高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题36对数函数的概念、图象及性质(原卷版+解析)

专题36对数函数的概念、图象及性质1．对数函数的概念函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.2．对数函数的图象及性质a的范围0<a<1a>1图象定义域(0，＋∞)值域R性质定点(1,0)，即x＝1时，y＝0单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数3．反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．4．底数对函数图象的影响对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝logeq\s\do8(\f(1,2))x，y＝logeq\s\do8(\f(1,3))x的图象如图所示，可得如下规律：①y＝logax与y＝logeq\s\do8(\f(1,a))x的图象关于x轴对称；②当a＞1时，底数越大图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，底数越小图象越靠近x轴．5．函数图象的变换规律1一般地，函数y＝fx±a＋ba，b为实数的图象是由函数y＝fx的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.2含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f|x－a|的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|fx|的图象与y＝fx的图象在fx≥0的部分相同，在fx<0的部分关于x轴对称.题型一对数函数的概念及应用1．指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；(3)y＝logx3；(4)y＝log2x＋1.2．下列给出的函数：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝log(eq\r(3)－1)x；④y＝eq\f(1,3)log3x；⑤y＝logxeq\r(3)(x>0，且x≠1)；⑥y＝logeq\f(2,π)x.其中是对数函数的为()A．③④⑤ B．②④⑥C．①③⑤⑥ D．③⑥3．下列函数表达式中，是对数函数的有()①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝lnx；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列函数是对数函数的是()A．y＝2＋log3xB．y＝loga(2a)(a>0，且a≠1)C．y＝logax2(a>0，且a≠1)D．y＝lnx5．下列函数是对数函数的是()A．y＝loga(2x) B．y＝log22xC．y＝log2x＋1 D．y＝lgx6．下列函数是对数函数的有()①y＝2log3x；②y＝1＋log3x；③y＝log3x；④y＝(log3x)2.A．1个B．2个C．3个D．4个7．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝______.8．函数f(x)＝(a2＋a－5)logax为对数函数，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))等于()A．3B．－3C．－log36D．－log389．若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________.10．若函数f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝________.11．若对数函数y＝f(x)满足f(4)＝2，则该对数函数的解析式为()A．y＝log2x B．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定12．已知对数函数的图象过点(16,4)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝__________.13．已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，则f(2eq\r(2))＝________.14．已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________.15．已知f(x)为对数函数，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－2，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝________.16．已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2019)))＝4，则f(2019)的值为()A．－4B．－2C．0 D．217．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,2x，x≤0，))若f(a)＝eq\f(1,2)，则a＝________.18．设函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2019)＝8，则f(xeq\o\al(2,1))＋f(xeq\o\al(2,2))＋…＋f(xeq\o\al(2,2019))的值等于___．19．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2xx≥4，,fx＋2x＜4，))则f(log23)＝________.20．若函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的值为题型二对数型函数的定义域1．求下列函数的定义域：(1)f(x)＝lg(x－2)＋eq\f(1,x－3)；(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)；(3)y＝eq\r(lg2－x)；(4)y＝eq\f(1,log33x－2)．2．求下列函数的定义域：(1)y＝eq\f(1,log2x－1)；(2)y＝eq\r(lgx－3)；(3)y＝log2(16－4x)；(4)y＝log(x－1)(3－x)．3．求下列函数的定义域．(1)y＝eq\r(3,log2x)；(2)y＝eq\r(log0.54x－3)；(3)y＝eq\r(log0.54x－3－1)；(4)y＝log(x＋1)(2－x)．4．求下列函数的定义域．(1)y＝eq\f(\r(log0.4x－1),2x－1)；(2)y＝eq\f(1,\r(log0.5x－1))；(3)y＝eq\r(loga4x－3)(a>0且a≠1)．5．求下列函数的定义域：(1)f(x)＝eq\f(1,\r(log\f(1,2)x＋1))；(2)f(x)＝eq\f(1,\r(2－x))＋ln(x＋1)；(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)；6．函数y＝lneq\r(x－2)的定义域是()A．(0，＋∞)B．(1，＋∞)C．(2，＋∞)D．[4，＋∞)7．函数f(x)＝lg(x－1)＋eq\r(4－x)的定义域为()A．(1,4] B．(1,4)C．[1,4] D．[1,4)8．函数f(x)＝eq\r(1－2log5x)的定义域为________．9．函数y＝eq\f(1,log2x－2)的定义域为()A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)10．函数f(x)＝eq\f(lg4－x,x－3)的定义域为________．11．函数f(x)＝eq\f(1,\r(log2x－1))的定义域为()A．(0,2) B．(0,2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)12．函数y＝eq\r(x)ln(1－x)的定义域为()A．(0,1) B．[0,1)C．(0,1] D．[0,1]13．函数f(x)＝eq\f(1－x,lgx＋1)的定义域是()A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)C．(－1,0)∪(0，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)14．函数y＝eq\f(\r(3－x),2－log2x＋1)的定义域是()A．(－1,3) B．(－1,3]C．(－∞，3) D．(－1，＋∞)15．函数f(x)＝eq\r(a－lgx)的定义域为(0,10]，则实数a的值为()A．0 B．10C．1 D．eq\f(1,10)16．若函数y＝loga(x＋a)(a>0且a≠1)的图象过点(－1，0)．(1)求a的值；(2)求函数的定义域．17．函数f(x)＝eq\r(lgx)＋lg(5－3x)的定义域是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3)))18．若函数y＝log2(kx2＋4kx＋5)的定义域为R，则k的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4))) D．(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，＋∞))19．已知函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)．若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．20．已知函数f(x)＝log2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ax2＋a－1x＋\f(1,4))).若定义域为R，求实数a的取值范围；题型三对数函数的图象问题1．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是()2．函数f(x)＝log2(1－x)的图象为()3．函数y＝eq\f(lg|x|,x)的图象大致是()4．如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则()A．0<a<b<1B．0<b<a<1C．a>b>1D．b>a>15．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如右图，则m，n的取值范围分别是()A．m>0,0<n<1B．m<0,0<n<1C．m>0，n>1D．m<0，n>16．如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d,1,0的大小关系为________．7．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为()8．已知0<a<1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是()9．若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是()10．函数f(x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的图象必不过()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限11．已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是()12．函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．13．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．14．函数f(x)＝loga(x＋2)＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________．15．函数y＝2＋loga(3x－2)(a>0，且a≠1)的图象所过定点的坐标是________．16．若函数f(x)＝－5loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．17．若函数y＝loga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b，c的值分别为_______．18．已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．19．已知f(x)＝log3x.(1)作出这个函数的图象；(2)若f(a)<f(2)，利用图象求a的取值范围．20．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)的表达式，并画出大致图象．21．已知函数f(x)＝lg|x|，(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)画出函数f(x)的图象草图；(3)利用定义证明函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数．22．若不等式x2－logmx<0在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内恒成立，求实数m的取值范围．专题36对数函数的概念、图象及性质1．对数函数的概念函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.2．对数函数的图象及性质a的范围0<a<1a>1图象定义域(0，＋∞)值域R性质定点(1,0)，即x＝1时，y＝0单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数3．反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．4．底数对函数图象的影响对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝logeq\s\do8(\f(1,2))x，y＝logeq\s\do8(\f(1,3))x的图象如图所示，可得如下规律：①y＝logax与y＝logeq\s\do8(\f(1,a))x的图象关于x轴对称；②当a＞1时，底数越大图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，底数越小图象越靠近x轴．5．函数图象的变换规律1一般地，函数y＝fx±a＋ba，b为实数的图象是由函数y＝fx的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.2含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f|x－a|的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|fx|的图象与y＝fx的图象在fx≥0的部分相同，在fx<0的部分关于x轴对称.题型一对数函数的概念及应用1．指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；(3)y＝logx3；(4)y＝log2x＋1.[解析](1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．2．下列给出的函数：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝log(eq\r(3)－1)x；④y＝eq\f(1,3)log3x；⑤y＝logxeq\r(3)(x>0，且x≠1)；⑥y＝logeq\f(2,π)x.其中是对数函数的为()A．③④⑤ B．②④⑥C．①③⑤⑥ D．③⑥[解析]由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D.3．下列函数表达式中，是对数函数的有()①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝lnx；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．A．1个B．2个C．3个D．4个[解析]形如y＝logax(a>0，且a≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的只有③④，其他的不符合．故选B.4．下列函数是对数函数的是()A．y＝2＋log3xB．y＝loga(2a)(a>0，且a≠1)C．y＝logax2(a>0，且a≠1)D．y＝lnx[解析]结合对数函数的形式y＝logax(a>0且a≠1)可知D正确．5．下列函数是对数函数的是()A．y＝loga(2x) B．y＝log22xC．y＝log2x＋1 D．y＝lgx[解析]形如y＝logax(a>0，且a≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的只有D，其他的不符合．故选D.6．下列函数是对数函数的有()①y＝2log3x；②y＝1＋log3x；③y＝log3x；④y＝(log3x)2.A．1个B．2个C．3个D．4个[解析]结合对数函数的形式y＝logax(a>0且a≠1)可知A正确．7．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝______.[解析]由对数函数的定义可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－4a－5＝0，,a＞0，,a≠1，))解得a＝5.答案：58．函数f(x)＝(a2＋a－5)logax为对数函数，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))等于()A．3B．－3C．－log36D．－log38[解析]∵函数f(x)＝(a2＋a－5)logax为对数函数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋a－5＝1，,a＞0，,a≠1，))解得a＝2，∴f(x)＝log2x，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))＝log2eq\f(1,8)＝－3.故选B.9．若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________.[解析]因为函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1>0，,2a－1≠1，,a2－5a＋4＝0，))解得a＝4.10．若函数f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝________.[解析]由对数函数的定义可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－2a－8＝0，,a＋1＞0，,a＋1≠1，))解得a＝4.11．若对数函数y＝f(x)满足f(4)＝2，则该对数函数的解析式为()A．y＝log2x B．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定[解析]设对数函数的解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)，由题意可知loga4＝2，∴a2＝4，∴a＝2.∴该对数函数的解析式为y＝log2x.12．已知对数函数的图象过点(16,4)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝__________.[解析]设对数函数为f(x)＝logax(a>0且a≠1)，由f(16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，∴f(x)＝log2x，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝log2eq\f(1,2)＝－1.13．已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，则f(2eq\r(2))＝________.[解析]设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则－3＝loga8，∴a＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝logeq\f(1,2)x，f(2eq\r(2))＝logeq\f(1,2)(2eq\r(2))＝－log2(2eq\r(2))＝－eq\f(3,2).14．已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________.[解析]由f(3)＝1得log2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.15．已知f(x)为对数函数，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－2，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝________.[解析]设f(x)＝logax，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝logaeq\f(1,2)＝－2，得a＝eq\r(2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝logeq\s\do8(eq\r(2))eq\f(1,4)＝－4.16．已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2019)))＝4，则f(2019)的值为()A．－4B．－2C．0 D．2[解析]f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝alog2x＋blog3x＋2＋alog2eq\f(1,x)＋blog3eq\f(1,x)＋2＝4，所以f(2019)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2019)))＝4，又因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2019)))＝4，所以f(2019)＝0.17．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,2x，x≤0，))若f(a)＝eq\f(1,2)，则a＝________.[解析]当x>0时，f(x)＝log2x，由f(a)＝eq\f(1,2)得log2a＝eq\f(1,2)，即a＝eq\r(2).当x≤0时，f(x)＝2x，由f(a)＝eq\f(1,2)得2a＝eq\f(1,2)，a＝－1.综上a＝－1或eq\r(2).18．设函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2019)＝8，则f(xeq\o\al(2,1))＋f(xeq\o\al(2,2))＋…＋f(xeq\o\al(2,2019))的值等于___．[解析]∵f(xeq\o\al(2,1))＋f(xeq\o\al(2,2))＋f(xeq\o\al(2,3))＋…＋f(xeq\o\al(2,2019))＝logaxeq\o\al(2,1)＋logaxeq\o\al(2,2)＋logaxeq\o\al(2,3)＋…＋logaxeq\o\al(2,2019)＝loga(x1x2x3…x2019)2＝2loga(x1x2x3…x2019)＝2×8＝16.19．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2xx≥4，,fx＋2x＜4，))则f(log23)＝________.[解析]因为log23＜4，log23＋2＝log23＋log24＝log212＜4，log212＋2＝log212＋log24＝log248＞4，所以f(log23)＝f(log248)＝2log248＝48.20．若函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的值为[解析]由题意可知f(x)＝log3x，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝log3eq\f(1,2)＝－log32题型二对数型函数的定义域1．求下列函数的定义域：(1)f(x)＝lg(x－2)＋eq\f(1,x－3)；(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)；(3)y＝eq\r(lg2－x)；(4)y＝eq\f(1,log33x－2)．[解析](1)要使函数有意义，需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2>0，,x－3≠0，))解得x>2且x≠3，所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函数有意义，需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16－4x>0，,x＋1>0，,x＋1≠1，))解得－1<x<0或0<x<4，所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．(3)由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lg2－x≥0，,2－x>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x≥1，,2－x>0.))∴x≤1.即y＝eq\r(lg2－x)的定义域为{x|x≤1}．(4)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log33x－2≠0，,3x－2>0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2≠1，,3x>2，))解得x>eq\f(2,3)，且x≠1.∴y＝eq\f(1,log33x－2)的定义域为{xeq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x>\f(2,3)，且x≠1)).2．求下列函数的定义域：(1)y＝eq\f(1,log2x－1)；(2)y＝eq\r(lgx－3)；(3)y＝log2(16－4x)；(4)y＝log(x－1)(3－x)．[解析](1)要使函数式有意义，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,log2x－1≠0，))解得x>1，且x≠2.∴函数y＝eq\f(1,log2x－1)的定义域是{x|x>1，且x≠2}．(2)要使函数式有意义，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3>0，,lgx－3≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3>0，,x－3≥1，))解得x≥4.∴所求函数的定义域是{x|x≥4}．(3)要使函数式有意义，需16－4x>0，解得x<2.∴所求函数的定义域是{x|x<2}．(4)要使函数式有意义，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x>0，,x－1>0，,x－1≠1，))解得1<x<3，且x≠2.∴所求函数的定义域是{x|1<x<3，且x≠2}．3．求下列函数的定义域．(1)y＝eq\r(3,log2x)；(2)y＝eq\r(log0.54x－3)；(3)y＝eq\r(log0.54x－3－1)；(4)y＝log(x＋1)(2－x)．[解析](1)定义域为(0，＋∞)．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－3>0，,4x－3≤1，))解得eq\f(3,4)<x≤1，∴定义域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)).(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－3>0，,4x－3≤\f(1,2)，))解得eq\f(3,4)<x≤eq\f(7,8)，∴定义域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(7,8))).(4)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,x＋1≠1，,2－x>0，))解得－1<x<0或0<x<2，∴定义域为(－1,0)∪(0,2)．4．求下列函数的定义域．(1)y＝eq\f(\r(log0.4x－1),2x－1)；(2)y＝eq\f(1,\r(log0.5x－1))；(3)y＝eq\r(loga4x－3)(a>0且a≠1)．[解析](1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,log0.4x－1≥0，,2x－1≠0，))解得1<x≤2，∴定义域为{x|1<x≤2}．(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,log0.5x－1>0，))解得1<x<2，∴定义域为{x|1<x<2}．(3)当0<a<1时，0<4x－3≤1⇒eq\f(3,4)<x≤1，∴定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))\f(3,4)<x≤1))；当a>1时，4x－3≥1⇒x≥1，∴定义域为{x|x≥1}.5．求下列函数的定义域：(1)f(x)＝eq\f(1,\r(log\f(1,2)x＋1))；(2)f(x)＝eq\f(1,\r(2－x))＋ln(x＋1)；(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)；[解析](1)要使函数f(x)有意义，则logeq\f(1,2)x＋1>0，即logeq\f(1,2)x>－1，解得0<x<2，即函数f(x)的定义域为(0,2)．(2)函数式若有意义，需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,2－x>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>－1，,x<2，))解得－1<x<2，故函数的定义域为(－1,2)．(3)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4x＋8>0，,2x－1>0，,2x－1≠1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<2，,x>\f(1,2)，,x≠1.))故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<x<2，且x≠1)))).6．函数y＝lneq\r(x－2)的定义域是()A．(0，＋∞)B．(1，＋∞)C．(2，＋∞)D．[4，＋∞)[解析]要使函数有意义，真数需大于0，所以x－2＞0，即x＞2.故选C.7．函数f(x)＝lg(x－1)＋eq\r(4－x)的定义域为()A．(1,4] B．(1,4)C．[1,4] D．[1,4)[解析]由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＞0，,4－x≥0，))所以1＜x≤4.8．函数f(x)＝eq\r(1－2log5x)的定义域为________．[解析]由1－2log5x≥0，得log5x≤eq\f(1,2)，故0<x≤eq\r(5).[答案](0，eq\r(5)]9．函数y＝eq\f(1,log2x－2)的定义域为()A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)[解析]要使函数有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2>0，,log2x－2≠0，))解得x＞2且x≠3，故选C.10．函数f(x)＝eq\f(lg4－x,x－3)的定义域为________．[解析]由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x＞0，,x－3≠0))⇒{x|x＜4，且x≠3}．11．函数f(x)＝eq\f(1,\r(log2x－1))的定义域为()A．(0,2) B．(0,2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)[解析]若函数f(x)有意义，则log2x－1＞0，∴log2x＞1，∴x＞2.所以函数f(x)的定义域为(2，＋∞)．12．函数y＝eq\r(x)ln(1－x)的定义域为()A．(0,1) B．[0,1)C．(0,1] D．[0,1][解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,1－x>0，))得0≤x<1，故选B.13．函数f(x)＝eq\f(1－x,lgx＋1)的定义域是()A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)C．(－1,0)∪(0，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)[解析]由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＞0，,x＋1≠1))⇒x＞－1，且x≠0.故选C.14．函数y＝eq\f(\r(3－x),2－log2x＋1)的定义域是()A．(－1,3) B．(－1,3]C．(－∞，3) D．(－1，＋∞)[解析]若要函数有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x≥0，,x＋1＞0，,2≠log2x＋1，))解得－1＜x＜3.15．函数f(x)＝eq\r(a－lgx)的定义域为(0,10]，则实数a的值为()A．0 B．10C．1 D．eq\f(1,10)[解析]由已知，得a－lgx≥0的解集为(0,10]，由a－lgx≥0，得lgx≤a，又当0＜x≤10时，lgx≤1，所以a＝1，故选C.16．若函数y＝loga(x＋a)(a>0且a≠1)的图象过点(－1，0)．(1)求a的值；(2)求函数的定义域．[解析](1)将(－1,0)代入y＝loga(x＋a)(a>0，a≠1)中，有0＝loga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2>0，解得x>－2，所以函数的定义域为{x|x>－2}．17．函数f(x)＝eq\r(lgx)＋lg(5－3x)的定义域是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3)))[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx≥0，,5－3x>0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x<\f(5,3)，))即1≤x<eq\f(5,3).18．若函数y＝log2(kx2＋4kx＋5)的定义域为R，则k的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4))) D．(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，＋∞))[解析]由题意得，kx2＋4kx＋5＞0在R上恒成立．k＝0时，成立；k≠0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＞0，,Δ＝16k2－20k＜0，))解得0＜k＜eq\f(5,4)，综上，k∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4)))，故选B.19．已知函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)．若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．[解析]由已知，u＝ax2＋2x＋1的值恒为正，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝4－4a<0，))解得a的取值范围是a>1.20．已知函数f(x)＝log2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ax2＋a－1x＋\f(1,4))).若定义域为R，求实数a的取值范围；[解析]要使f(x)的定义域为R，则对任意实数x都有t＝ax2＋(a－1)x＋eq\f(1,4)>0恒成立．当a＝0时，不合题意；当a≠0时，由二次函数图象可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝a－12－a<0.))解得eq\f(3－\r(5),2)<a<eq\f(3＋\r(5),2).故所求a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－\r(5),2)，\f(3＋\r(5),2))).题型三对数函数的图象问题1．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是()[解析]由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lgx的图象向左平移1个单位．(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)，[答案]C2．函数f(x)＝log2(1－x)的图象为()[解析]该函数为单调递减的复合函数，且过定点(0,0)，故A正确．3．函数y＝eq\f(lg|x|,x)的图象大致是()[解析]由函数y＝eq\f(lg|x|,x)的定义域是{x|x≠0}，易得函数为奇函数，所以函数图象关于原点对称，可排除A，B，当x＝1时，y＝lg1＝0，故图象与x轴相交，且其中一个交点为(1,0)，只有D中图象符合．4．如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则()A．0<a<b<1B．0<b<a<1C．a>b>1D．b>a>1[解析]作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0<b<a<1.5．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如右图，则m，n的取值范围分别是()A．m>0,0<n<1B．m<0,0<n<1C．m>0，n>1D．m<0，n>1[解析]由图象知函数为增函数，故n>1.又当x＝1时，f(x)＝m>0，故m>0.[答案]C6．如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d,1,0的大小关系为________．[解析]由题图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a>1，b>1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0<c<1,0<d<1.过点(0,1)作平行于x轴的直线l(图略)，则直线l与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c>0.7．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为()[解析]∵a>1，∴0<eq\f(1,a)<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C.8．已知0<a<1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是()[解析]因为0<a<1，所以y＝ax单调递减，y＝logax单调递减，而y＝loga(－x)与y＝logax关于y轴对称，所以选D．9．若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是()[解析]由函数f(x)＝loga(x＋b)的图象可知，函数f(x)＝loga(x＋b)在(－b，＋∞)上是减函数．∴0<a<1且0<b<1.所以g(x)＝ax＋b在R上是减函数，故排除A、B.由g(x)的值域为(b，＋∞)．所以g(x)＝ax＋b的图象应在直线y＝b的上方，故排除C.[答案]D10．函数f(x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的图象必不过()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]∵f(x)＝loga(x＋2)(0＜a＜1)，∴其图象如下图所示，故选A.11．已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是()[解析]由lga＋lgb＝0，得lg(ab)＝0，所以ab＝1，故a＝eq\f(1,b)，所以当0＜b＜1时，a＞1；当b＞1时，0＜a＜1.又因为函数y＝－logbx与函数y＝logbx的图象关于x轴对称．利用这些信息可知选项B符合0＜b＜1且a＞1的情况．12．函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．[解析]因为函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1，得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2).13．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．[解析]y＝logax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.14．函数f(x)＝loga(x＋2)＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________．[解析]令x＋2＝1，解得x＝－1.因为f(－1)＝3，所以f(x)的图象恒过定点(－1,3)．15．函数y＝2＋loga(3x－2)(a>0，且a≠1)的图象所过定