高一数学课堂抄重点讲义(人教A版2019必修第二册)6.2.2向量的减法运算(讲义+例题+小练)(原卷版+解析)

6.2.2向量的减法运算一、向量减法概念向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念：相反向量。我们把与a长度相等、方向相反的向量，叫作a的相反向量。记作-a，a和-a互为相反向量。于是-(-a)=a规定,零向量的相反向量仍是0向量.任一向量与其相反向量的和是0向量,即a+(-a)=(-a)+a=0。所以,如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0向量a加上b的相反向量，叫作a与b的向量的差即a-b=a+（-b）。求两个向量差的运算，叫作向量的向量的减法运算例1．与向量的模相等，方向相反的向量叫做向量的负向量，记作：___________.举一反三相反向量及其表示（1）与非零向量长度___，方向____的向量称为的相反向量，记为___，的相反向量为__.（2）规定：零向量的相反向量是___.（3）_______.二、向量减法运算的三角形法则如图,已知a、b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b,即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义。注：共起点，指向被减数例2．如图，已知向量，，求作向量．三、向量减法的平行四边形法则如图，设向量=b,=a,则=-b,由向量减法的定义,知=a+(-b)=a-b。又b+=a,所以=a-b。由此,我们得到a-b的作图方法.特殊情况1.共线同向2.共线反向例3．如图，在各小题中，已知，分别求作．例4．如图，已知正方形ABCD的边长等于1，，，，试作向量:（1）；（2）.2．如图，质点A受到力和的作用，已知，与正东北方向的夹角为30°；，与正东方向的夹角为60°，求下列两个向量的大小和方向：（1）；（2）.3．如图，解答下列各题．（1）用表示；（2）用表示；（3）用表示；（4）用表示．4．如图，点O是的两条对角线的交点，，，，求证：．巩固提升一、单选题1．在正方形中，（）A． B． C． D．2．在五边形中（如图），下列运算结果为的是（）A． B．C． D．3．如图，向量，，，则向量可以表示为（）A． B． C． D．4．已知六边形ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中，则=（）A． B． C． D．二、多选题5．下列能化简为的是（）A． B．C． D．6．已知三角形为等腰直角三角形，且，则有（）A．B．C．D．三、填空题7．如图，在正六边形ABCDEF中，记向量，，则向量______．（用，表示）8．在平行四边形中，若，则四边形的形状为__________.四、解答题9．如图，O为内一点，，，.求作：(1)+-；(2)--.10．证明：当向量不共线时，.6.2.2向量的减法运算一、向量减法概念向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念：相反向量。我们把与a长度相等、方向相反的向量，叫作a的相反向量。记作-a，a和-a互为相反向量。于是-(-a)=a规定,零向量的相反向量仍是0向量.任一向量与其相反向量的和是0向量,即a+(-a)=(-a)+a=0。所以,如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0向量a加上b的相反向量，叫作a与b的向量的差即a-b=a+（-b）。求两个向量差的运算，叫作向量的向量的减法运算例1．与向量的模相等，方向相反的向量叫做向量的负向量，记作：___________.【答案】【解析】【分析】根据相反向量的定义可得结果.【详解】由题意可知，与向量的模相等，方向相反的向量叫做向量的负向量，该向量为的相反向量，记为：.故答案为：.举一反三相反向量及其表示（1）与非零向量长度___，方向____的向量称为的相反向量，记为___，的相反向量为__.（2）规定：零向量的相反向量是___.（3）_______.【答案】相同方相反零向量二、向量减法运算的三角形法则如图,已知a、b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b,即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义。注：共起点，指向被减数例2．如图，已知向量，，求作向量．【答案】如图，(1)(2)【解析】【分析】如图，将向量的起点平移到向量的起点，以向量的终点为起点，向量的终点为终点即可分别得出结果.【详解】解：(1)如图，将向量的起点平移到向量的起点，以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量；(2)如图，将向量的起点平移到向量的起点，以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量；三、向量减法的平行四边形法则如图，设向量=b,=a,则=-b,由向量减法的定义,知=a+(-b)=a-b。又b+=a,所以=a-b。由此,我们得到a-b的作图方法.特殊情况1.共线同向2.共线反向例3．如图，在各小题中，已知，分别求作．【答案】见解析【解析】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量.【详解】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量，如图，，(1)(2)【点睛】本题考查向量减法的三角形法则，考查数形结合思想，属于基础题.例4．如图，已知正方形ABCD的边长等于1，，，，试作向量:（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据向量的减法可作.（2）过B作BF∥AC，交DC的延长线于F，连接，则即为所求的.【详解】(1)在正方形ABCD中，.连接BD，箭头指向B，则即为.(2)过B作BF∥AC，交DC的延长线于F，连接AF，则四边形ABFC为平行四边形，故.在△ADF中，，故即为所求.举一反三1．如图，已知向量，求作向量.【答案】答案见解析【解析】【分析】在平面内任取一点O，作向量，，根据向量的运算法则，可作出，作向量，根据向量的运算法则，可作出，即可得答案.【详解】在平面内任取一点O，作向量，，如图所示：则向量，再作向量，则向量.2．如图，质点A受到力和的作用，已知，与正东北方向的夹角为30°；，与正东方向的夹角为60°，求下列两个向量的大小和方向：（1）；（2）.【答案】（1）大小为N，方向为东偏南15°；（2）大小为N，方向为东偏北75°.【解析】【分析】根据平行四边形法则作出示意图，进而根据平面向量的加法法则和减法法则得到答案.【详解】根据平行四边形法则作出图形，由题意，四边形是正方形，如图所示.（1）如图，，，所以的方向为东偏南15°.（2）如图，，，所以的方向为东偏北75°.3．如图，解答下列各题．（1）用表示；（2）用表示；（3）用表示；（4）用表示．【答案】（1）＝；（2）＝；（3）＝；（4）＝.【解析】【分析】根据图形和向量的加法、减法运算法则计算即可.【详解】由题意知，＝，＝，＝，＝，＝，则（1）＝＋＋＝.（2）＝－＝－－＝．（3）＝＋＋＝．（4）＝－＝－(＋)＝．4．如图，点O是的两条对角线的交点，，，，求证：．【答案】证明见解析【解析】【分析】利用向量的加法法则和向量相等求解.【详解】证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以．因为，，所以，即．巩固提升一、单选题1．在正方形中，（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据平面向量加减运算法则计算可得.【详解】解：.故选：C.2．在五边形中（如图），下列运算结果为的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】对各选项按向量加法、减法运算法则进行向量加减运算即可判断作答.【详解】A，，正确；B，，不正确；C，，不正确；D，，不正确.故选：A.3．如图，向量，，，则向量可以表示为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用向量加法和减法的三角形法则计算即可.【详解】故选：C.4．已知六边形ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中，则=（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由图形可得，从而可得正确的选项.【详解】，故选：D.二、多选题5．下列能化简为的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】【分析】由向量加减法运算法则直接化简求解即可.【详解】对于A，，A正确；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，，D错误.故选：ABC.6．已知三角形为等腰直角三角形，且，则有（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】【分析】根据三角形的形状，结合向量加，减运算法则，即可判断选项.【详解】由条件可知，且，以为邻边的的四边形是正方形，对角线相等，根据向量加，减法则可知，故A正确；，，所以，故B正确；，，所以，故C正确；，，，由条件可知，即，故D错误.故选：ABC三、填空题7．如图，在正六边形ABCDEF中，记向量，，则向量______．（用，表示）【答案】##【解析】【分析】由正六边形的性质：三条不相邻的三边经过平移可成等边三角形，即可得，进而得到结果.【详解】由正六边形的性质知：，∴.故答案为：.8．在平行四边形中，若，则四边形的形状为__________.【答案】矩形【解析】【分析】由向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则得平行四边形的对角线相等，进而可得答案.【详解】解：根据向量加法的平行四边形法则得，向量减法的三角形法则得，因为，即，所以平行四边形的对角线相等，所以该平行四边形为矩形.故答案为：矩形四、解答题9．如图，O为内一点，，，.求作：(1)+-；(2)--.【答