高中数学选择性必修第一册课后练习27第一章空间向量与立体几何检测卷2份

章末综合测评（一）空间向量与立体几何1

（满分：150分时间：120分钟）

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的）

1.空间直角坐标系中，点4一3,4,0）与点3（2,—1,6）的距离是（）

A.2^43B.25C.9D.病

D[由条件知Q=（5,-5,6）,蕊|=笠25+25+36=，法.故选D.]

2.在空间四边形ABCO中，若向量蕊=（—3,5,2）,而=（-7,~1,—4）,点E,

产分别为线段8C,A。的中点，则谈的坐标为()

A.(2,3,3)B.(-2,-3,—3)

C.(5,-2,1)D.(—5,2,-1)

B［取AC中点M,连接ME,MF(图略)，

则|,1),MF=1cD=^—1,一；,-2

所以d=而力一法=（-2,-3,-3）,故选B.]

—►3-*■1-*■1—►

B,。不共线，对空间内任意一点。，若则产，

3.A,OP=]OA+OdO3+OdOC,

A,B,。四点（）

A.不共面

B.共面

C.不一定共面

D.无法判断是否共面

311

B[由于彳+石+石=1,A、B、。四点共面.故选B.]

4oo

4.已知平面a的一个法向量为〃=（1,-1,0）,则y轴与平面a所成的角的大小

为（）

匹三

C.3D.2

ns

B[y轴的一个方向向量s=（0』,0）,cos</i,s〉=丽=-2'即y轴与平面

a所成角的正弦值是半，故其所成的角的大小是全故选B.]

5.长方体ABC。-481Goi中AB=AAi=2,AD=1,E为CCi的中点，则异面直

线BCi与AE所成角的余弦值为（）

G

2VB3A

10D.i0

B[建立坐标系如图所示.

则A(l,0,0),£(0,2,1),B(1,2,0),G(0,2,2),BCi=(-1,0,2),AE=(-1,2,1).

/扇以懿।典

cos\BCi,AE)————]o.

m-\BC\\

所以异面直线BG与AE所成角的余弦值为书.故选B.]

6.空间直角坐标系中A(l,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),。(4,1,3),则直线AB与CD

的位置关系是()

A.平行

B.垂直

C.相交但不垂直

D.无法确定

A•空间直角坐标系中，

A(l,2,3),3(—1,0,5),C(3,0,4),0(4,1,3),

：.AB=(-2,-2,2),CD=(1,1,-1),

：.AB=~2CD,，直线AB与CD平行.故选A.]

7.如图是一平行六面体ABCO-AIBGOI,E为BC延长线一点，BC=2CE,则送

=()

A.AB+AD+AAi

—*■1—*■—*-

B.AB+^AD-AA]

C.AB+AD-AA\

—►1—►—►

D.AB+-jAD-AAi

B[取8C的中点尸，连接4F（图略），则AQi2产石，所以四边形4D1EF是平

行四边形，所以4万2DiE,所以病=£%.又危=启+赢+游=一看|+还

1—►—►—►1―►—A

+刃。，所以OiE=A5+1AO-A4i,故选B.]

8.如图所示，ABCO-AiBGDi是棱长为6的正方体，E,尸分别是棱AB,BC上

的动点，且AE=BF.当4,E,F,G四点共面时，平面4OE与平面CQE所成

夹角的余弦值为（）

C.|D.半

B[以。为原点，D4、DC、DD\所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角

坐标系，易知当风6,3,0）、尸（3,6,0）时，4、E、F、G共面，设平面AOE的法向

量为m=（a,b,c）,依题意得

DEtu=6a+3b=0

—►

DA\n\=6a+6c=0

可取用=（-1,2,1）,同理可得平面GO尸的一个法向量为m=（2,-1,1）,

故平面4OE与平面CiDF的夹角的余弦值为瑞耨=；・故选B]

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

9.已知正方体ABCO-4BGD1的中心为0,则下列结论中正确的有（）

A.次+亦与济i+历1是一对相反向量

B.治一女与后|一方1是一对相反向量

c.以+由+女+而与苏i+而i+元i+（55i是一对相反向量

D.后|一后与女一62是一对相反向量

ACD[V0为正方体的中心，.•.&=一元|,OD=~OB\,故+而=一（（而I

+0C1）,同理可得/+元=一（后1+而1）,故d+治+&+砺=一（以1+

6BI+6CI4-651）,

.•.AC正确；•；治一女=d,61一而|=易1,，为一次与后1一而।是两个

相等的向量，...B不正确；'：OA\~OA=AA\,OC-OC\=C^C=-AA\,：.OA\

-OA=-（OC-OC\）,，D正确.]

10.在以下命题中，不正确的命题有（）

A.⑷一向=|a+b|是4,。共线的充要条件

B.若4〃万，则存在唯一的实数3使

C.对空间任意一点。和不共线的三点A,B,C,若d=2后一2而一次，则

P,A,B,。四点共面

D.若｛a,b,c｝为空间的一个基底，则｛a+方，b+c,c+a｝构成空间的另一个基

底

ABC[A.|a|一步1=1@+臼=a与方共线,但Q与b共线时同一步|=|。+例不一定成

立，故不正确；B力需为非零向量，故不正确；C.因为2—2—1W1,由共面向量

定理知，不正确；D.由基底的定义知正确.]

11.在正方体ABCD-AIBIGDI中，若E为4G的中点，则与直线CE不垂直的

有（）

A.ACB.BD

C.A\DD.A\A

ACD[建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1.

则A(1,O,O),B(1,1,O),C(O,1,O),£>(0,0,0),Ai(l,0,D,Ci(0,l,l),瑞3，)

.,.CE=Q,

元=(-1,1,0),BD=(-l,-1,0),

40=(—1,0,—1),AiA=(0,0,—1).

,/CEAC=W+0=-1WO,

—►11

CEBD=-1+1+0=0,

13

CEA\D=_1+0—1=一尹0.

亦/=0+0-1=-1WO.

...与CE不垂直的有AC、Ai。、4A,故选ACD.]

12.如图，已知E是棱长为2的正方体A8CD-A山CiDi的棱的中点，尸是棱

的中点，设点。到面的距离为d,直线。E与面AEDi所成的角为仇

面AEDi与面AEO的夹角为a,则()

A.。/，面AEOi

4

B.d=w

C.sin。=嗜

2

D.cosa=§

BCD[以A为坐标原点，AB,AD,A41的方向为x,y,z轴的正方向，建立空

间直角坐标系(图略)，则4(0,0。),£(2,1,0),£>(0,2,0),D\(0,2,2),A(0,0,2),尸(2,0,1),

所以AE=(2,l,0),A£h=(0,2,2),DE=(2,-1,0),DF=Q,一2,1).

设平面AED\的法向量为m=(x,y,z),

in-AE=Q2x+y=0

则由_，得<令x=1,则,=-2,z=2,故JTI=(1,一

[2y+2z=0,,

m-ADi=0

2,2).

'：DF=(2,-2,1),不存在入使机=入防，

即亦与必不共线，与面AEDi不垂直

.DD\m_____4______4

故A不正确；又；001=(0,0,2),-\>n\―.1+4+4-号故B正确;

叉DE=(2,-1,0).

.->.|2+2+0|4小

••sin°=lcos<DE,m>1=^4+4^+1=^5-

—►

'in\

...C正确；又4—4►|=(0,0,2)为平面AE。的一个法向量，.*.cosa=1J/-4/-41---=7^47=

|A4111ml

2

y故D正确，故应选B、C、D.]

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分,把答案填在题中的横线上)

13.已知向量ei,C2,e3是三个不共面的非零向量，且Q=2ei—02+03,b=-e\

+4e2—2?3,C=llei+5e2+入。3,若向量a,b,c共面，则入=.

1[因为Q,b,c共面，所以存在实数〃z,n,使得。=机。+〃瓦则llei+5e2+

履3=(2m—ri)e\+(一机+4〃)C2+(m-2〃)。3,

2m-n=\\

—m+4n=5,

{m-2n=k

m=7

n=3.]

{2=1

14.如图，在长方体A5CD-A81GD1中,AB=BC=2,M=卷E,4分别是面

AiBGOi、面的中心，则E、/两点间的距离为.

斗［以。为坐标原点，分别以a，DC,由1所在方向为x、y、z轴的正半轴,

1,2,乎)

建立空间直角坐标系(图略)，由条件知6),

：.EF=\O,1,一句，

E、/两点间的距离为|函=［()+1+；=坐］

15.已知正四棱台ABCD-AiBGQi中，上底面ABGOi边长为1,下底面ABCD

边长为2,侧棱与底面所成的角为60。，则异面直线ADi与BC所成角的余弦值

为.

;［设上、下底面中心分别为。1、O,则。Oi_L平面ABC。，以。为原点，直线

BD、AC,0。分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

"：AB=2,AiBi=l,：.AC=BD=2yf2,A\C\=B\D\=yfl,

•.•平面平面ABC。，：.ZBiBO为侧棱与底面所成的角，

：.ZB\BO=6Q°,

设棱台高为h,

hV6

贝,:・h=

Utan60°=2，

.,.A(0,~y[2,0),Oi(一乎,0,坐),Bi惇,0,乎),C(0,隹0),

.,.启=(一坐,小,坐靛=(一坐,P，-唱,

./启AD\B\C1

{ADiBiC),

..cos-|A£)I|.|B1C|-4

故异面直线ADI与8c所成角的余弦值为点]

16.已知向量0=(1,—3,2),>=(—2,1,1),点A(—3,—1,4),5(-2,-2,2).则

\2a+b\=；在直线AB上，存在一点E,使得亦则点E的坐标为

.(第一空2分，第二空3分)

厂(6142、,,

56[一午一行，5)[2。+。=(2,—6,4)+(—2,1,1)=(0,-5,5),

故|2@+b\=^02+(-5)2+52=572.

又OE=Q4+AE=OA+%8

=(—3,—1,4)+/(1,—1,—2)=(—3+/,—1—r,4—2/),

—►—►9

由仇则OE6=0,所以一2(—3+。+(—1一。+(4—2。=0,解得，=予因

此，此时点E的坐标为从一,,—y,|).］

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤)

17.(本小题满分10分)已知。=(九,4,1),》=(一2,»—1),c=(3,-2,z),a//b,

b_Lc,求：

(l)mb,c；

(2)a+c与b+c夹角的余弦值.

Y41

［解］(1)因为。〃仇所以二二p

解得x=2,y=—4,

则a=(2,4,l),b=(-2,-4,-1).

又blc,

所以bc=0,

即一6+8—z=0,

解得z=2,于是c=(3,-2,2).

(2)由(1)得a+c=(5,2,3),b+c=(\,-6,1),

设a+c与b+c夹角为。，

c,5-12+32

因此c°sO=H辰=一用

18.(本小题满分12分)如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCO-AIBGOI,

底面ABC。是正方形，CCi=3,CD=2,且NCCD=60。.

⑴设方)=a,CB=b,CCi=c,试用a,b,c表示辰7；

(2)已知。为四棱柱ABCO-AiBGOi的中心，求C。的长.

［解］(1)由CB=b,CC\=c,

得C4i=a+D+c,

所以AiC=—a—b—c.

(2)0为四棱柱ABCD-AiBCiDi的中心，即O为线段AC的中点.

由已知条件得回=网=2,|c|=3,ab=O,〈a,c〉=60°,{b,c〉=60°.

由(1)得C4i=a+b+c,

则|己1|2=/12=5+/，+。)2=屋+)2+02+242+2/>.'+2。弋=22+22+32+0+

2X2X3Xcos60°+2X2X3Xcos60°=29.

所以4c的长为回，

所以co的长为^

19.(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCD-AiBCiDi中，已知A8=2,A4i

=5,E、尸分别为Oi。、BiB上的点，h.DE=B\F=\.

⑴求证：BE±¥ffiACF；

(2)求点E到平面ACF的距离.

［解］(1)证明：以。为原点，DA,DC、ODi所在直线分别为x、y、z轴建立如

图所示空间直角坐标系,则0(0,0。)、4(2,0,0),

8(2,2,0)、。(0,2,0)、。(0,0,5)、£(0,0,1),F(2,2,4).

.•.AC=(-2,2,0)、AF=(0,2,4)BE=(-2,一2,1)、AE=(-2,0,l).

VBEAC=0,BEAF=0,

：.BE±AC,BELAF,

且ACnAP=A.

.•.BE,平面ACF.

(2)由(1)知，藁为平面ACb的一个法向量,

-A-►

...点E到平面ACF的距离4=>6阳话.

一3

m

故点E到平面Ab的距离为|.

20.(本小题满分12分)如图所示，已知点P在正方体ABCD-A5CD的对角线8。

上，NPD4=60°.

⑴求OP与CC所成角的大小；

(2)求DP与平面AAZTD所成角的大小.

［解］(1)如图所示，以。为原点，DA,DC,分别为x轴，y轴，z轴正方向

建立空间直角坐标系，设D4=l.

则a=(1,0,0),CCr=(0,0,1).

连接8。，B'D'.

在平面BB'D'D中，延长面P交BD于H.设而=(m,

由已知(防，DA)=60°,

由以•防=|辰1||防|cos<DH,DA),可得2m=72"+1.

解得加=乎，

所以防=i当坐，”

因为cos<DH,CC')

乎X0+乎X0+1X1rj

V2X1—2

所以〈DH,CC'}=45°,即OP与CC所成的角为45°.

(2)平面AA'D'D的一个法向量是元=(0,1,0)，

因为cos{DH,DC)

乎义0+乎X1+1xo]

1X^2—5'

所以(DH,DC)=60°,

可得0P与平面AA'D'D所成的角为30°.

21.(本小题满分12分)如图，边长为2的等边△PCO所在的平面垂直于矩形

ABCO所在的平面，8C=2啦，M为3c的中点.

(1)证明：AMLPM；

⑵求平面PAM与平面0AM的夹角的大小；

(3)求点D到平面AMP的距离.

［解］(1)证明：以。为原点，分别以直线DA,OC为x轴、)，轴，建立如图所示

的空间直角坐标系，依题意,可得0(0,0,0),尸(0,1,#),C(0,2,0),A(2啦,0,0),

M(y[2,2,0).

PM=(y[2,1,一小)，AM=(~y/2,2,0),

：.PM-AM=(y/2,1,一小).(一&,2,0)=0,

即PMLAM,：.AM1PM.

(2)设〃=(x,y,z)为平面的法向量,

In-PM=0,

叫-

in-AM=Q,

小x+y—小z=0,

即《

.一6x+2y=0,

取y=l,得〃=(也，1,小).

取p=(0,0』)，显然。为平面ABC。的一个法向量,

npV3V2

cos〈〃，p)=

\n\\p\~y/6~2,

结合图形可知，平面胆M与平面D4M的夹角为45。.

(3)设点。到平面AMP的距离为d,由⑵可知〃=(、R,1,小)与平面附M垂直,

则

扇闾」(2/，0,0).(/，1,小)［_2乖

~园—A/(V2)2+12+(V3)2—3，

即点。到平面AMP的距离为半.

22.(本小题满分12分)如图，四棱锥S-A8CO的底面是正方形，每条侧棱的长都

是底面边长的6倍，P为侧棱SO上的点.

(1)求证：ACLSD-,

(2)若SO_L平面PAC,求平面以C与平面ACD的夹角大小；

(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E,使得8E〃平面若存在，求

SE：EC的值；若不存在，试说明理由.

［解］(1)证明：连接80,设AC交8。于。，由题意知SO_L平面A8CD以。为

坐标原点，OB,0C,左分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系

O-xyz如图.

设底面边长为a,

则高SO=^a.

于是《0,0,坐j,D0,0),C^O,当a,0)

OC=(0,*a,0),SO=(一乎a,0,一坐,，

\'OCSD=0,

故OCLSO,从而AC_LSD

(2)由题设知，平面出。的一个法向量示=惇凡0,$),平面。AC的一个法

向量os=(o,0,坐j,设所求角为。，则

八OSDS小

COS0=~~-=2'

|O5|.|DS|

二平面玄。与平面D4c的夹角为30°.

(3)在棱SC上存在一点E使BE〃平面B4C.由(2)知示是平面山。的一个法向量，

且OS=(乎a,0,乎a)，CS=(0,一坐a,坐

设a=芯5,

则靛=证+无=记+［乙

落，正

2a22

ffI

而BE・DS—=1,

即当SE：EC=2：1时,

BE上DS,

而BE不在平面山C内，

故BE〃平面PAC.

第一章空间向■与立体几何

考试时间120分钟，满分150分.

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的)

JT

1.若a=(2,2,0)，b=(l,3,z),〈a,b)=§,则z等于(C)

A.y［22B.—*^22

C.±722D.±^42

［解析］cos〈a,b)=cos^=jf卷

2Xl+2X3+0Xz1._r—

="存银而存#=E'・"F22.

2.在正方体ABC。-中，异面直线A。与3G所成的角为(C)

A.45°B.60°

C.90°D.135°

［解析］如图，连接8C,则A0〃田C,

4£

4

A

'.'BiClBCt,

.•.异面直线4。与BG所成的角为90。，故选C.

3.已知棱长为1的正方体488—ABIGQI的上底面ASGA的中心为。1，则A6•启

的值为(C)

A.-1B.0

C.1D.2

[解析]由于AOI=A4I+AIOI=/L4I+T(AIBI+4IOI)=A4I+；(A8+AZ)),而AC=AB+

AD,则防.病=筋|+氐赢+励J(@+Ab)=T(&+Ab)2=i.

4.已知AABC的三个顶点为4(332),B(4,-3,7),C(0,5,l),则BC边上的中线长为

(B)

A.2B.3

C.4D.5

［解析J设BC边的中点为力，矗=（1,-6,5）,启=（-3,2,-1）,

则而=3（矗+届=（一1,-2,2）,

所以1Abi1+4+4-3.

5.已知平面a内两向量a=(l,1,1),〜=(0,2,—1)且。=〃切+而+(4,-4,1).若c为平

面a的法向量，则tn,n的值分别为(A)

A.-1,2B.1,—2

C.1,2D.-1,-2

[解析]c=〃?a+〃)+(4,—4/)=(加，m,团)+(0,2〃，一〃)+(4,—4/)=(机+4,m+2n

-4,m-n+1),

[c-a=0,

由c为平面a的法向量，得1,八

[cb=0,

[3m+n+1=0,[tn=-1,

即「「八解得一

欣+5〃-9=0,[n=2.

6.已知长方体ABCD-AiBCQi中,A8=8C=4,CCi=2,则直线BG和平面

所成角的正弦值为（C）

A.坐B.坐

「遮D遮

J5510

［解析］解法一：连接4G交Bi。于。点，由已知条件得GOLBQi,且平面

，平面481G。，所以G。，平面8。。出，连接8。，则BO为8G在平面8。£＞包上的射

影，NGB。即为所求，通过计算得sin/GBO=乎，故选C.

解法二：以A为原点，AB.AD.441为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则8(4,0,0)、Bi(4,0,2)、0(040)、D,(0,4,2),G(4,4,2),...曲=(0,4,2)、防=(-4,4,0)、

函=(0,0,2),

设平面BOQiBi的法向量为〃=(x,y,z),则

n-BD=0J—4x+4y=01)'=x

“丽=0一%=0，叱=0-

取x=l,则”=(1,1,0).又病I=(0,4,2)

设所求线面角为a,则sina=|cos<n,BC\）\

_In-BCil_4_VIb

|n|.|BCi|-45

7.如图，在长方体A8C£>-4BiG£»i中,48=8。=2,44=也,£；、尸分别是面4/1。£>1、

面BCGBi的中心，则E、P两点间的距离为（C）

C.坐D.|

［解析］以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E（l,l,6）、f（2,1,乎）,

所以但用=

故选C.

8.已知正四棱柱4BCO-AIBCIOI的体积为小，底面ABC。的边长为1,则二面角A

一CA一。的余弦值为（C）

A.坐B*

C.华D.平

［解析］过。作。O_LCOi于。，连接4。，则N4。。就是二面角A-Cd-力的平面

•.•正四棱柱ABCQ-ABiCQ的体积为小，底面ABC。的边长为1,；.AA|=小.

在RtaCDQi中，CD=1,DDi=小,可得C£>i=2,。0=与.

在RtZ\A£)O中，AO^AD2+DO2=：:^-,cosNAOD=^=坐乂亲=卑.

故选C.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中,

有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分选对但不全的得2分，有选错的得0分)

9.已知空间三点A(l,0,3),8(—1,1,4),C(2,--1,3).若不〃病，且|淳尸遮，则点尸

的坐标为(AB)

A.(4,-2,2)B.(一2,2,4)

C.(—4,2,-2)D.(2,-2,4)

［解析］设亦=(3九-22,-z).

又丽=遍___________

：.yJ(3A)2+(-2A)2+(-A)2=714,解得力=±1,

：.AP=(3,-2,-1)或崩=(-3,2,1).

设点P的坐标为(x,y,z),贝(|AP=(x—1,y,z—3),

x—1=3,x—1=-3,

・・.<丁=一2,或<y=2,

、z-3=-lL-3=1,

x=4,(x=­2,

解得「=-2,或jy=2,

.z=2［z=4.

故点尸的坐标为(4,-2,2)或(一2,2,4).

10.在三棱锥A—88中，DA,DB,0c两两垂直，5.DB=DC,E为8c的中点，则

直线AE和BC(ABC)

B

A.垂直B.相交

C.共面D.异面

■>“■.'AI—►—►一A

［解析］因为E为BC的中点，所以4E=OE—OA=5(OB+£)C)-D4,因为在三棱锥A

-BCD中，DA,DB,OC两两垂直,且DB=DC,所以荏流=已(加+虎)一切.(比一

5B）=1（5C2-DB2）=O.

所以4E和BC垂直.又AE,BC显然相交，故选ABC.

11.已知直线I过点P（1,O,-1）且平行于向量。=（2,1,1）,平面a过直线/与点M（l,2,3）,

则平面a的法向量可能是（ABC）

A.(1,-4,2)、4，--2,

D.(0,-1,1)

［解析］因为PM=（0,2,4）,直线/平行于向量a,若"是平面a的一个法向量，则必须

满足丽与法向量垂直且满足。与法向量垂直，把选项代入验证，只有选项D不满足，故选

ABC.

12.如图1是一副直角三角板的示意图.现将两三角板拼成直二面角，得到四面体ABCD,

如图2所示，则下列结论中正确的是（AD）

图1图2

A.BDAC=0

B.平面BCO的法向量与平面AC。的法向量垂直

C.异面直线BC与AO所成的角为60。

D.直线QC与平面ABC所成的角为30。

［解析］以B为坐标原点，分别以彷，反•的方向为x轴，），轴的正方向建立空间直角坐

标系,如图所示.设30=2,则仇0,0,0）,D（2,0,0）,C（0,25,0）,A（0,小,啊，.•.访=

（2,0,0）,AC=（0,小，一小）,病=（0,2小，0）,病=（2,一小，一小），虎=（一2,2小,

0）.

：.BD-AC^（2,0,0y（0,yf3,一小）=0,A正确；易得平面8c。的一个法向量为m=（0,0,

小），平面ACD的一个法向量为“2=（小，1』），B错误；

BCAD1(0,2小，0>(2,一小,二^=\^号，C错误；易

|cos<BC,AD)|=

2小义回

\BC\\AD\

得平面ABC的一个法向量为防=（2,0,0）,设直线QC与平面ABC所成的角为仇则sin9=

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知正方体ABCD-481GG中，若点尸是侧面CQ的中心，且万=病+机油一

nAAi，贝!I〃?=_］_.

［解析］由于崩=4。+而=4。+/℃+彷|)=最)+3崩+3筋1,所以，"=；,n——

14.已知A(l,-2,11),8(4,2,3),C(x,y,15)三点共线，则xv=2.

［解析］由三点共线，得向量油与公共线，即诵=麻，(3,4,-8)=^(x-1,y+2,4),

x—1y+241

-2-~=g，解何x=-2>y=­4,.•xy=2.

15.在棱长为1的正方体ABC。一A/iG£>［中，3。］与平面A8CQ所成角的正弦值为

在

—3一・

［解析］正方体AG中，

：£>Qi_L底面ABCD,

：.NDBDi即为8。|与底面ABCD所成角，

易知BD尸事,

；.sinNOBDi=坐，故答案为坐.

16.已知矩形ABC。中，48=1,8。=小，将矩形ABCO沿对角线AC折起，使平面

ABC与平面ACD垂直，则B与。之间的距离为—邛

［解析］如图，过氏。分别向AC作垂线，垂足分别为〃、N.则可求得AM=g、BM

=2、CN=3、DN=2、MN=1.

由于丽=就7+加+病，

二|彷|2=(施+加+ND)2=I俞|2+|W|2+|7vb|2+2(BM-liw+MN-ND+BMND)=

停)+i2+(匈2+2(0+O+O)=|,二曲尸卓.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知a=(x,4,1),b=(—2,y,-1),c=(3,一2,z),a//b,bl.

C,求：

⑴。，b,c；

(2)a+c与b+c夹角的余弦值.

x41

|解析I(1)因为a〃仇所以t=?=一、，解得x=2,y=-4,

―2y—1•

则。=(2,4,1),b=(—2,-4,-1).

又一_Lc,所以b・c=0,即一6+8—z=0,

解得z=2,于是。=(3,-2,2).

(2)由⑴得a+c=(5,2,3),b+c=(l9-6,1),

设a+c与b+c的夹角为仇

e、［八5—12+32

因为8$"=布封丽=—而.

2

所以a+c与b+c夹角的余弦值为一百.

18.(本小题满分12分)在四棱锥尸一A8CO中，四边形ABCQ为平行四边形，4C与8。

交于O,G为上一点，BG=2GD,两=a,PB=b,PC=c,试用基底｛a,b,c｝表示向

量元.

[解析]-：BG=2GD,

.•.前=|彷.

又彷=或+正=谡一而+正一B=a+c-26,

———2

・•・PG=PB+BG=b+^a+c~2b）

212

=3a-3b+3c-

TT

19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC—AIBIG中，NA8C=5,。是棱AC的

中点，且AB=5C=88i=2.

(1)求证：AS〃平面8CQ；

(2)求异面直线AB\与BCi所成的角.

［解析］⑴如图1,连接8c交8G于点0,连接0D

为BiC的中点，。为AC的中点，：.OD//AB］.

•.•A814平面BCiD,OOU平面BCiD,

：.ABi〃平面BC\D.

(2)建立如图2所示的空间直角坐标系B-xyz.

则B(0,0,0)、A(0,2,0)、Ci(2,0,2),8(0,0,2).

.•.Qi=(0,—2,2)、加।=(2,0,2).

_靠i.病i_0+0+4」

cos〈AS,BC\)

|ABi|.|BCi|25X2也2

设异面直线与8cl所成的角为仇则cosO=T，

V6>sfo,.,/.0=3-

20.(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCO-A新中，已知AB=2,44尸5,

E、F分别为QQ、8山上的点，且。E=B/=1.

⑴求证：8E_L平面ACF；

(2)求点E到平面ACF的距离.

［解析］(1)证明：以。为原点，D4、DC、。。所在直线分别为x、y、z轴建立如图所

示空间直角坐标系，则0(0,0,0),A(2,0,0)、8(2,2,0)、C(0,2,0)、。|(0,0,5)、£(0,0,1).F(2,2,4).

.•.启=(-2,2,0)、万=(0,2,4)、匠=(-2,-2,1),靠=(-2,0,1).

'：BEAC=0,BEAF=0,

：.BE±AC,BE±AF,且ACCIAF=A.

平面ACF.

(2)由(1)知，曲为平面AC尸的一个法向量，

►>

/.点E到平面ACF的距离d=电出用号.

\BE\

故点E到平面ACF的距离为|.

21.(本小题满分12分)如图，AEmABCD,CF//AE,AD//BC,ADLAB,AB=AD

=1,AE=BC=2.

(1)求证：BF〃平面AOE；

(2)求直线CE与平面BOE所成角的正弦值；

(3)若二面角E-BD-F的余弦值为点求线段CF的长.

[解析](1)证明：由题意知，AELAB,AE1.AD,ADLAB,

所以以A为原点，AB,AD,AE分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则

B(1,0,0