

]

日03k

3'

>2k+

+l)2

l+(k

即2k+

X1-1111、3(k+l)

所CO以4驻+铲+…+记+而四及西H

即当n=k+l时不等式也成立.

综合Q)(2)得,不等式对一切正整数n都成立.

ill

7.(2016•济南局)二检测)求证:一^+―^+二^+...+玄＞工(nN2,n£N+).

n+ln+zn+33n6

【解题指南】本题由n=k到n=k+l时的推证过程中,n=k时，首项是吉，尾项是

Ki-L

B分母是从k+1开始的连续正整数,因而当n=k+l时，首项应为吉，尾项是熹,

与n=k时比较福后面增加心,共三项，而不只是增加后丁项,且还减

jKOKiJ.OKi^JKIJ十＞!■)

少了一项上

【证明】⑴当n=2时，左边=泊+"磊磊不等式成立

(2)假设n=k(k"k£N+)时,不等式成立,

口n1115

即61+市+”.+支)

则当n=k+l时,^^+^7^+…+今+++++*=言+击+

所以当n=k+l时，不等式也成立.

由⑴(2),知原不等式对一切n22且n£N+都成立.

8.数列｛an｝满足Sn=2na（n£N+）.

⑴计算a"2,a3,a4,并由此猜想通项公式an.

（2）用数学归纳法证明Q）中的猜想.

【解析】⑴讥=112=|a3=翁4寸,

由此猜想an=M（n£N+）.

⑵当n=l时,ai=l，结论成立.